双学位多项式

双学位多项式厦门大学数学科学学院第1页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院概述_1代数角度

代数运算:加、减、乘、除(带余除法)及性质

最大公因式、互素、不可约、标准分解式、重因式函数角度

根及其性质，余数定理二者关联 两多项式函数相等充要条件为这两多项式代数相等第2页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院概述_2与数域扩大无关的多项式性质 整除、最大公因式、互素、余数定理等与数域扩大有关的多项式性质

不可约、因式分解、根理论等第3页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.1目的与要求掌握一元多项式形式的准确描述;理解K[x]对于多项式的加法,数乘,乘法构成K-代数;掌握用多项式的次数来解题的方法.第4页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院数域_1定义

若集合K中任意两个数作某一运算后的结果仍然在K中，则称K关于这个运算封闭。定义

复数集C的子集K称为数域，若其满足下列条件:包含0,1该集合关于通常数的加、减、乘、除运算封闭第5页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院数域_例例1.有理数域Q;实数域R;复数域C.

例2.自然数集N;整数集Z.例3.第6页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院数域_2命题任一数域必包含有理数域Q.命题

R和C之间不存在任何其他数域.第7页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院一元多项式_1定义

K:数域,ai∈K,0≤i≤n;n≥0,x:不定元,形如

称为K上x的一元多项式.

例1判断以下是否多项式?K上一元多项式全体记为K[x]第8页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院一元多项式_2定义

aixi:称为第i次项,ai:第i次项系数.

当an≠0时,f(x)称为n

次多项式,次数记为degf(x).

anxn:首项,an:首项系数,a0:常数项.an=1:首一多项式注1

常数多项式:

f(x)=a0

≠0(零次多项式)f(x)=a0

≠0degf(x)=0

ai=0,i>0f(x)=0(零多项式),此时规定:degf(x)=–∞f(x)=0degf(x)=–∞

注2

f(x)≠0degf(x)≥0第9页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的相等定义两个多项式称为相等当且仅当它们的次数相同且各次项的系数相等即若

则f(x)=g(x)当且仅当m=n,ai=bi,0≤i≤n.第10页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的运算_加法1设f(x),g(x)∈K[x],适当增加几个系数为0的项,可设

定义加法:则f(x)+g(x)∈K[x].第11页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的运算_加法2性质

(1)(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))(2)f(x)+g(x)=g(x)+f(x)(3)0+f(x)=f(x)(4)f(x)+(–

f(x))=0第12页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的运算_数乘1

设定义c与f(x)的数乘为:则cf(x)∈K[x].第13页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的运算_数乘2性质

(5)(6)(7)(8)第14页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的运算_乘法1设定义f(x)与g(x)的乘积:f(x)g(x)=h(x)其中第15页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院性质: (9)(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))(10)f(x)g(x)=g(x)f(x)(11)(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)(12)c(f(x)g(x))=(cf(x))g(x)=f(x)(cg(x))(13)1·f(x)=f(x).多项式的运算_乘法2第16页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的次数引理

deg(f(x)+g(x))≤max{degf(x),degg(x)}

degf(x)

=degcf(x),0≠c∈K deg

(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x)

注

deg

(f(x)g(x))=0 degf(x)=0且degg(x)=0第17页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式的消去律命题

f(x),g(x)∈K[x].f(x)≠0,g(x)≠0,则

f(x)g(x)≠0.推论

若f(x)≠0,f(x)g(x)=f(x)h(x),则g(x)=h(x).例2

f(x),g(x)∈R[x]且f2(x)

+g2(x)

=0,则f(x)=g(x)

=0.第18页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.2目的与要求掌握带余除法的内容和证明方法;熟练用带余除法、待定系数法、凑项法解答有关整除问题.第19页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院整除_定义定义:设f(x),g(x)∈K[x].若存在h(x)∈K[x].使得

f(x)=g(x)h(x),

则称g(x)整除f(x),或f(x)被g(x)整除,或g(x)是f(x)的因式.记为g(x)|f(x).否则记g(x)f(x).注:g(x)|f(x)不可记做g(x)/f(x).第20页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例1

2|3?例2

1)f(x)|0?2)0|f(x)?例3f(x)满足什么条件时,f(x)|1?例4若g(x)|f(x),问是否必有degg(x)≤degf(x)?例5设g(x)≠0,degg(x)>degf(x),且g(x)|f(x),证明:f(x)=0.第21页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院整除_性质性质:f(x),g(x),h(x)∈K[x],则

