离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差第1页，共27页，2023年，2月20日，星期一则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xkpk+…+xnpn为ξ的数学期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值．

但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别,还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．第2页，共27页，2023年，2月20日，星期一

已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：

试比较两名射手的射击水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4

显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.第3页，共27页，2023年，2月20日，星期一一组数据的方差：方差反映了这组数据的波动情况类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差。回顾：对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.第4页，共27页，2023年，2月20日，星期一一、离散型随机变量取值的方差和标准差:一般地,若离散型随机变量x的概率分布列为：············

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。注：标准差与随机变量有相同的单位。第5页，共27页，2023年，2月20日，星期一练习：1.已知随机变量x的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求Dx和σx.解：2.若随机变量x满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Ex和Dx.Ex＝c×1＝cDx＝（c－c）2×1＝0第6页，共27页，2023年，2月20日，星期一性质2：（1）若

~两点分布，则D

=p(1-p);（2）若~B(n,P),则D=np(1-p);易证离散型随机变量的方差满足以下性质：第7页，共27页，2023年，2月20日，星期一练习1、已知随机变量的分布列为-101P

=3+1(1)E=________,D=________(2)E=_______，D=_______.2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,σx=___.E(2x-1)=____,D(2x-1)=____,σ(2x-1)=_____5025599100103.若随机变量服从二项分布，且E=6，D=4,则此二项分布是

。第8页，共27页，2023年，2月20日，星期一(1)均值称E(X)=_________________________为随机变量X的均值或______________.它反映了离散型随机变量取值的__________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn数学期望平均水平平均偏离程度1.离散型随机变量的均值与方差其中_________________为随机变量X的标准差.(2)方差称D(X)=为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____________注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。第9页，共27页，2023年，2月20日，星期一3.均值与方差的性质

(1)E(aX+b)=__________.(2)D(aX+b)=________.(a,b为常数)4.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_______.(2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________.aE(X)+ba2D(X)p(1-p)np(1-p)np第10页，共27页，2023年，2月20日，星期一

已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：

试比较两名射手的射击水平.x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.注：期望值高,平均值大,水平高方差值小,稳定性高,水平高如果其他对手的射击成绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛?如果其他对手的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛？第11页，共27页，2023年，2月20日，星期一X-101P1/21-2qq2第12页，共27页，2023年，2月20日，星期一2.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？第13页，共27页，2023年，2月20日，星期一解：因为EX1=EX2，DX1<DX2，所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。第14页，共27页，2023年，2月20日，星期一例3：盒子中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求白球数的数学期望和方差。例5：每人在一轮投篮练习中最多可投4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的投篮次数的分布列，并求出的期望E与方差D（保留3为有效数字）例4：设某运动员投篮投中的概率为p=0.6.(1)求一次投篮时投中次数的期望和方差；(2)求重复5次投篮时投中次数的期望和方差。第15页，共27页，2023年，2月20日，星期一例6:设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求其最大值。第16页，共27页，2023年，2月20日，星期一例7：将一枚硬币抛掷5次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E与方差D.第17页，共27页，2023年，2月20日，星期一离散型随机变量的期望与方差第18页，共27页，2023年，2月20日，星期一(05江西高考)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望Eξ.解:(1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则可得：第19页，共27页，2023年，2月20日，星期一第20页，共27页，2023年，2月20日，星期一例(07全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．第21页，共27页，2023年，2月20日，星期一例(07北京高考)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．1231020304050参加人数活动次数第22页，共27页，2023年，2月20日，星期一例.某电器商经过多年的经验发现本店每月出售的电冰箱的台数X是一个随机变量，它的分布列为P(X=k)=1/12(k=1,2,…,12).设每售出一台电冰箱,该经销商获利300元，如果销售不出而囤积于仓库，则每台每月需支付保养费100元.问该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均受益最大？第23页，共27页，2023年，2月20日，星期一例(07安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.第24页，共27页，2023年，2月20日，星期一解:（Ⅰ）的分布列为：ξ0123456P7/286/285/284/283/282/281/28第25页，共27页，2023年，2月20日，星期一例.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数X(按整km数计算，不足1km的自动计为1km)是一个随机变量，则其收费数也是一个随机变量.已知一个司机在某个月中每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200,220,240,260,280,300(km)，它们出现的概率依次是0.12,0.18,0.20,0.20,100a2+3a,4a（1）求这一个月中一天行驶路程