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中心力场

5.1中心力场中粒子运动的一般性质1.角动量守恒与径向方程：设质量为的粒子在中心势中运动，则哈密顿量H表示为：角动量守恒：能量的本征方程为：能量的本征方程的解可选为的本征态，即因此，可得径向波函数满足的方程令则满足径向波函数在邻域的渐近行为假定满足在此条件下，当时，方程（6）渐近地表示为在正则奇点邻域，设代入上式得解上式得两个根当时，或此时，要求方程的解满足3两体问题A.两体问题的质心运动的分质量为m1和m2的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差有关。这时，二粒子的能量本征方程为

（１６）为体系的总能量。引进质心坐标和相对坐标可以证明其中则方程（１６）可化为此时可分离变量，令则2无限深球方势井球方势阱：位势为它只存在束缚态氢原子中电子绕核运动时的势函数为：

此时电子运动遵循定态薛定谔方程：在球坐标中，可将波函数写成两分离函数之乘积：

代入原方程求解，在满足波函数的标准化条件下，自然地得出三个量子化条件：1.能量量子化(能量本征值)

,电子将从束缚态转入自由态。2.角动量量子化

角量子数l=0,1,2,...(n-1)

相同的能量状态

下，因l

有n个不同的取值，而使轨道角动量具有n个量子化值。所

以角量子数l

也就表征着电子运动的轨道角动量量子化。3.角动量空间取向量子化

磁量子数

同一l下，角动量

与z轴的夹角有(2l+1)个值，即允许角动量有(2l+1)个不同取向，这也是量子化的。

已知电子沿径向分布的概率密度

，则P(r)dr

为半径在r～r+dr之间的球壳内找到电子的概率。n=4，其电子沿径向的概率密度分布有以下四种情况：如n=4，其电子沿径向的概率密度分布有以下四种情况：从这里可以看到：同一n不同l下，曲线有(n-l)个峰值，即电子沿径向出现的概率极大值有(n-l)。并且，玻尔理论中的轨道只对应于最大l下的径向概率概率极大处这一特殊情形。

2.氢原子的角向概率密度分布电子沿角向分布的概率密度

只与θ有关，是关于Z轴对称

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