(1)反身性:f(x)|f(x);(2)传递性:f(x)|g(x),g(x)|h(x),则f(x)|h(x);(3)互伴性:f(x)|g(x),g(x)|f(x),则存在0≠c∈K,使

f(x)=cg(x);

称此二多项式为相伴多项式,记做f(x)~g(x). (4)f(x)|g(x),则对任意0≠c∈K,c

f(x)|g(x);(5)f(x)|g(x),f(x)|h(x),则对任意u(x),v(x)∈K[x],有f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x).特别地若g(x)|g(x)u(x)+h(x),则g(x)|h(x).第22页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院带余除法_1带余除法定理设f(x),g(x)∈K[x],g(x)≠0,则存在唯一q(x)、r(x)∈K[x],且degr(x)

＜degg(x),

使得f(x)=g(x)q(x)+r(x).注1:定理结论可叙述为：f(x)=g(x)q(x)+r(x),这里或者r(x)=0，或者0≤degr(x)<degg(x).q(x)称为g(x)除f(x)的商式,r(x)称为g(x)除f(x)的余式.注2:条件degr(x)

＜degg(x)保证了唯一性.注3:带余除法与数域扩大有关吗？第23页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院带余除法_2推论:f(x),g(x)∈K[x],g(x)≠0,则

g(x)|

f(x)当且仅当g(x)除f(x)的余式为0.注

整除关系与数域扩大有关吗？第24页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例6

f(x)=3x4–4x3+5x–1,g(x)=x2–

x+1.求q(x),r(x).例7

求x100+1除以(x–1)2的余式.例8

设f(x)|g1(x)–

g2(x),f(x)|h1(x)–

h2(x),证明：f(x)|g1(x)h1(x)–

g2(x)h2(x).例9证明x|f(x)的充要条件是x2

|f2(x).例10设a≠0.证明:xd–

ad|xn–

an的充要条件是d|n.第25页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.3目的与要求熟练掌握最大公因式的概念、性质与结论;熟练掌握互素的概念和充要条件;了解中国剩余定理的内容和思想方法.第26页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最大公因式_定义定义:

设f(x),g(x)∈K[x],若d(x)∈K[x]使得

1)

d(x)|f(x)且d(x)|g(x); 2)若h(x)|f(x)且h(x)|g(x),则h(x)|d(x).称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.例1

f(x)=(x–1)3(x+2)x,g(x)=(x–1)2(x+2)5(x+3).求f(x),g(x)的最大公因式.注1

d(x)是f(x),g(x)的公因式,且次数最高.第27页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最大公因式_唯一性注2

设d(x),d1(x)是

f(x)和g(x)的最大公因式,据定义有d(x)|d1

(x)且d1(x)|d(x),故存在c∈K,使得d(x)=cd1

(x).即f(x),g(x)的最大公因式最多差一个非零常数。f(x),g(x)首项系数为1(简称首一)的最大公因式是唯一确定的,记为d(x)=(f(x),g(x)).注

(f(x),g(x))=(g(x),f(x))第28页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例2

1)

(f(x),2); 2)(f(x),0),其中f(x)≠0; 3)(2,6);

4)0与0的最大公因式; 5).第29页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最大公因式_存在性1引理

设f(x),g(x),h(x)∈K[x]

若g(x)|f(x),则(f(x),g(x))=cg(x);

对任意h(x)∈K[x],成立

(f(x),g(x))=(f(x)–

h(x)g(x),g(x))注若f(x)=g(x)q(x)+r(x),则(f(x),g(x))=(g(x),r(x))定理设f(x),g(x)∈K[x],则存在d(x)∈K[x],使得(f(x),g(x))=d(x),且存在u(x),v(x)∈K[x],使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

(证明用Euclidean辗转相除法)第30页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最大公因式_存在性2注1

证明方法即是计算方法.最大公因式即为Euclidean辗转相除中最后一个非零的余式.注2

最大公因式数域扩大有关吗？注3

设f(x),g(x),d(x)∈K[x],且d(x)的首项系数为1.如果存在u(x),v(x)∈K[x],使得

1)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 2)d(x)|f(x),d(x)|g(x)

