四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校2022-2023学年数学高一第二学期期末统考试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（）A．15 B．16 C．17 D．142．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足＝，若点O是△ABC外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A． B． C．3 D．3．若且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．已知，且，，则（）A． B． C． D．5．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A． B．C． D．6．若，直线的倾斜角等于（）A． B． C． D．7．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列的前项和为，对于命题：①若数列为递增数列，则对一切，②若对一切，，则数列为递增数列③若存在，使得，则存在，使得④若存在，使得，则存在，使得其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．中，，，，则（）A．1 B． C． D．49．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A． B． C． D．10．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在上，满足的的取值范围是______.12．已知三点、、共线，则a=_______.13．等比数列中，若，，则______.14．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．15．函数的最小正周期为_______.16．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在三棱柱中，与都为正三角形，且平面，分别是的中点.求证：（1）平面平面；（2）平面平面.18．如图，在中，点在边上，，，.（1）求边的长；（2）若的面积是，求的值.19．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为.（1）求C点坐标；（2）求直线BC的方程.20．已知，，当为何值时：（1）与垂直；（2）与平行.21．某班在一次个人投篮比赛中，记录了在规定时间内投进个球的人数分布情况：进球数（个）012345投进个球的人数（人）1272其中和对应的数据不小心丢失了，已知进球3个或3个以上，人均投进4个球；进球5个或5个以下，人均投进2.5个球．（1）投进3个球和4个球的分别有多少人？（2）从进球数为3，4，5的所有人中任取2人，求这2人进球数之和为8的概率．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．【详解】∵等差数列的前项和有最大值，∴等差数列为递减数列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整数的最大值是17，故选C．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．2、A【解析】

根据正弦和角公式化简得是正三角形，再将平面四边形OACB面积表示成的三角函数，利用三角函数求得最值.【详解】由已知得：即所以即又因为所以所以又因为所以是等边三角形.所以在中，由余弦定理得且因为平面四边形OACB面积为当时，有最大值，此时平面四边形OACB面积有最大值，故选A.【点睛】本题关键在于把所求面积表示成角的三角函数，属于难度题.3、D【解析】

利用作差法对每一个选项逐一判断分析.【详解】选项A,所以a≥b,所以该选项错误；选项B,，符合不能确定，所以该选项错误；选项C,，符合不能确定，所以该选项错误；选项D,，所以，所以该选项正确.故选D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4、C【解析】

根据同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式计算可得.【详解】解：因为，．因为，所以．因为，，所以．所以．故选：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，属于中档题.5、A【解析】

当直线与垂直时距离最大，进而可得直线的斜率，从而得到直线方程。【详解】原点坐标为，根据题意可知当直线与垂直时距离最大，由两点斜率公式可得：所以所求直线的斜率为：故所求直线的方程为：，化简可得：故答案选A【点睛】本题考查点到直线的距离公式，涉及直线的点斜式方程和一般方程，属于基础题。6、A【解析】

根据以及可求出直线的倾斜角.【详解】，，且直线的斜率为，因此，直线的倾斜角为.故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，要熟悉斜率与倾斜角之间的关系，还要根据倾斜角的取值范围来求解，考查计算能力，属于基础题.7、C【解析】

利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析.【详解】①取，，则，故①错；②对一切，，则，又因为是上的单调递增函数，所以，若递减，设，且，且，所以，则，则，与题设矛盾，所以递增，故②正确；③取，则，，令，所以，但是，故③错误；④因为，所以，所以，则，则，则存在，使得，故④正确.故选：C.【点睛】本题函数性质与数列的综合，难度较难.分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，这也是一种常规思路.8、C【解析】

利用三角形内角和为可求得；利用正弦定理可求得结果.【详解】由正弦定理得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题.9、A【解析】，所以复数对应的点为，故选A.10、D【解析】

根据三角函数图象的平移变换可直接得到图象变换的过程.【详解】因为，所以向右平移个单位即可得到的图象.故选：D.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，难度较易.注意左右平移时对应的规律：左加右减.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由，结合三角函数线，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，因为，所以满足的的取值范围为.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数线的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、【解析】

由三点、、共线，则有，再利用向量共线的坐标运算即可得解.【详解】解：由、、，则,,又三点、、共线，则，则，解得：，故答案为：.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算，属基础题.13、【解析】

设的首项为，公比为，根据，列出方程组，求出和即可得解.【详解】设的首项为，公比为，则：，解之得，所以：.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列中某项的求法，解题关键是根据题意列出方程组，需要注意的是为了简化运算不用直接求解，解出即可，属于基础题.14、【解析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.15、【解析】

将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.【详解】，.【点睛】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.16、相交【解析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析.(2)见解析.【解析】

（1）由分别是的中点，证得，由线面平行的判定定理，可得平面，平面，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面平面.（2）利用线面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.【详解】（1）在三棱柱中，因为分别是的中点，所以，根据线面平行的判定定理，可得平面，平面又，∴平面平面.（2）在三棱柱中，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．18、(1)2；(2)【解析】

（1）设，利用余弦定理列方程可得：，解方程即可（2）利用（1）中结果即可判断为等边三角形，即可求得中边上的高为，再利用的面积是即可求得：，结合余弦定理可得：，再利用正弦定理可得：，问题得解【详解】（1）在中，设，则，由余弦定理得：即：解之得：，即边的长为2.（2）由（1）得为等边三角形，作于，则∴，故在中，由余弦定理得：∴在中，由正弦定理得：，即：∴∴【点睛】本题主要考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了三角形面积公式的应用及计算能力，属于中档题19、（1）；（2）【解析】

（1）根据点斜式求出AC边所在的直线方程，再由CM所在直线方程，两方程联立即可求解.（2）设，根据题意可得，，两式联立解得的值，再根据两点式即可得到直线BC的方程.【详解】（1）AC边上的高BH所在直线方程为，且，AC边所在的直线方程为，由AB边上的中线CM所在直线方程为，，解得，故C点坐标为.（2）设，则由AC边上的高BH所在直线方程为，可得，AB边上的中线CM所在直线方程为，，，解得，故点的坐标为，则直线BC的方程为，即.【点睛】本题考查了点斜式方程、两点式方程，同时考查了解二元一次方程组，属于基础题.20、（1）；（2）【解析】

根据向量坐标运算计算得到与的坐标（1）由垂直关系得到数量积为，可构造方程求得；（2）由向量平行的坐标表示可构造方程求得.【详解】，（1）由与垂直得：，解得：（2）由与平行得：，解得：【点睛】本题考查平面向量平行和垂直的坐标表示；关键是能够明确两向量垂直可得；两向量平行可得.21、（1）投进3个球和4个球的分别有2人和2人；（2）.【解析】

（1）设投进3个球和4个球的分别有，人，则,解方程组即得解.（2）利用古典概型的概率求这2人进球数之和为8的概率．【详解】解：（1）设投进3