2023年春季高一数学（答案）修正版

高一数学试题第页（共8页）保密★启用前2022-2023学年度下学期泉州市保密★启用前2023．07高一数学本试卷共22题，满分150分，共6页。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，则A． B． C． D．【命题意图】本小题主要考查复数的概念、复数的基本运算、模长等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．【试题简析】解法1因为，所以.解法2因为，所以.故选B．2．为贯彻国家体育总局提出的“阳光体育”运动要求，某校举行了全校大课间跑操比赛.现从该校随机抽取个班级的比赛成绩,得到以下统计表,由统计表可得这个比赛成绩的第百分位数是成绩678910班级数A． B． C． D．【命题意图】本小题考查百分位数等基础知识；考查运算求解的基本能力；导向教学对逻辑推理和数学运算素养的关注；体现基础性．【试题简析】由，得出第百分位数是第和第个成绩的平均数，所以第百分位数为，故选．3．已知向量，，则在上的投影向量为A． B． C． D．【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、向量夹角、投影向量等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，导向对直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养的关注．【试题简析】解法1，则在上的投影向量为．解法2由图可得，在轴上的投影数量为，则在上的投影向量．故选B．4．从,,,,这五个数中随机抽取两个不同数字，则这两个数字乘积为偶数且它们的和大于的概率为A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查古典概型、概率等基础知识；考查运算求解的基本能力；导向教学对数学运算等素养的关注；体现基础性.【试题简析】从,,,,这五个数中随机抽取两个不同数字的样本空间是，，，，，，，，，，共个样本点，记事件“这两个数字乘积为偶数且和大于”，则，，，，共个样本点，所以．故选D．5．用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面．若正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，，则该棱台的对角面面积为A． B． C． D．【命题意图】本小题主要考查棱台的体积、几何体的截面等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性．【试题简析】解法1设截去小锥体的高为，棱台的高为，则，得．由，解得．所以对角面面积为．故选A．解法2设截去小锥体的体积为，高为，则，又，所以，所以，解得．所以棱台的高，所以对角面面积为．故选A．解法3如图，设，分别为正四棱台上、下底面的中心，由题意，知等腰梯形为棱台的对角面，且既为棱台的高，也为对角面的高；由棱台体积公式，有，解得；所以．故选A．6．已知向量，，若向量与的夹角等于与的夹角，则可以是A． B． C． D．QUOTE150°【命题意图】本小题主要考查向量的夹角、向量的数量积、平面向量的分解等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，导向对直观想象、数学运算等核心素养的关注．【试题简析】解法1由向量与的夹角等于与的夹角即，可得，可得，对于选项A：可得，故选项A错误；对于选项B：可得，故选项B错误；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：，故选项D错误．故选C．解法2由图可知，向量与，的夹角均为，即向量在向量，方向上分解的长度始终相等，又,，故恒成立，故选C.7．2022年6月5日，神舟十四号载人飞船成功与天和核心舱对接形成组合体，并于12月4日成功返回地面.本次任务的完成见证了货运飞船与空间站交会对接最快世界纪录等众多历史性时刻.如图，神州十四号返回舱接近地面时，伞面是表面积约为的半球面(不含底面圆)，伞顶与返回舱底端的距离为半球半径的倍，直线在水平地面上的投影为，和观测点在同一水平线上.在遥控观测点处测得点的仰角为，线段的视角（即）的正弦值为，则此时返回舱底端离地面的高度约为求解示意图求解示意图A． B． C． D．【命题意图】本小题主要考查球的表面积公式，正弦定理等基础知识，考查运算求解能力、数学应用能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学运算，直观想象，数学建模等数学核心素养，体现基础性与应用性．【试题简析】解法1设半球半径为米，则，则，所以，因为仰角，则，又，所以在中，，所以，因为，则，所以在直角中，，故选B．解法2设半球半径为米，则，则，所以，因为仰角，则，又，所以在中，，所以，因为，则所以，即可得可解得，所以，则，故选B．8．已知为的外心，，，，则的面积为A． B． C． D．【命题意图】本小题主要考查三角形外心定义、向量的投影、向量的数量积运算、向量的模、正弦定理等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，创新性，导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．【试题简析】由为的外心可得，，，故，又，可得，故，则的面积为,故选D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．