人教A版必修第二册6431余弦定理学案

6.4.3余弦定理、正弦定理新课程标准新学法解读1.借助向量的运算，探究三角形边长与角度的关系．2．把握余弦定理、正弦定理．3．能用余弦定理、正弦定理解决简洁的实际问题.1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此根底上把握正、余弦定理的本质．2．在求解三角形问题时要留意养成作图分析的习惯.第一课时余弦定理课前篇·自主梳理稳固根底[笔记教材]学问点余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．余弦定理的变形和延长：(1)变形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).(2)延长：a2>b2＋c2⇔A为钝角，a2＝b2＋c2⇔A为直角，a2<b2＋c2⇔A为锐角．[重点理解]1．余弦定理与勾股定理的关系余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．2．余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)两边和夹角或三边能直接利用余弦定理解三角形．(2)假设两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．[自我排查]1．思维辨析．(对的打“√〞，错的打“×〞)(1)三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只能用正弦定理，不能用余弦定理．()(2)三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．()(3)在△ABC中，假设a2>b2＋c2，那么△ABC肯定为钝角三角形．()(4)在△ABC中，假设a2<b2＋c2，那么△ABC肯定为锐角三角形．()解析：(1)×.两边及其中一边的对角解三角形可先由正弦定理求出另一边所对的角，用三角形的内角和定理求未知角，再由正弦定理求第三边，也可用余弦定理求第三边．(2)√.三角形三边确定对应的内角也就确定了．(3)√.当a2>b2＋c2时，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，又A∈(0，π)，所以A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故△ABC为钝角三角形．(4)×.由a2<b2＋c2，依据余弦定理可推出A为锐角，但△ABC不肯定是锐角三角形，锐角三角形确实定需证明三个内角皆为锐角．2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq\f(3,5)，那么三角形的另一边长为()A．52 B．2eq\r(13)C．16 D．4答案：B解析：设另一边长为x，那么x2＝52＋32－2×5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝52，∴x＝2eq\r(13).3．在△ABC中，A＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x2－7x＋11＝0的两根，那么中间边的长为________．答案：4解析：设最大边为x1，最小边为x2，那么x1＋x2＝7，x1x2＝11，假设A为最大角，那么B，C<60°，A＋B＋C<180°，与三角形内角和不符；假设A为最小角，那么B，C>60°，A＋B＋C>180°，与三角形内角和不符；故A为中间角，∴中间边长＝eq\r(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)－2x1x2cosA)＝eq\r(x1＋x22－2x1x21＋cosA)＝4.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设a＝3，b＝5，c＝7，那么角C＝________.答案：eq\f(2π,3)解析：依据余弦定理的推论，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又由于C∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3).课堂篇·重点难点研习突破研习1三角形的三边解三角形[典例1]△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各角的大小．[名师引导]三角形三边的比，可设出三边的长，从而将问题转化为三边求三角，可利用余弦定理求解．[解]设a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k＞0)，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2\r(6)\r(3)＋1k2)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°，同理可得cosB＝eq\f(1,2)，B＝60°，∴C＝180°－A－B＝75°.[巧归纳](1)三边求角的根本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角；值为0，角为直角．其思路清楚，结果唯一．(2)假设三角形的三边的关系或比例关系，常依据边的关系直接代入化简或利用比例性质设出三边长，转化为三边求解．[练习1]△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝eq\r(37)，求△ABC的最大内角．解：∵c＞b＞a，∴C最大，由余弦定理，可得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝120°.∴△ABC的最大内角为120°.研习2两边及一角解三角形[典例2](1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，那么AB＝()A．4eq\r(2) B．eq\r(30)C．eq\r(29) D．2eq\r(5)(2)在△ABC中，假设AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，那么BC＝________.(1)[答案]A[解析]cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝－eq\f(3,5)，由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC，代入解得AB＝4eq\r(2).(2)[答案]4或5[解析]由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即5＝25＋BC2－9BC，解得BC＝4或5.方法一：先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要留意推断解的状况．方法二：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，然后依据余弦定理以及三角形的内角和求出其余两角．2．两边及其夹角解三角形的方法方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．[练习2]在△ABC中，b＝6，c＝6eq\r(3)，A＝30°.求a，B，C．解：由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝36＋36×3－2×6×6eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝36，∴a＝6＝b，∴B＝A＝30°，C＝120°.研习3利用余弦定理推断三角形的外形[典例3]在△ABC中，假设b(a－ccosB)＝a(b－ccosA)，试推断△ABC的外形．[解]由于b(a－ccosB)＝a(b－ccosA)，所以由余弦定理，得beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))，整理，得(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.所以a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．[巧归纳]推断三角形的外形应围绕三角形的边角关系进行思索，可用正、余弦定理将条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而推断三角形的外形，也可利用正、余弦定理将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而推断三角形的外形．[练习3]在△ABC中，cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，试推断△ABC的外形．解：在△ABC中，由cos2eq\f(A,2)＝eq\f(b＋c,2c)，得eq\f(1＋cosA,2)＝eq\f(b＋c,2c)，所以cosA＝eq\f(b,c).依据余弦定理，得eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b,c)，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．课后篇·根底达标延长阅读1．△ABC的三边满意(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，那么C等于()A．15° B．30°C．45° D．60°答案：D解析：由题意得(a＋b)2－c2＝3ab，化简整理得a2＋b2－c2＝ab，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2)，且0°＜C＜180°，得C＝60°.2．在△ABC中，A＝30°，且3a＝eq\r(3)b＝12，那么c的值为()A．4 B．8C．4或8 D．无解答案：C解析：由3a＝eq\r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq\r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.3．在△ABC中，假设a＝eq\r(3)＋1，b＝eq\r(3)－1，c＝eq\r(10)，那么△ABC的最大角的度数为________．答案：120°解析：由c＞a＞b知，C为最大角，又cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC中，假设b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，那么a＝________.答案：1解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．5．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设a＝10，b＝15，C＝60°，求cosB的值．解：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝102＋152－2×10×15×cos60°＝175，∴c＝5eq\r(7).∴cosB＝eq\f(a2－c2－b2,2ac)＝eq\f(102＋175－152,2×10×5\r(7))＝eq\f(\r(7),14).[误区警示]忽视三角形的构成条件致误[例如]设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围．[错解]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1＞0，,a＞0，,2a－1＞0，))解得a＞eq\f(1,2)，∴2a＋1是三边长的最大值，设其所对角为θ.∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边长，∴cosθ＜0，即eq\f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)＝eq\f(aa－8,2a2a－1)＜0，解得eq\f(1,2)＜a＜8，∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，8)).[错因分析]在上面的解题过程中，忽视三角形的三边必需满意两边之和大于第三边，而使解的范围变大．[正