则d(x)=(f(x),g(x)).特别提示若没有条件2),则不能保证结论成立.第31页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最大公因式_多个多项式1定义对m个多项式fi(x)

∈K[x],1≤i≤m,若存在首项系数为1的d(x)∈K[x],使得

(1)d(x)|fi(x),1≤i≤m (2)若h(x)|fi(x),1≤i≤m,则h(x)|d(x)

则称d(x)是fi(x),1≤i≤m

的最大公因式,记做d(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))第32页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最大公因式_多个多项式2命题

设f(x),g(x),h(x)∈K[x],则

(f(x),g(x),h(x))=((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))注求多个多项式的最大公因式可先求任意两个多项式的最大公因式,再用同样方法继续,而不必顾及先后顺序.例3

求第33页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院作业作业:p1031(1)(2)(4); p1871,3(a≠0),4,7*; p1942(1)

补充:设a,b,c两两互异,用(x-a),(x-b),(x-c)除f

(x)的余式是r,s,t.试求用

(x-a)(x-b)(x-c)除f

(x)的余式.思考:p1874,6

第34页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复习设以下所有多项式均为K上x的一元多项式

若,则若,则对

带余除法:

且当时,唯一.第35页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院互素_1定义:设f(x),g(x)∈K[x],若(f(x),g(x))=1,则称f(x)与g(x)互素.定理

设f(x),g(x)∈K[x],则f(x),g(x)互素当且仅当存在u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.注一般的若仅有d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),并不能保证d(x)=(f(x),g(x)).

但若u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,就确保(f(x),g(x))=1.第36页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例4

设则例5

设,且,证明对任意自然数m,第37页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院互素_2推论1

设f1(x)|g(x),f2(x)|g(x),且(f1(x),f2(x))=1,则f1(x)f2(x)|g(x).推论2

设(f(x),g(x))=1,且f

(x)|g(x)h(x),则

f

(x)|h(x).推论3

设(f(x),g(x))=d(x)≠0,且f

(x)=f1(x)d(x), g(x)=g1(x)d(x),则(f1(x),g1(x))=1.推论4

设t(x)是首一多项式,(f(x),g(x))=d(x),则(f(x)t(x),g(x)t(x))=d(x)t(x).推论5

设(f1(x),g(x))=1,(f2(x),g(x))=1,则(f1(x)f2(x),g(x))=1.第38页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复习若,则对

且

第39页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.4目的与要求熟练掌握不可约因式的基本性质;掌握因式分解定理的存在性与唯一性的证明方法;熟练利用标准分解式解决相关问题;理解重因式的概念与判定方法.第40页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院不可约多项式_定义定义

设f(x)∈K[x],且degf(x)≥1,若f(x)能表为两个次数较小的多项式之积,则称f(x)是K上可约多项式,否则称为K上不可约多项式.注1

只有非常数多项式才有可约或不可约的概念.注2

K上不可约多项式f(x)的因式只能是K上非零常数c及cf(x).次数为1的多项式必不可约.注3

多项式是否可约与数域K有关.

例如x2–2在Q[x]上是不可约多项式,但在R[x]上是可约多项式.注4

多项式分为:可约多项式,不可约多项式,0次多项式和0多项式.第41页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院不可约多项式_性质1性质1

f(x),p(x)∈K[x],且p(x)是不可约多项式,则或p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.性质2

设f(x),g(x),p(x)∈K[x],且p(x)是不可约多项式,若p(x)|f(x)g(x),

则或p(x)|f(x)或p(x)|g(x).注1

性质2中若不可约多项式p(x)不整除f(x),也不整除g(x),则p(x)不整除f(x)g(x).注2

性质中p(x)不可约是重要的.如p(x)=x2,f(x)=x,g(x)=x,p(x)|f(x)g(x),但第42页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院不可约多项式_性质2性质1的逆命题

设p(x)∈K[x],degp(x)>0,满足以下性质:对任意f(x)∈K[x]或p(x)|f(x)或(f(x),p(x))=1,则p(x)在K上不可约.性质2的逆命题设p(x)∈K[x],degp(x)>0,满足以下性质:对任意f(x),g(x)∈K[x],如果p(x)|f(x)g(x)必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),则p(x)是K上不可约多项式.注多项式f(x)不可约的判定除了定义外,还可以通过其与任意多项式的关系(要么整除要么互素)来判定.第43页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院不可约多项式_性质3推论设f1(x),f2(x),…,fm(x)∈K[x],且p(x)是K上不可约多项式,若p(x)|f1(x)f2(x)…fm(x),

