江苏省南京市谷里中学高一数学文上学期期末试题含解析

江苏省南京市谷里中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线l为圆在点处的切线，点P为直线l上一动点，点为圆上一动点，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C与圆心连线的斜率为，所以切线的斜率为-1，切线方程为，即.圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以的最小值为.本题选择C选项.

2.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三视图判断几何体的结构，然后将几何体补形为长方体，外接球直径为长方体的体对角线，由此求得几何体外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，将该三棱锥补形为长方体，如下图所示三棱锥，三棱锥外接球的为长方体的外接球，长方体的体对角线长为，即，所以外接球的表面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体外接球表面积的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.4.函数y=﹣x2+1的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0] B．[0，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）参考答案：A【考点】函数的单调性及单调区间．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：函数y=﹣x2+1是二次函数，它的图象是开口向上的抛物线，图象的对称轴为x=0，故该函数的递增区间为（﹣∞，0]，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．5.函数的图象如图2所示.观察图象可知函数的定义域、值域分别是（

）A．,；B.

C．,；D.参考答案：C6.函数的图象过定点

A．（1，2）

B．（2，1）

C．（-2，1）

D．（-1，1）参考答案：D7.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有（）A．1条或2条 B．2条或3条C．只有2条 D．1条或2条或3条参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】分平面β与γ平行和不平行进行讨论，并且以棱柱或棱锥的侧面为例进行研究，即可得到此三个平面的交线条数可能是1条、2条或3条．【解答】解：当α过平面β与γ的交线时，这三个平面有1条交线，当β∥γ时，α与β和γ各有一条交线，共有2条交线．当β∩γ=b，α∩β=a，α∩γ=c时，有3条交线．答案：D．8.已知集合，集合，若，那么的值是(

)A．1

B．

C．1或

D．0，1或参考答案：D略9.已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.（4分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（） A． πR3 B． πR3 C． πR3 D． πR3参考答案：A考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题： 计算题．分析： 求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．解答： 2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A点评： 本题是基础题，考查圆锥的展开图与圆锥之间的计算关系，圆锥体积的求法，考查计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足约束条件,则的最大值是

,最小值是

.参考答案：；12.已知则___________.参考答案：12略13.已知，则

．参考答案：由可得：cos，∴cos

14.如图，是圆O的直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有

个．参考答案：415.若直线3x＋y＋a＝0过圆＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为

参考答案：116.比较

的大小

.

参考答案：略17.已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐标是

．参考答案：(－3，－5)．略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等式；指、对数不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，因此2，解出并且验证即可得出．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，对a分类讨论解出即可得出．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间上单调递减，由题意可得﹣≤1，因此≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，∴2，化为：，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间上单调递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t）取得最大值，=．∴．∴a的取值范围是．【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．19.设，是上的偶函数.（1）求的值；（2）证明在上是增函数．参考答案：解：（1）∵f（x）=是R上的偶函数，∴f（x）－f（－x）=0．∴ex－e-x不可能恒为“0”，∴当－a＝0时

等式恒成立，∴a＝1．5分（2）在（0，＋∞）上任取x1＜x2，f（x1）－f（x2）＝∵e＞1，∴0＜＞1，∴＞1＜0，∴f（x1）－f（x2）＜0，∴f（x）是在［0，＋∞）上的增函数．10分略20.如图，在四棱锥中，菱形的对角线交于点，、分别是、的中点.平面平面，.求证：（1）平面∥平面；（2）⊥平面．（3）平面⊥平面．参考答案：1（本小题满分15分）(1)证明：是菱形是的中点、分别是、的中点EF//PD又面PAD，PD面PADEF//面PAD同理：FO//面PAD而EFFO=O，EF、FO面EFO平面∥平面(2)平面平面，平面平面=，平面平面(3)平面，AC面ABCD

ACPD是菱形ACBD又PDDB=D，PD，DB平面PBD平面PBD平面⊥面略21.若对任意，不等式恒成立，求实数的范围。参考答案：略22.（本小题满分12分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件