江苏省常州市重点中学2023届高三下学期二模适应性考试数学试题及参考答案

江苏省重点中学2022-2023学年高三二模适应性考试数学试卷一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选､错选､不选均不得分1.已集合，若，则实数a的取值集合是（）A.B.C.D.2.已知，且，则（）A.3B.6C.12D.183.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定形式是“”D.“”是“”的充分不必要条件4.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若是函数的一个极值点，则的值为（）A.B.C.D.5.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（）A.B.C.D.6.已知平面向量，满足，则的最小值为（）A.-1B.0C.D.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题.已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（）A.110B.100C.90D.808.已知是双曲线的左､右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为A，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B，若，A，B恰好共线，则双曲线C的离心率为（）A.B.C.D.3二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分.9.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.下列说法正确的是（）A.若，则或B.复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为9+C.若点的坐标为，则对应的点在第三象限D.若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为10.下列命题中正确的是（）.A.一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，去掉x与不去掉x，它们的80%分位数都不变，则B.两组数据，，，…，与，，，…，，设它们的平均值分别为与，将它们合并在一起，则总体的平均值为C.已知离散型随机变量，则D.线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强11.已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（）A.若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为､B.抛物线C在点处的切线方程为C.一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A､B两点，的周长为D.点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为212.已知正方体的棱长均为为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（）A.当时，B.当时，的最小值为C.若直线与平面所成角为，则点的轨迹长度为D.当时，正方体被平面截的图形最大面积为三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，其中，则___________.14.已知.若C上存在点P，使得.则正数r可以是_____________.（只要写山一个符合条件的r即可）15.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________.16.在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在中，角的对边分别为.已知.（1）求角；（2）若为线段延长线上一点，且，求.18.已知数列满足（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足证明是等差数列19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.（1）证明：平面平面PBC；（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离.20.2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金.已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立.（1）若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场､黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；（2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？（3）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列.21.已知椭圆Γ：，点分别是椭圆Γ与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；（2）若，求的面积；（3）设直线与直线交于点，证明：三点共线.22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数的零点个数.数学试卷-答案与解析一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选､错选､不选均不得分1.【答案】C【分析】利用子集的定义即可求解.【详解】，∴当时，，满足；当时，若，则时，时，.的取值集合是.故选：C.2.【答案】B【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到，从而得到，计算出.【详解】由得：，由换底公式可得：，则，所以，因为，所以故选：B3.【答案】B【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断C的正误，利用对数的定义判断D的正误.