则存在i,1≤i≤m,使得p(x)|fi(x).第44页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院因式分解基本定理_1因式分解基本定理

设f(x)∈K[x],且degf(x)≥1,则

1)f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x),其中pi(x)是K上不可约多项式,1≤i≤s; 2)若f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)

其中pi(x),qj(x)在K上不可约,1≤i≤s,1≤j≤t,则 必有s=t且经过适当调换因式顺序后,qi(x)~pi(x),1≤i≤s.

多项式的标准分解式

其中pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,ei≥1.第45页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例1

分别求多项式f(x)=6(x8–4x4+4)分别在Q、R和C上的多项式的标准分解式.第46页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最小公倍式_定义定义:设f(x),g(x)∈K[x],若m(x)∈K[x]使得

1)

f(x)|m(x)且g(x)|m(x); 2)若f(x)|l(x)且g(x)|l(x),则m(x)|l(x)则称m(x)是f(x)与g(x)的最小公倍式.首一最小公倍式记作[f(x),g(x)].例4

f(x)=(x–1)3(x+2)x,g(x)=2(x–1)2(x+2)5(x+3).求f(x),g(x)的最小公倍式、最大公因式.推论5

设f(x),g(x)是非零多项式,则f(x)g(x)~(f(x),g(x))[f(x),g(x)].第47页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院因式分解基本定理_2定理

设ai≥0,bi≥0,ai+bi＞0,1≤i≤m,pi(x)是两两互素首项系数为1的不可约多项式,则第48页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院重因式_1多项式的导数设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,则其导数为f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+a1(f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(

x)(cf(x))’=cf’(

x)(fm(x))’=mfm-1(x)f’(

x).第49页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院定义

不可约多项式p(x)称为f(x)的k重因式

(k＞1),如果并且.注

不可约多项式p(x)为f(x)的k重因式 例2

分别在R和C上叙述p(x)=x2+1是否是f(x)=(x4–1)3的重因式.若是,是几重因式;若不是,为什么?

重因式_2第50页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院定理若不可约多项式p(x)是f(x)的k(>2)重因式,则p(x)是f’(x)的k–1重因式.注1

若不可约多项式p(x)是f’(x)的k–1重因式,并不意味着p(x)是f(x)的k重因式.注2

若不可约多项式p(x)是f’(x)的k–1重因式,且p(x)|f(x),问p(x)是f(x)的k重因式么?(思考)重因式_3第51页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院定理设d(x)=(f(x),f’(x)),f(x)=f1(x)d(x),则f1(x)是一个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.

证明思路:设是标准分解式,则从而注去除重数的有效方法重因式_4第52页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院推论1

若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式,则p(x)是f(x),f’(x),…,f(k-1)(x)的因式,但不是f(k)(x)的因式.推论2

不可约多项式p(x)是f(x)的重因式 p(x)是f(x)和f’(x)的公因式.推论3

f(x)无重因式(f(x),f’(x))=1.注1

判断f(x)是否有重因式无需进行因式分解.注2

f(x)是否可约与数域有关;p(x)是否是f(x)的重因式与数域有关;但f(x)是否有重因式与数域无关.重因式_5第53页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例3:设证明:存在自然数N,使得当n1,n2>N时,总成立例4:设,证明 的充要条件是存在K上不可约多项式,使得

例5:设f(x)∈K[x],a∈K,令g(x)=f(x+a).证明f(x)在K上可约g(x)在K上可约.第54页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院作业作业:p1943,4;p2271,2;p1981(1),2,4,6;p2273;

补充1:求证无重因式.

补充2:求有重因式的条件.

