天体运动复习和例题解析

万有引力定律与天体运动问题总体思路：高中阶段中研究天体运动的轨迹近似为圆轨道，向心力唯一来源于万有引力，所以有下列几个参量：线速度V、角速度®、周期T、加速度a都决定与轨道半径r,参量之间相互制约。建立方程解决问题的方向：运动学参量给出物体需．要．的．向．心．力．都．应．与．万．有．引．力．建．立．方．程．，进行讨GMmana=—r2 TOC\o"1-5"\h\zv2 :GM论。即：f弓j=G论。即：f弓j=GMm=<r r[GM4兀2 ：4兀2r3mrnT=T2 GM讨论问题应从a、v、3、T等的最终表达式出发。4辅助公式：（1）球体体积公式：V=-兀R3M（2） 密度公式：P=v。（3） 一个重要等式：GM=gR2,其中g中心体表面重力加速度，R为中心球体半经。开普勒第三定律准确应用：（1）条件：对于同一中心天体。⑵结论：绕椭圆轨道运动的星体半长轴三次方与周期平方比值为定值即：t如四．了解几个天体运动中问题：卫星的发射，回收以及平稳运动时物体超、失重问题所有地球卫星可能存在的轨道问题：“黑洞”问题：“黑洞”不是洞，是一种天体。人造卫星运动中几个关系问题：（1） 环绕速度V与运动半径r关系：（2） 人造地球卫星作离心运动和向心运动的关系：（3） 重力加速度g与向心加速度a的关系：（4）宇宙速度（发射速度）与环绕速度关系：五、 同步卫星问题。六、 “神舟”飞船的发射、变轨、漫游和返回着落问题：1.“神舟”飞船的发射：“神舟”飞船的点火发射，飞船处于加速阶段，飞船的加速度可达a=4g。而船箭分离时，宇航员突然有腾空的感觉,此时又进入了失重状态。飞船入轨后人处于完全失重状态有“漂浮”的感觉。2．飞船在椭圆轨道上运动的情景。4．“神州”飞船遨游太空作圆周运动:5、“神州”五号飞船安全返回着陆：

七．典型例题例析：例1.某星球的质量约为地球的9倍，半径为地球一半，若从地球上高为h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上以同样初速度平抛同一物体，射程为多少？解析：设地球表面重力加速度为8,质量为M。，半径为R。，抛出物体时间为t,射程为s。，某星球对应物理参量为g、M、R、t、s.。i2h地球表面：S=i2h地球表面：S=Vt=V ③;。。。。Fg'0星球表面：,r2ht=V—7g④;Mm①;Mm•mg=G0mg—G。R2R20由①②③④得：s=10m。例2.地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（）A、B、:g+A、B、:g+a\~a~D、用F表示万有引力，F表示地面给物体的支持力,N••・F-Fn二F—mg=rnR®2又有：F=ma/=ma+mg=mR®/2①/ ,'g+a由①②得：一-例3.一物体在地球表面重16N,它在以5m/s2例3.一物体在地球表面重16N,它在以5m/s2的加速度上升的火箭中的视重为9N。离地面的距离为地球半径的（）倍。A、1mg=16NmaF=1N.引解析.F-F=N 引由①②③得：得：B、3C、5 D、7。在火箭中视重为9N,即所受支持力Fn=9N则此时火箭.•・r=4R.。mg_F引r2R2。•••高度为h=3Ro。例4.地核的体积为整个地球体积的16o0。地核的质量约为整个地球质量的43o0，经估算，地核的平均密度为多少婕/m3?R=6.4x10643（/M解析：（1）错解:根据密度公式，设地球质量为M,地球的半径为R则地核的密度：p= 4——，16^-兀R3