【详解】对A，若中，时也成立，故A错；对B，当时，，故，若，则，故B对；对C，存在量词命题的否定是，故C错；对D，若均为负数，则无意义，故D错.4.【答案】A【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到，利用平移变换得到，再根据是函数的一个极值点，即当时，函数取得最值求解.【详解】由，化简得，所以.又是函数的一个极值点，所以当时，函数取得最值，所以，解得.因为，所以.故选：A.5.【答案】C【分析】由已知可得出圆锥的母线，进而根据圆锥､圆台的轴截面，即可得出答案.【详解】假设圆锥半径，母线为，则.设圆台上底面为，母线为，则.由已知可得，，所以.如图，作出圆锥､圆台的轴截面则有，所以.所以圆台的侧面积为.故选：C.6.【答案】A【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可得解.【详解】由可得，即，而，当且且，反向时等号成立，所以，即，等号成立条件为.故选：A7.【答案】A【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可.【详解】观察此数列可知，当为偶数时，，当为奇数时，，因为，所以数列的前20项和为：，故选：A8.【答案】B【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根据三角形面积公式可得，设，，则，从而可得，，代入，结合及离心率公式即可求解.【详解】设，因为在双曲线上，故.由余弦定理可得，所以.所以.由题意可得与为直角三角形，所以.因为是的中点，所以是的中点.设，，则.所以.故.所以，解得，.所以，可得，故.故选：B.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分.9.【答案】BCD【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可.【详解】对于选项A，设，只需即可，故错误；对于选项B，复数与分别表示向量与，表示向量的复数为，故正确；对于选项C，点的坐标为，则对应的点为，在第三象限，故正确；对于选项D，若复数满足，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，外圆半径为的圆环上，故所构成的图形面积为，故正确；故选：BCD.10.【答案】AB【分析】根据百分位数的计算公式，计算即可验证选项A；由平均值的定义和公式验证选项B；由二项分布的方差公式计算结果验证选项C；由线性相关系数的性质判断选项D.【详解】对于A：一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，共10个数据，因为80%×10=8，所以样本数据的80%分位数为第8个和第9个数据的平均数，即，若去掉x，一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，11，11，共9个数据，因为80%×9=7.2，所以样本数据的80%分位数为第8个数据，即，去掉x与不去掉x，它们的80%分位数都不变，则，解得，A选项正确；对于B：两组数据，，，…，与，，，…，，设它们的平均值分别为与，将它们合并在一起，有，则总体的平均值为，B选项正确；对于C：已知离散型随机变量，有，则，C选项错误；对于D：线性回归模型中，相关系数的值越大，则这两个变量线性相关性越强，D选项错误.故选：AB11.【答案】ABD【分析】根据抛物线定义判断A，利用导函数与切线的关系求解B，设点，根据点在抛物线上即可求解C，利用抛物线定义结合图形分析得到直线GH与抛物线C相切时t取最大值，即可求解.【详解】A选项：由抛物线C的定义知，解得代入可得，所以P的坐标为､，故A正确；B选项：由得，，切线方抛物线C在点处的切线斜率为，所以切线方程为，故B正确；C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A､B两点，设正三角形的边长为，则根据对称性可得且点在抛物线上，所以，解得，所以这个正三角形的边长为，故C错误；D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，如图，由抛物线的定义知，当t取最大值时，取最小值，即直线GH与抛物线C相切.设直线HG的方程为，由得，所以，解得，此时，即，所以，故，所以，故D正确.故选：ABD.12.【答案】AD【分析】将代入，将用表示，计算其数量积是否为0即可证明；将代入可知点在上，且在平面上，将沿着向下翻折至与平面共面，点翻折后变为，过向作垂线，垂足为，可知在上，且为中点，所以最小值为，根据长度关系解出即可；由直线与平面所成角为可得为等腰直角三角形，即，可得的轨迹为以为圆心为半径的圆上，且在平面内，进而可求其轨迹长度，判断正误；由，可得三点共线，分在上运动和在上运动两种情况下，讨论截面面积的大小情况，求出最值，即可判断正误.【详解】由题知正方体的棱长均为2，当时，，此时，所以，即选项A正确；当时，，所以点在上，且点在平面上，分别将，延长至，使得，将沿着向下翻折至与平面共面，点翻折后变为，过向作垂线，垂足为，如图所示：因为，所以，因为，所以为中点，且，因为平面平面，且平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以在上，且为中点，，在平面中，连接交于点时，取最小值，因为，所以，此时，故选项B错误；因为面，所以为直线与面的平面角，当直线与平面所成角为时，即，因为，所以，所以为等腰直角三角形，因为，所以，因为，由平面向量基本定理可知在平面内，所以的轨迹为以为圆心为半径的圆上，且在平面内，所以点的轨迹长度为，故选项C错误；因为，其中，因为，所以三点共线，连接交于点，当点在上运动时，延长交于点，则正方体被平面截的图形为，由图可知，当点运动到点时，截面为，此时截面积最大，因为正方体棱为2，所以，此时截面积最大为，当点在上运动时，延长交于点，过点做的平行线交于点，连接，再过点做的垂线，垂足为，如图所示：由题可知，此时截面为等腰梯形，记，则，，，所以，，所以，令，所以，所以在单调递增，所以，故，因为，所以正方体被平面截的图形最大面积为，即选项D正确.故选：AD【点睛】思路点睛：该题考查立体几何的综合问题，属于难题，关于求两距离和的最小值的思路有：（1）找对称点，将两距离中一个距离转化为另一距离，根据三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边解得；（2）将两距离通过侧面展开，翻折等，转为到一个平面内，根据两点之间，线段最短解得；（3）建系，用坐标表示距离和，变为关于变量的函数，分析函数性质，求出最值.