补充3:f(x)=anxn+…+a1x+a0在K上可约,其中ana0≠0,证明g(x)=a0xn+…+an-1x+an在K上也可约.思考:若不可约多项式p(x)是f’(x)的k–1重因式,且p(x)|f(x),问p(x)是f(x)的k重因式么?选做:f(x),g(x)全不为零,若f(x)g(x)+f(x)+g(x)=p(x)是首一不可约多项式,则(f(x),g(x))=1.第55页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复习p(x)是K上不可约多项式

p(x)的因式只能是c或cp(x),0≠c∈K.

f(x)∈K[x],p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1.

f(x),g(x)∈K[x],且p(x)|f(x)g(x),

则p(x)|f(x)或p(x)|g(x).f(x)无重因式(f(x),f’(x))=1.设d(x)=(f(x),f’(x)),f(x)=f1(x)d(x),则f1(x)是一个无重因式的多项式,且此多项式的每一个不可约因式与f(x)的不可约因式相同.第56页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.5目的与要求理解多项式可作为函数的根的性质;理解两个多项式相等作为函数相等;了解多项式的性质与数域扩大的关系;能应用多项式的函数性质解决相关问题.第57页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式函数_1设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,对任意b

∈K,定义f(b)=anbn+an-1bn-1+…+a1b+a0,则

定义了数域K上的函数.定义设f(x)∈K[x],b∈K,且f(b)=0,则称b为f(x)在K上的一个根或零点.余数定理设f(x)∈K[x],b∈K,则存在唯一的g(x)∈K[x],使得f(x)=(x–

b)g(x)+f(b).特别地,b是f(x)的根当且仅当(x–

b)|f(x).第58页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式函数_2定理设f(x)∈K[x],且degf(x)=n,则f(x)在K内至多有n个不同的根.推论设f(x),g(x)∈K[x],且degf(x),degg(x)≤n,且存在n+1个不同的数b1,b2,…,bn+1∈K,使得f(bi)=g(bi),1≤i≤n+1,则f(x)=g(x).定理设f(x),g(x)∈K[x],则f(x),g(x)作为多项式相等(即次数和各次项系数相等)当且仅当f(x),g(x)作为多项式函数相等:即对任意b∈K,有f(b)=g(b).第59页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例例1sinx不是R上多项式.例2

设degf(x)>0,n是正整数.又若f(x)|f(xn),则f(x)的根或为0或为单位根.(复习题6)第60页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式函数_3定义b∈K,若(x–

b)k|f(x),但 则称b为f(x)的一个k重根.若k=1,则称b为单根.注1

f(x)在K上有重根,则在K上必有重因式;反之未必.命题

设f(x)∈K[x],且degf(x)=n,则f(x)在K上至多有n个根.第61页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例3

设b是f(x)的k重根,则b是f’(x)的k–1重根.反之未必.例4

设b是(f(x),f’(x))的k–1重根,则b必是f(x)的k重根.第62页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院多项式性质与数域扩大的关系多项式的整除、带余除法、最大公因式、互素与数域扩大无关定理设F,K是数域,且.设f(x),g(x)∈K[x],则

1)在K[x]上,g(x)

|f(x)在F[x]上,g(x)|f(x); 2)在K[x]上,f(x)=g(x)

q(x)

+r(x)

在F[x]上,f(x)=g(x)

q(x)

+r(x)

3)在K[x]上,(f(x),g(x)

)=d(x)

在F[x]上,(f(x),g(x)

)=d(x)

4)在K[x]上,(f(x),g(x)

)=1

在F[x]上,(f(x),g(x)

)=1

多项式的根、不可约、标准分解式与数域扩大有关第63页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例5

讨论f(x)=x2+1在R、C上的根与可约性.例6

f(x)在K上不可约,则必在任何数域上无重根(作业).例7

f(x),p(x)是K上多项式,p(x)在K上不可约,且f(x)与p(x)在C上有公共根,则p(x)|f(x).例8

f(x)=x3m+x3n+1+x3p+2,m,n,p是正整数,则x2+x+1|x3m+x3n+1+x3p+2.第64页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复习

K上x的一元多项式的标准分解式

其中pi(x)是两两互素首项系数为1的K上不可约多项式,ei≥1.ei的确定

pi(x)的确定第65页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.6目的与要求理解代数基本定理与C[x]上多项式标准分解式;熟练掌握Viète定理.第66页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复系数多项式代数基本定理

每个次数大于0的复数域上多项式都至少有一个根.推论复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.推论复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上非常数多项式的标准分解式:

其中ai∈C且两两互异,ei>0,1≤i≤m,第67页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院最重要的贡献是对代数学的推进最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。创设了大量的代数符号，用字母代替未知数系统阐述并改良了三、四次方程的解法指出了根与系数之间的关系给出三次方程不可约情形的三角解法著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作详情进入课程网站

