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文档简介
四川省成都市高2024学年高三数学第一学期期末学业水平测试试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.22.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.3.已知,函数,若函数恰有三个零点,则()A. B.C. D.4.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.65.函数fxA. B.C. D.6.已知数列满足,且成等比数列.若的前n项和为,则的最小值为()A. B. C. D.7.已知双曲线的焦距为,过左焦点作斜率为1的直线交双曲线的右支于点,若线段的中点在圆上,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.已知函数是定义在上的奇函数,函数满足,且时,,则()A.2 B. C.1 D.9.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()A. B. C. D.10.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则11.下列几何体的三视图中,恰好有两个视图相同的几何体是()A.正方体 B.球体C.圆锥 D.长宽高互不相等的长方体12.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是_______________.14.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.15.如图,四面体的一条棱长为,其余棱长均为1,记四面体的体积为,则函数的单调增区间是____;最大值为____.16.给出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,结果为的式子的序号是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的零点个数;(2)证明:当时,.18.(12分)已知函数,其导函数为,(1)若,求不等式的解集;(2)证明:对任意的,恒有.19.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若正数、满足,求证:.20.(12分)设函数.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.21.(12分)已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;(2)若f(x)在处导数相等,证明:;(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).22.(10分)设函数(其中),且函数在处的切线与直线平行.(1)求的值;(2)若函数,求证:恒成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】
设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【题目详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.2、D【解题分析】
建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【题目详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【题目点拨】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.3、C【解题分析】
当时,最多一个零点;当时,,利用导数研究函数的单调性,根据单调性画函数草图,根据草图可得.【题目详解】当时,,得;最多一个零点;当时,,,当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;当,即时,令得,,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如图:且,解得,,.故选.【题目点拨】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.4、C【解题分析】
模拟程序的运行即可求出答案.【题目详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【题目点拨】本题主要考查程序框图,属于基础题.5、A【解题分析】
由f12=e-14>0排除选项D;【题目详解】由f12=e-14>0,可排除选项D,f-1=-e【题目点拨】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→06、D【解题分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得,再利用二次函数的性质,可得当或时,取到最小值.【题目详解】根据题意,可知为等差数列,公差,由成等比数列,可得,∴,解得.∴.根据单调性,可知当或时,取到最小值,最小值为.故选:D.【题目点拨】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当或时同时取到最值.7、C【解题分析】
设线段的中点为,判断出点的位置,结合双曲线的定义,求得双曲线的离心率.【题目详解】设线段的中点为,由于直线的斜率是,而圆,所以.由于是线段的中点,所以,而,根据双曲线的定义可知,即,即.故选:C【题目点拨】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法,考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.8、D【解题分析】
说明函数是周期函数,由周期性把自变量的值变小,再结合奇偶性计算函数值.【题目详解】由知函数的周期为4,又是奇函数,,又,∴,∴.故选:D.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性,掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础.9、A【解题分析】
根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.【题目详解】当为奇数时,,则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,当为偶数时,,则数列中每个偶数项加是以为首项,以为公比的等比数列.所以.故选:A【题目点拨】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.10、C【解题分析】
在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【题目详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【题目点拨】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.11、C【解题分析】
根据基本几何体的三视图确定.【题目详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形,球的三个三视图都是相等的圆,圆锥的三个三视图有一个是圆,另外两个是全等的等腰三角形,长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.故选:C.【题目点拨】本题考查基本几何体的三视图,掌握基本几何体的三视图是解题关键.12、C【解题分析】
根据表示出线段长度,由勾股定理,解出每条线段的长度,再由勾股定理构造出关系,求出离心率.【题目详解】设,则由椭圆的定义,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故选C项.【题目点拨】本题考查几何法求椭圆离心率,是求椭圆离心率的一个常用方法,通过几何关系,构造出关系,得到离心率.属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
画出函数的图象,再画的图象,求出一个交点时的的值,然后平行移动可得有两个交点时的的范围.【题目详解】函数的图象如图所示:因为方程有且只有两个不相等的实数根,所以图象与直线有且只有两个交点即可,当过点时两个函数有一个交点,即时,与函数有一个交点,由图象可知,直线向下平移后有两个交点,可得,故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化,数形结合的思想,属于中档题.14、【解题分析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【题目详解】解:连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.15、(或写成)【解题分析】试题分析:设,取中点则,因此,所以,因为在单调递增,最大值为所以单调增区间是,最大值为考点:函数最值,函数单调区间16、①②③【解题分析】
由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【题目详解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案为:①②③【题目点拨】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解题分析】
(1)求出,分别以当,,时,结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令,结合导数求出;同理可求出满足,从而可得,进而证明.【题目详解】解析:(1),,当时,,单调递减,,,此时有1个零点;当时,无零点;当时,由得,由得,∴在单调递减,在单调递增,∴在处取得最小值,若,则,此时没有零点;若,则,此时有1个零点;若,则,,求导易得,此时在,上各有1个零点.综上可得时,没有零点,或时,有1个零点,时,有2个零点.(2)令,则,当时,;当时,,∴.令,则,当时,,当时,,∴,∴,,∴,即.【题目点拨】本题考查了导数判断函数零点问题,考查了运用导数证明不等式问题,考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中,合理设出函数,通过比较最值证明.18、(1)(2)证明见解析【解题分析】
(1)求出的导数,根据导函数的性质判断函数的单调性,再利用函数单调性解函数型不等式;(2)构造函数,利用导数判断在区间上单调递减,结合可得结果.【题目详解】(1)若,则.设,则,所以在上单调递减,在上单调递增.又当时,;当时,;当时,,所以所以在上单调递增,又,所以不等式的解集为.(2)设,再令,,在上单调递减,又,,,,,.即【题目点拨】本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性,再利用函数的单调性来解决不等式问题,属于较难题.19、(1);(2)见解析【解题分析】
(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分别解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【题目详解】(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集为;(2),,,,,当且仅当,即时取等号,,当且仅当即时取等号,.【题目点拨】本题考查分类讨论解绝对值不等式,考查三角不等式的应用及基本不等式的应用,是一道中档题.20、(1)(2)【解题分析】
(Ⅰ)当时,不等式为.若,则,解得或,结合得或.若,则,不等式恒成立,结合得.综上所述,不等式解集为.(Ⅱ)则的图象与直线所围成的四边形为梯形,令,得,令,得,则梯形上底为,下底为11,高为..化简得,解得,结合,得的取值范围为.点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义
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