2021年广东省汕尾市陈潮中学高三数学理联考试卷含解析

2021年广东省汕尾市陈潮中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知i为虚数单位，则复数=(

) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答： 解：=，故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的（

）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．非充分非必要条件参考答案：B3.在中，点A在OM上，点B在ON上，且，，若，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D利用向量知识可知，点落在平面直角坐标系中两直线及x轴、y轴围成的四边形（含边界）内。又因为，其中表示点与点Q连线的斜率。由图形可知，所以。

4.设等差数列{an}前n项和为Sn，等差数列{bn}前n项和为Tn，若，则（

）A.528 B.529 C.530 D.531参考答案：D【分析】根据等差数列的性质得到结果即可.【详解】根据等差数列的性质：得到：.故选D.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，即，题目比较基础.5.已知，又若满足的有四个，则的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：函数图象与性质.【思路点晴】先按题意，我们将其分类参数，也就是说，把含有的放一边，其它的方另外一边，得到，此时，可以利用基本不等式得到，由于这个是对钩函数，易排除A，C，D.当我们在研究两个函数有四个零点问题的时候，也可以先分离参数，将不含参数部分的图象画出来，根据图象来求参数的取值范围.6.为虚数单位，则＝（

）(A)

(B) (C)

(D)参考答案：A略7.已知数列{an},,,则的值为(

)A.4 B.5 C.6 D.8参考答案：A【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可．【详解】数列{an}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故选A．【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.8.函数的图象如图所示，其中a.b为常数，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．D．参考答案：C9.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“相等”是“总相等”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】由题“总相等”一定能推出“相等”，反之举反例即可【详解】由祖暅原理知：“总相等”一定能推出“相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，立体几何综合，理解祖暅原理是关键，是基础题10.在中，，点为边上一点，且，则（）(A)3

(B)2

(C)

(D)参考答案：D因为，∴，∴选D.（另：本小题也可以建立坐标系去计算）二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一过抛物线上一点P作PE于E，若直线EF的倾斜角为，则____________.参考答案：略12.中,则=________参考答案：13.用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为

.

参考答案：略14.已知数列{an}为等差数列，a1+a2+a3=3，a5+a6+a7=9，则a4=

．参考答案：2【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】若数列{an}为等差数列，正整数m、k、n满足m+n=2k，则有am+an=2ak，并且称ak为am、an的等差中项．运用等差中项的方法可以解决本题：根据a1+a3=2a2，得到a1+a2+a3=3a2=3，从而a2=1；同样的方法得到a6=3，最后根据a2+a6=2a4得到a4=2．解：∵数列{an}为等差数列，∴a1+a2+a3=3a2=3，a5+a6+a7=3a6=9，∴a2=1，a6=3，∵a2+a6=2a4∴a4=（a2+a6）=2故答案为：2【点评】本题给出一个特殊的等差数列，在已知连续3项和的情况下，运用等差中项求未知项，着重考查了等差数列的性质，属于基础题．15.设,且,则的最小值是__________参考答案：116.已知,若,则等于

参考答案：17.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求A；（2）若，且△ABC面积的最大值为，求△ABC周长的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.【详解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由题意知，又，，又∴△ABC周长的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.19.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．参考答案：【考点】LX：直线与平面垂直的性质；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，证明B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB1为等边三角形，求出B1到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解答】（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB?平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC=1，∴OD=，∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，由OH?AD=OD?OA，可得AD==，∴OH=，∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20.设数列的前项和,,，且当时,.（1）求证:数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，记数列的前项和为.设是整数，问是否存在正整数,使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由.参考答案：解：（1）当时,,,代入并化简得,………4分,又由得,代入可解得,∴，也满足,而恒为正值,∴数列是等比数列.………6分

（2）由⑴知.当时,,又，∴

………8分（3）当时，,此时，又∴.

…………………10分故，当时，，……12分若，则等式为，不是整数，不符合题意；……………14分若，则等式为，∵是整数,

∴必是的因数,

∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，当时，不存在正整数使等式成立.……………16分略21.设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e）．（1）求a的值；（2）函数f（x）能否在x=1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1＜x＜2时，试比较与大小．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，计算化简即可得到a=2；（2）函数f（x）不能在x=1处取得极值．求出导数，讨论x＞1，0＜x＜1函数的单调性，即可得到结论；（3）当1＜x＜2时，＞﹣．运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到结论．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，依题设得=f′（e），即e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e，解得a=2；（2）函数f（x）不能在x=1处取得极值．因为f′（x）=lnx+﹣1，记g（x）=lnx+﹣1，则g′（x）=．①当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；②当0＜x＜1时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是减函数，所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．由①②得f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以x=1不是函数f（x）极值点．（3）当1＜x＜2时，＞﹣．证明如下：由（2）得f（x）在（1，+∞）为增函数，所以当x＞1时，f（x）＞f（1）=0．即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以＜．①因为1＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1，＞1，所以＜=，即﹣＜．②①+②得﹣＜+=．【点评】本题考查导数的运用