2021年福建省福州市盘屿中学高三数学理期末试卷含解析

2021年福建省福州市盘屿中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则cos2=A.

B.

C.

D.参考答案：答案:D2.在中，角A、B、C所对的边分别为，已知，则A、

B、

C、或

D、参考答案：B根据切化弦和正弦定理，将原式化简为：，因为，所以原式整理为，，根据正弦定理：，代入数据，得到，因为，所以.3.设x、y满足

则

A．有最小值2，最大值3

B．有最小值2，无最大值

C．有最大值3，无最大值

D．既无最小值，也无最大值参考答案：B做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B.4.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为().A.－2

B.2

C.

D.参考答案：B为纯虚数，，解得，故选B.

5.某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为，现要用分层抽样的方法从中抽取件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（

）A． B． C． D．参考答案：试题分析：由已知，乙类产品应抽取的件数为，故选.考点：分层抽样6.右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（

）参考答案：B7.已知,且成等比数列，则的最小值是A.1

B.

C.

D.

参考答案：C【知识点】等比数列的性质解析：因为成等比数列,则由,则所以当且仅当时取等号,所以,的最小值是,故选C.【思路点拨】依题意成等比数列，可得，再利用对数的运算法则结合基本不等式，即可求出xy的最小值．

8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（）A． B． C．或 D．以上都不对参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理、三角形边角大小关系即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，解得sinB=．∵a＞b，∴A＞B，因此B为锐角．∴B=．故选：A．【点评】本题考查了正弦定理、三角形边角大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.在数列中，，，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：B10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积比为（

）.A. B. C. D.参考答案：C【分析】将已知条件中的转化为，然后然后化简得，由此求得两个三角形高的比值，从而求得面积的比值.【详解】如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.【点睛】本小题考查平面向量的线性运算，考查三角形面积的比值的求法，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图所示的程序框图，输出的S值为参考答案：本程序是计算的数值，所以当时，。12.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为（2，-6），P为椭圆上的一个动点，则的最大值是

．参考答案：3013.已知点P(x0,y0)在椭圆C：(a>b>0)上，如果经过点P的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：．根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L：，若Q(u，v)是椭圆L外一点(其中u，v为定值)，经过Q点作椭圆L的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是

▲

．参考答案：14.设函数当时,

参考答案：15.设函数，则=

．参考答案：0根据分段函数的解析式得到：2>1,故f(2)代第二段解析式,.

16.如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______.参考答案：-317.已知函数的图象如右图所示，则

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在△ABC中，已知A=，．

(I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=2，D为AB的中点，求CD的长．参考答案：【知识点】诱导公式；同角三角函数关系；正弦定理；余弦定理.

C2

C8(I)；（Ⅱ）.解析：（Ⅰ）且，∴

…2分

…4分

………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得

…8分由正弦定理得，即，解得．……10分在中，，所以……12分【思路点拨】(I)利用同角三角函数关系求得sinB，再用诱导公式求解；（Ⅱ）由(I)及同角三角函数关系得sinC的值，再用正弦定理求得AB=6，然后在中，用余弦定理求CD长.19.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ2的关系如表所示：X012ξ241.2117.6204.0（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求ξ2的分布列；（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列及数学期望的性质列出方程组，能求出m，n的值．（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ2的分布列．（Ⅲ）求出可得E（ξ2），由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，从而E（ξ2）＞E（ξ1），由此能求出p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得m=0.5，n=0.1．（Ⅱ）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p），，P（ξ2=204）=p（1﹣p），所以ξ2的分布列为：ξ241.2117.6204Pp（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，所以E（ξ2）＞E（ξ1），所以﹣10p2+10p+117.6＞120，解得0.4＜p＜0.6，所以p的取值范围是（0.4，0.6）．20.已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0.又f(1)＝－2.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)若?x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范围．参考答案：略21.(本题满分12分)如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BC＝6，且BD＝1，cos∠ADB＝.(1)求证：平面AEC⊥平面BCED；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)证明：∵BD⊥平面ABC∴BD⊥AB，又因为BD＝1，cos∠ADB＝.故AD＝，AB＝10＝直径长，(3分)∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BC.∵AC∩EC＝C，∴BC⊥平面ACE，又BC?平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)(2)法一：存在，如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CE为z轴建立空间直角坐标系，则有点的坐标，A(8，0，0)，B(0，6，0)，D(0，6，1)，E(0，0，4)．法二：(几何法)如图，作MN⊥CE交CE于N，连接AN，则MN⊥平面AEC，故直线AM与平面ACE所成的角为∠MAN，且MN⊥AN，NC⊥AC.设MN＝2x，由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为，得AM＝x，所以AN＝x.另一方面，作DK∥MN∥BC，得EN＝x，NC＝4－x而AC＝8，故Rt△ANC中，由AN2＝AC2＋NC2得17x2＝64＋(4－x)2，∴x＝2，∴MN＝4，EM＝2所以存在点M，且EM＝2时，直线AM与平面ACE所成角的正弦值为.(12分)22.如图,在三棱柱ABC-A1B1