2023-2024学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.函数的导数为（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故选：.2.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：.3.已知是可导函数，且对于恒成立，则（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，整理得，，即，整理得，故选：D．4.在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（）A.50 B.70 C.90 D.110〖答案〗B〖解析〗由等比数列的片段和性质得，，成等比数列所以所以，解得.故选：B.5.已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（）A.1700 B.1600 C.1400 D.600〖答案〗C〖解析〗因为服从正态分布，且，所以该企业生产的该种零件合格的概率，所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为，故选：C．6.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到是黑球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，可得，则.故选：B.7.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，则，且，，相互独立，设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，则，设乙没有达优秀等级为事件，则，所以.故选：B.8.已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对任意都有，所以数列在上是递减数列，因为对任意都有，所以数列在上是递增数列，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，错选得0分.）9.下列结论正确的是（）A.标准差越大，则反映样本数据的离散程度越小.B.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位C.在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好.D.对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越小〖答案〗BC〖解析〗对于，标准差越大，则反映样本数据的离散程度越大，故不正确；对于，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位，故正确；对于，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好，故正确；对于，对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故不正确.故选：.10.设为等差数列的前项和，若，，，则（）A.数列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045〖答案〗BD〖解析〗在等差数列中，由，得，即，因此等差数列为递增数列，公差大于0，A错误；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正确，C错误；因为，，所以使成立的n的最小值是4045，D正确.故选：BD11.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（）A.B.数列为等比数列C.D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种〖答案〗ABD〖解析〗由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，所以，，即，因为，则，所以，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；则，即，故C错误；且，故A正确；若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应，则，，，，，，所以一共有六种情况，故D正确；故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.数列，为其前项和，则__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.13.已知，则曲线在点处切线方程为__________.〖答案〗〖解析〗，所以，且，所以曲线在点处切线方程为，即.故〖答案〗为：.14.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗函数在上存在单调递增区间，由，则在上有解．令，因为，所以只需或，即或，解得．所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望.解：（1）前3局甲都获胜的概率为；（2）所有可能取值为.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则；所以的分布列为：0123故的数学期望为.16.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2.解：（1）由题设得，又，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以，（2）由（1）知，因为对任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立17.已知函数f(x)＝x2＋alnx．（1）当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；（2）若函数g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上单调，求实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域是，时，，当时，，的单调递减区间是，∴的单调递减区间是；（2），，由题意当时，恒成立，或恒成立．若，则恒成立，当时，，即的最大值为0，∴；若，，当时，无最小值，∴不可能恒成立；综上．18.清明小长假期间，大连市共接待客流322.11万人次，游客接待量与收入达到同期历史峰值，其中到东港旅游的人数达到百万之多.现对到东港旅游的部分游客做问卷调查，其中的人只游览东方水城，另外的人游览东方水城和港东五街.若某位游客只游览东方水城，记1分，若两项都游览，记2分.视频率为概率，解答下列问题.（1）从到东港旅游的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为，求的分布列和数学期望；（2）从到东港旅游的游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；（3）从到东港旅游的游客中随机抽取10人，其中两处景点都去的人数为.记两处景点都去的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？解：（1）的可能取值为，则，，所以的分布列为：3456数学期望.（2）由人的合计得分为分，得其中只有1人两项都游览，则，设，则，两式相减得，所以.（3）依题意，，设最大，则，即，整理得，即，解得，而，因此，所以当时，.19.已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）求证：．（参考数据：）解：（1）当时，，所以求在处的切线方程为：．（2），若函数在上单调递增，则当，，即对于恒成立，令，则，则函数在上单调递增，所以，故．（3）法一：由（2）可知，当时，在上单调递增，所以当时，，即，即在上总成立，令得，，化简得：，所以，，累加得，即，命题成立．法二：可设数列的前项和，当时，，当时，，时也成立，所以，本题即证，以下证明同法一．法三：（i）当时，左式，右式显然成立；（ii）假设当不等式成立，即，那么当时，左式，证明，即需证，设，则，即只需证，即，设所以在单调递增，，可知不等式是也成立，综上可知，不等式对于任意正整数都成立．注意：中，写成或都可以．辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.函数的导数为（）A.B.C.D.〖答案〗C〖解析〗.故选：.2.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数的定义域为，，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：.3.已知是可导函数，且对于恒成立，则（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，整理得，，即，整理得，故选：D．4.在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（）A.50 B.70 C.90 D.110〖答案〗B〖解析〗由等比数列的片段和性质得，，成等比数列所以所以，解得.故选：B.5.已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（）A.1700 B.1600 C.1400 D.600〖答案〗C〖解析〗因为服从正态分布，且，所以该企业生产的该种零件合格的概率，所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为，故选：C．6.一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到是黑球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，可得，则.故选：B.7.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，则，且，，相互独立，设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，则，设乙没有达优秀等级为事件，则，所以.故选：B.8.已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为对任意都有，所以数列在上是递减数列，因为对任意都有，所以数列在上是递增数列，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，错选得0分.）9.下列结论正确的是（）A.标准差越大，则反映样本数据的离散程度越小.B.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位C.在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好.D.对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越小〖答案〗BC〖解析〗对于，标准差越大，则反映样本数据的离散程度越大，故不正确；对于，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，则预报变量减少0.8个单位，故正确；对于，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合程度越好，故正确；对于，对分类变量和来说，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故不正确.故选：.10.设为等差数列的前项和，若，，，则（）A.数列的公差小于0B.C.的最小值是D.使成立的的最小值是4045〖答案〗BD〖解析〗在等差数列中，由，得，即，因此等差数列为递增数列，公差大于0，A错误；又，即，整理得，因此，，的最小值是，B正确，C错误；因为，，所以使成立的n的最小值是4045，D正确.故选：BD11.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（）A.B.数列为等比数列C.D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种〖答案〗ABD〖解析〗由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，所以，，即，因为，则，所以，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；则，即，故C错误；且，故A正确；若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应，则，，，，，，所以一共有六种情况，故D正确；故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.数列，为其前项和，则__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.13.已知，则曲线在点处切线方程为__________.〖答案〗〖解析〗，所以，且，所以曲线在点处切线方程为，即.故〖答案〗为：.14.已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗函数在上存在单调递增区间，由，则在上有解．令，因为，所以只需或，即或，解得．所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场.第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立.（1）求前3局比赛甲都取胜的概率；（2）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望.解：（1）前3局甲都获胜的概率为；（2）所有可能取值为.其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局是乙赢，则；所以的分布列为：0123故的数学期望为.16.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).（1）证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2.解：（1）由题设得，又，所以数列是首项为2，公比为的等比数列，所以，（2）由（1）知，因为对任意，恒成立，所以，所以故Tn＜2成立17.已知函数f(x)＝x2＋alnx．（1）当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；（2）若函数g(x)＝f(x)＋在[1,＋∞)上单调，求实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域是，时，，当时，，的单调递减区间是，∴的单调递减区间是；（2），，由题意当时，恒成立，或恒成立．若，则恒成立，当时，，即的最大值为0，∴；若，，当时，无最小值，∴不可能恒成立；综上．18.清明小长假期间，大连市共接待客流322.1