已知直线，与平面，，，则的充分条件可以是A．， B．，C．， D．，，【命题意图】本小题主要考查空间中直线和平面的位置关系、平面与平面平行的判定等基础知识，考查推理论证能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学抽象等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．【试题简析】对于选项A：已知，，由平行的传递性可得；对于选项B：已知，，联想到“墙角模型”，可知无法推出；对于选项C：已知，则可找到内的两条相交直线，有，过构造一平面交于直线，又，则，所以；同理，所以；对于选项D：已知，，，等价于，，由选项C可知结论正确．故选择ACD．10．下图是年和年小明家庭各项支出的比例分配图，其中每年用于房贷的支出费用相等，则A．总支出年比年增长B．用于饮食的支出费用年与年相等C．用于交通的支出费用年与年相等D．用于娱乐的支出费用年比年增长【命题意图】本小题主要考查扇形统计图的基础知识；考查数学问题与统计图表的阅读理解能力，数据处理、运算求解能力；体现基础性，导向对数据分析等核心素养的关注.【试题简析】对于选项：因为每年用于房贷的支出费用相等，设为，则年总支出为，年总支出为，故选项正确；对于选项B：年与年饮食支出分别为，，故选项B错误；对于选项C：年与年交通支出分别为，，故选项C正确；对于选项D：年与年总支出不一样，故选项D错误；故选．11．在中，，，，是边上的一点，则A． B．外接圆的半径是C．若，则 D．若是的平分线,则【命题意图】本小题主要考查向量的数量积、爪子型三角形中向量的表示、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．【试题简析】对于选项：，故选项正确；对于选项B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圆的半径是，故选项B错误；对于选项C：因为，所以，所以，则，故选项C正确；对于选项D：由等面积法，得即，解得，故选项D正确；故选．12．如图，正三棱柱的上底面上放置一个圆柱，得到一个组合体，其中圆柱的底面圆内切于，切点，分别在棱，上，为圆柱的母线．已知圆柱的高为，侧面积为，棱柱的高为，则A．∥平面B．C．组合体的表面积为D．若三棱柱的外接球面与线段交于点，则与平面所成角的正弦值为【命题意图】本小题主要考查组合体、空间位置关系、表面积、直线与平面所成的角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、应用意识和创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性．【试题简析】对于选项A：由题意，可知切点，分别为，的中点，作出平面截组合体所得截面，如下图1：由图可知，，分别在截面的两侧，故选项A错误；对于选项B：由题意，可知圆柱底面半径为，所以棱柱底面边长为；如下图2：分别取，的中点，，连接，，，，，则，所以，，，四点共面，又，所以，所以，因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，故选项B正确；对于选项C：由于圆柱的下底面与棱柱的上底面有重叠部分，因此表面积，故选项C正确；对于选项D：如下图3：取的中心，则的中点为棱柱的外接球球心，连接，，由勾股定理，得外接球半径；连接，在平面内过作，垂足为，则，由勾股定理，得，所以，所以，，由余弦定理，得，所以，所以；设到平面的距离为，与平面所成的角为，由，有，即，解得，所以，故D正确．故选BCD．图1图2图3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置。13．在△中，，，，则．【命题意图】本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查推运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算等核心素养，体现基础性．【试题简析】因为，所以．14．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，采用按比例分配的分层抽样方法从高中三个年级中抽取了45人进行问卷调查，其中高一年级抽取了18人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生1200人，则该高中的学生总数为人．【命题意图】本小题主要考查按比例分配的分层抽样方法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．【试题简析】从高中三个年级抽取45人组成样本，分别从高一年级、高二年级和高三年级抽取了18人，12人，15人，样本结构比为高一：高二：高三，所以该高中的学生总数为人，所以应该填．15．设复数，满足，，则．【命题意图】本小题主要考查复数的模、复数的四则运算、几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查直观想象、数学抽象等核心素养，体现基础性与应用性．【试题简析】由复数，满足可知，复数，对应于复平面的点位于圆心在原点，半径为的圆上，又，可知对应于复平面的点也位于圆心在原点，半径为的圆上．根据平行四边形法则和条件，知在中，，，，所以，则，故答案应为.16．在三棱锥中，，平面，，，则与所成的角为．【命题意图】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性．