03在赤道表面取一质量为m的物体，它随地球一起作圆周运动，运动周期等于地球自转周期即为24h,根据万有引力等于圆周运动的向心力有:.24h,根据万有引力等于圆周运动的向心力有:.MmG r2联立两式：p-3兀G-40.75g/m3T2以上结论显然是错误的，导致错误的原因在于对万有引力与向心力的关系不清楚，对地球赤道表面的物体与环绕地面运行的卫星区别没有弄清楚，。正确解答：由于是估算，可以利用地球表面的重力与地球质量半径的关系进而确定地球的密度.Mm由：mg=G-R2由①②得：3g4由①②得：3g4nGR3x9.84x6.7x10-iix3.14x6.4x106kg/m3=5.5x103kg/m3TOC\o"1-5"\h\z由题设m=0.34即PA=0.34且二=0.16M pv v:.S 20.34 0.34•，・地核平均密度p=—=—x5.5x103kg/m3=1.2x104kg/m3I i0.160.16例5.中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度。通过观察已知某中子星的自转角速度®=60krad/s，该中子星并没有因为自转而解体，则计算中子星的密度最小值的表达式是怎样的？该中子星的密度至少为多少?解析：密度最小时即中子星刚好没有解体时的状态，此时赤道上的物体所受万有引力提供向心力，M2=M2=R3W2~G即：G=mR®MM 3W2MM 3W2・•・P4kG代入数据可求得：P=1.3X1014kg/ms0例6.某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观测者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星0试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观测者看不到此卫星？已知地球半径为R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射。解析：设t时间观测者看不到此卫星，如图，设此同步卫星轨道半径为r,因为太阳光直射轨道，由图可知，R=r-sina,

又由万有引力得：IgT2R2'4nIgT2R2'4n2 ；Gr2=mT2-r，GM二曲r飞由对称性可知e=2a=2arcsin：4兀2R由对称性可知e=2a=2arcsin：4兀2R..t——— —arcsin3>-① 2兀/T兀3gT2例7.我国“神州”四号飞船于2002年12月30日在酒泉载人航天发射场由长征二号F运载火箭成功发射升空。若长征二号F运载火箭起飞时总重量为4.05X103婕，起飞推动力为1.35X105N,运载火箭发射塔高100m。(g=10m/s2)试问：运载火箭起飞时的加速度多大？假如运载火箭起飞时在推力不变的情况下，忽略空气阻力及运载火箭质量的变化，试确定运载火箭需经多长时间才能飞离发射塔？这段时间飞船中的“仿真宇航员”承受多大的平均冲击力？(设“仿真宇航员”的质量为65婕)飞船在发射升空时，如果真实的宇航员在太空舱内采用站立的姿势，那么，它的心血管系统会受到何种影响？你认为宇航员应采取什么姿势为好？解析：(1)运载火箭起飞时的加速度：F-MgM1.35x105-4.50x10F-MgM4.50x103=20m/s(2)由$=2at2可求得运载火箭飞离发射塔时间：空=.，，2X-0° 币=20m/s2 \a\ 20(3)这段时间飞船中的“仿真宇航员”承受的平均冲击力由牛顿第二定律得：F-mg=ma/.F=mg+ma=65(20+20)^1.95X103N.飞船在发射升空时处于超重状态，宇航员若采用站立姿势头部血压会降低，足部血压会升高大量血液淤积在下肢静脉中，严重影响静脉血液回流，使心脏输出血量不足，造成头部供血不足轻则引起视觉障碍，重则可能导致意识的丧失，所以宇航员采用平躺姿势为好。例8.例9.一组太空人乘坐太空穿梭机，去修理位于地球表面6.0X105m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H,机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭，而望远镜H在S前方数公里外,如图所示，设G为引力常量而M为地球质量，地球半径为R=6400Km,回答下列问题：在穿梭机内，一质量为70婕的太空人的视重是多少？计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率和周期？穿梭机S能追上哈勃望远镜H吗？回答“能”还是“不能”，并说明道理。解析：(1)穿梭机内的人处于完全失重状态，所以视重为零。Mm GM gr2 d.4x106龙(2)由mg=G 得：g/= ； —— = +—0.84,r2 rQ g/ r/2 x105+6.4x1。6仏.\g/—0.84g—0.84X9.8m/s2—8.2m/s2；又由GMm—m兰得…浮r2 r Vr,'T_\/6.4x]06\r/\(6+64)x10