→应用与实验→数学家简介韦达(FransoisViète,1540-1603)法国十六世纪最有影响的数学家之一第68页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院Viète定理_根与系数的关系Viète定理

设

f(x)=xn+p1xn-1+…+pn-1x+pn∈K[x]

在K中有n个根x1,x2,…,xn,则

第69页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例1

写出下列多项式根与系数的关系:

第70页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例2

设x3+px2+qx+r的三个根成等差数列,求证2p3–9pq+27r=0.例3设是x3+px2+qx+r的根.求多项式,使得其根为例4设f(x)=anxn+…+a0的n个根x1,x2,…,xn两两互异,且xi≠0,1≤i≤n,求以为根的多项式.第71页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院作业作业:p2011,2,3,5;p22711 p2061,5;p22814思考:p2063,4;p22813选做:p2016;p2278

补充:设f(x)=anxn+…+a0∈Z[x],a0为素数,且a0>|a1|+…+|an|,则f(x)在Z上不可约.第72页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复习复数域上的一元n次多项式在复数域内恰好有n个根.复数域上的不可约多项式都是一次的.复数域上非常数多项式的标准分解式:

其中ai∈C且两两互异,ei>0,1≤i≤m,第73页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院§5.7目的与要求熟练掌握实系数多项式的标准分解式;学习一些解决实系数多项式问题的方法和技巧.学会用综合除法等方法求一些Q上多项式的有理根;理解整数集Z上多项式在Q上可约性的关系;熟练应用Eisenstein判别法;了解Q上多项式分解问题的一些技巧与方法.第74页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院实系数多项式引理

f(x),p(x)是K上多项式,p(x)在K上不可约,且f(x)与p(x)在C上有公共根,则p(x)|f(x).定理

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是实系数多项式.若复数a+bi(b≠0,a,b∈R)是f(x)在C上的根,则a–

bi也是f(x)在C上的根.推论

实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,其中b2–4ac<0.实数域上非常数多项式的标准分解式:

其中ai,bj,cj∈R,ei,lj>0,bj2–4cj<0,ai两两互异,且

x2+bjx+cj两两互素,1≤i≤m,1≤j≤r.第75页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院例子例1

证明x8+5x6+4x4+2x2+1无实根.例2

设f(x)∈R[x],则在f(x)的两个实根之间至少存在f’(x)的一个根.例3

已知,ci∈R,0≤i≤n.证明f(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn至少有一个实根.例4

设f(x)∈R[x],degf(x)为奇数,则f(x)必有实数根.例5

设f(x)∈R[x],且f(x)只有实根.证明:若是f’(x)的重根(重数≥2),则f(

)=0.第76页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院复习复数域上非常数多项式的标准分解式:

其中ai∈C且两两互异,ei>0,1≤i≤m.复数域上的不可约多项式都是一次的.实数域上非常数多项式的标准分解式:

其中ai,bj,cj∈R,ei,lj>0,bj2–4cj<0,ai两两互异,且

x2+bjx+cj两两互素,1≤i≤m,1≤j≤r.实数域上不可约多项式或为一次或为二次多项式ax2+bx+c,其中b2–4ac<0.第77页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院素数与整数的互素设p,a,b是整数,且p是素数.若p整除ab,则p整除a,或p整除b.设p,a,b是整数,若p整除a,且p整除a+b,则p整除b.设p,q,h是非±1整数,且p,q互素,则若p整除qh,则p整除h.第78页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院有理系数多项式_1定理

设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系数多项式,则有理数q/p是f(x)的根的必要条件是p|an,q|a0,其中p,q是互素的整数．注1

首一的整系数多项式其有理根必为整数,且是a0的因子.注2Z上f(x)有理根q/p,则分母p必为首项系数的因子,分子q必为常数项的因子.此非充分的.例6

判断x3+6x2+9x+1是否有有理根?

判断x3+6x2+9x+54是否有有理根?第79页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学学院有理系数多项式_2定理设整数

是整系数多项式f(x)的根,则 都是整数.注1

此法仅适用于整数根的判定,一般有理根不适用.注2

∈Z仅是断定整数是f(x)根的必要条件,非充分条件.如2非x2+2的根.例6

判断6,–6是否f(x)=x3+6x2+9x+54的根.第80页，共88页，2023年，2月20日，星期五厦门大学数学科学