高中数学-《基本不等式》教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE2PAGE《基本不等式（第一课时）》教学设计一、教学目标1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3．结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4．借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节．二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．三、教学过程：1．动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．

2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．学生探讨等号取到情况，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若，则；请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二：分析法。略。为基本不等式分析法证明做好铺垫。引领学生通过代换得到基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）证法一（作差法）略。证法二（分析法）：由于，于是要证明

，只要证明

，即证

，即

，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3．几何证明，相见益彰探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4．应用举例，巩固提高例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神．）例2.工厂蓄水池问题在运用基本不等式解题的基础上，使学生感受源于生活服务生活的数学思想．并通过找茬活动引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．练一练（自主练习）：1.已知，且，求的最小值．2.设，且，求的最小值．5．归纳小结，反思提高设计意图：通过学生的总结，帮助学生回顾梳理本节所学内容，形成知识框架。帮助学生更好的区别向量加减法的运算法则。在确保学生对上述知识点掌握后思考：基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．6.布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本P100习题组1、2题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流．七、板书设计基本不等式1.重要不等式：例1例例1例22.基本不等式：等号成立条件小结《向量减法运算及其几何意义》学情分析学生已经学习了不等式基本性质，初中对完全平方公式特别熟悉，具备了一定的逻辑思维能力。这为学习基本不等式打下了很好的基础，但是学生还从未接触过分析法（选修2-2第二章），可能在对基本不等式证明时感到突兀。引导学生自主探索如何通过基本不等式求和、积的最值，基本不等式成立的条件，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，提高学生的学习积极性及主动性。课堂教学效果分析

学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。教学任务是否完成不能只看少数尖子学生，大多数中下学生同样也是知识的接受体，从他们身上更能体现教学任务是否完成，以及教师的教学水平、教学质量的高低。

本节课的设计体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。设计本节课之后，实现学生在知识上掌握基本不等式及重要不等式及其应用，在能力上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的思考，使学生巩固知识点的掌握；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识面。总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，程度好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人学有所得。课堂教学中充分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。教师教得轻松，学生学得愉快。《基本不等式》的教材分析《基本不等式》是人教版高中数学必修5第三章第4节内容。本节课重点探究了基本不等式的证明，并且将之应用于具体实际问题，是理论数学与应用数学结合的良好典范。教材首先给出重要不等式分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等式（均值不等式），将均值不等式分别用文字语言、符号语言来表示，然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：积定和最小、和定积最大，同时感受数学应用于生活。三维目标1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号"≥"取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点:基本不等式等号成立条件 基本不等式练习题（1）1、若实数x，y满足，求xy的最大值2、若x>0,求的最小值;3、若，求的最大值4、若x<0,求的最大值5、求(x>5)的最小值.6、若x，y，x+y=5，求xy的最值7、若x，y，2x+y=5，求xy的最值8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值基本不等式评测练习1、求的最小值.2、求的最大值.3、求的最大值。4、求的最大值.5、若，求的最小值6、若，求的最大值。7、求的最小值.8（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?课后反思本节课是不等式的最后一节但也是第一次学习基本不等式，学生有一定的知识储备，再者本节课知识内容较单一，学生便于接受。主要采用学生自主与合作学习，教师重点知识精讲点拨，通过问题串引导学生主动探究一些问题，并严格证明，形成正确的认知态度。整堂课让学生更多地参与到教学全过程，体了现学生的主体地位，让学生学会探究和总结，教会学生如何获得知识，培养学生的学习能力，通过一些变式训练，让学生学会举一反思真正做到对知识的融会贯通。任何一节课不论准备再充分，也会有些不近人意的地方。课堂语言还需锤炼，教学设计还是有些循规蹈矩，没有大胆的搞创新，要善于借用新的教学方式，比如微课堂，翻转课堂等新型辅助课堂的模式，在今后的教学中，我首先要学习新的教学理念，并学习借鉴一些好的教学方式融入到自己的教学过程中。《课标》对于这一节的要求：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。该教材内容很好的落实了这两点要求。

在前面的学习中，同学们已经基本掌握了一些常见不等式及不等式证明方法，本节内容一定程度上是前面学习的运用，也是后面系统学习不等式证明的基础。基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁，放缩法证明不等式会经