【试题简析】如图，以，为邻边将补成矩形，连接，则（或其补角）为与所成的角．由平面，得，又，，所以平面．因为平面，所以．又，所以．故与所成的角为．四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）在△中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）求的最小值.【命题意图】本小题主要考查解三角形的正、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性与应用性．【试题简析】（1）因为，由正弦定理得， 1分又， 2分所以， 3分又，所以， 4分而，所以. 5分（2）解法1因为 6分， 7分所以， 8分因为，所以的最大值为1， 9分故的最小值为. 10分解法2因为， 6分所以， 7分又因为，所以， 8分所以，当且仅当时取等号， 9分故的最小值为. 10分18．（12分）在矩形中，，，是的中点，是边上的三等分点（靠近点），与交于点．（1）设，，请用，表示和；（2）求与夹角的余弦值．【命题意图】本小题主要考查平面向量基本定理、向量的数量积运算、向量的夹角运算等基础知识；考查逻辑推理、运算求解、数形结合等能力；考查化归与转化数学思想；体现基础性与综合性，导向对直观想象、数学运算等核心素养的关注．【试题简析】解法1（1）由图可得： 2分 4分（2）由于与的夹角等于与的夹角 6分 7分 8分 10分与夹角的余弦值为，即与夹角的余弦值为 12分解法2由于与的夹角等于与的夹角 6分建立如图所示坐标系可得，，，，，， 7分故， 8分， 9分 10分与夹角的余弦值为，即与夹角的余弦值为 12分19．（12分）泉州,作为古代海上丝绸之路的起点，具有深厚的历史文化底蕴，是全国同时拥有联合国三大类非遗项目的唯一城市.为高效统筹整合优质文旅资源，文旅局在“五一”假期精心策划文旅活动，使得来泉旅游人数突破了万人次.某数学兴趣小组为了解来泉游客的旅游体验满意度，用问卷的方式随机调查了名来泉旅游的游客，被抽到的游客根据旅游体验给出满意度分值（满分分），该兴趣小组将收集到的数据分成五段：，，，，，处理后绘制了如下频率分布直方图：（1）求图中的值，并估计名游客满意度分值的中位数；（2）已知在的平均数为，方差为，在的平均数为，方差为，试求被调查的名游客的满意度分值的平均数及方差.【命题意图】本题考查频率分布直方图、平均数、中位数、方差等基础知识；考查数据处理、运算求解等基本能力；导向教学对数据处理、数学运算等素养的关注；体现基础性、应用性.【试题解析】解：（1）由频率分布直方图可得：，解得 分由频率分布直方图， 分因此，中位数落在区间内， 分 分可以估计名游客满意度分值的中位数为 分（2）把在的平均数记为，方差记为；在的平均数记为，方差记为；在的平均数记为，方差记为 分由题得，，，，，在的频率为，在的频率为则 分由 分可得 分即被调查的名游客的满意度分值的方差为 分

20．（12分）如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，侧面是矩形，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求到平面的距离．【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直、棱锥的体积、点到平面的距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力和应用意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、综合性、应用性．【试题简析】（1）由为等腰直角斜边的中点，得．在三棱柱中，，所以，所以，即． 2分因为侧面是矩形，所以， 3分又，平面，平面，所以平面． 4分（2）解法1连接交于点，连接，则为的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设此距离为．由（1）知平面，又，所以平面，因为平面，所以， 6分所以．又，所以，所以，所以，又，平面，平面，所以平面． 8分因为，所以，又，所以，所以，所以． 10分由，得，所以，解得．即到平面的距离为． 12分解法2连接交于点，连接，在平面内过点作，垂足为，则为的中点． 5分因为，所以． 6分由（1）知平面，又，所以平面，因为平面，所以，所以，所以．又，平面，平面，所以平面． 8分因为平面，所以，又，平面，平面，所以平面． 10分又，由，得，解得．即到平面的距离为． 12分21．（12分）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，.（1）求；（2）求与的面积之和的最大值．【命题意图】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查数形结合和化归与转化等思想，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养的关注．【试题解析】（1）解法1联想到勾股定理，预感． 1分对照题设条件，确认能满足题意，至少为其中的一个解. 2分因为，，均为定值，两边及夹角确定，则三角形唯一确定，所以． 5分解法2在中，由余弦定理，得． 2分，，，所以，即． 3分所以， 4分故． 5分（2）设，.因为，所以，所以四点共圆，且BC为该圆的直径， 6分从而，.， 7分， 8分在中，，. 9分所以. 11分因为，,，，故当时，.故与的面积和的最大值为． 12分22．（12分）如图，在正三棱柱中，，为的中点，，在上，．（1）试在直线上确定点，使得对