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【分析】首先根据的二项式展开式第项为，从而得到，再解方程即可.【详解】的二项式展开式第项为，令，则，所以，解得.故答案为：14.【答案】5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，求出满足的点P的轨迹方程，再由两曲线的位置关系求解作答.【详解】因为点，而点P满足，则点P的轨迹是以线段AB为直径的圆O（除点A，B外），圆，半径，又点P在圆上，圆C的圆心，半径为，，依题意，圆O与圆C有公共点，且直线不经过，因此，即，解得，所以正数r可以是4，5，6.故答案为：5（或4，或6，不唯一）15.【答案】【分析】构造新函数，利用条件求得的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集.【详解】解：构造函数，其中为奇函数且，则，所以，函数为奇函数，且，，当时，，所以，函数在上是单调递增函数，因为函数为奇函数，故函数在上是严格增函数，故，当时，，可得；当时，，可得.综上所述，不等式的解集为.故答案为：16.【答案】【分析】根据正四棱台的体积公式､结合基本不等式､线面平行的判定定理､梯形的面积公式进行求解即可.【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，在上下底面由勾股定理可知，.在梯形中，，所以该四棱台的体积为，所以，当且仅当，即时取等号，此时，，.取，的中点，，连接，，显然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.显然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，设，，则，，所以梯形的面积为，故答案为：解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系，（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）运用正弦定理以及诱导公式求解；（2）根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：，即故，则有，又，故有，或（舍去），或（舍去），则，又，所以；（2）设，在和中，由正弦定理可得于是，又，则，，；综上，，.18.【答案】（1）略（2）（3）略【详解】（1）证明：是以为首项，2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得（3）证明：①②②-①，得即③④④-③，得即是等差数列.19.【答案】（1）证明见解析（2）.【分析】（1）利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；（2）利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.【详解】（1）方法一：因为底面ABCD，平面ABCD，所以.因为ABCD为正方形，所以，又因为，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.因为平面PAB，所以.因为，E为线段PB的中点，所以，又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又因为平面AEF，所以平面平面PBC.方法二：因为底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB.因为平面PAB，所以.因为，E为线段PB的中点，所以.因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因为平面AEF，所以平面平面PBC解法三：因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，设，则，所以，，，，设为平面AEF的法向量，则所以取，则，，则，设为平面PBC的法向量，则所以取，则，，则因为，所以，所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一､二）因为底面ABCD，，以A为坐标原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，易知是平面PAB的法向量设，则，所以，，所以即，得，所以，设为平面AEF的法向量，则所以平面AEF的法向量，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为.（另解）由（1）可知，是直线AF与平面PAB所成的角，所以解得，故F是BC的中点.所以，，的面积为因为，的面积为设点P到平面AEF的距离为h，则有解得所以点P到平面AEF的距离为.（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量所以，即，解得所以，又因为所以点P到平面AEF的距离为，所以点P到平面AEF的距离为.20.【答案】（1）（2）28【小问3】分布列见详解【分析】（1）根据题意结合对立事件的概率求法运算；（2）根据题意可得有四则可能，再结合组合数运算求解；（3）根据题意分析可得奖金数X的可能取值，结合（2）求相应的概率，即可得结果.【详解】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率.（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场､黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果，若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：，故共有种不同的情况.（3）若韩菲/陈宇组合赢1场､黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；若韩菲/陈宇组合赢2场､黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；若韩菲/陈宇组合赢3场､黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；若韩菲/陈宇组合赢4场､黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；即奖金数X的可能取值有，则有，故奖金数X的分布列为：0250075001000021.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联立直线和椭圆方