数学分析教材

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《数学分析》是师院数学专业的主修必修课程，它既是学生学习现代数学的重要

基础课程，也是培养学生数学能力的主要数学课程，这门课程横跨第一、第二、第

三个学期，占用312课时，位列各门课程之首，这门课程的教学质量，对于学生整

体专业水平，占有举足轻重的地位。

为了搞好本课程的建设，深入开展教学改革，为考核和评估提供依据，不断提

高教学质量，我们编写了这份材料，其中包括“《数学分析》对学生专业能力的培

养目标”，“《数学分析》教学目标分类表”以及“《数学分析》教学目标细目”。

这份材料客观而充分地反映了本科院校数学专业《数学分析教学大纲》对学生

知识和能力两方面的要求，详细列出本课程的知识点及能力培养要求，这对于教师

组织教学工作，编制试题，分析教学质量，都是一个重要的依据。

参加这份材料编写工作的有陈克军、钱明忠、张爱武、何新龙、韩诚、姜海波、

李高林、李万斌等老师，采取分类编制，集体讨论定稿，并得到了数学科学学院领

导的大力支持和其他课程组老师的协助。

《数学分析》对学生专业能力的培养目标

师院教学专业学生的专业能力，主要是应用数学知识分析和解决问题的能力，

具体地说，就是逻辑思维能力，运算能力以及空间想象能力，为了实现学生从高中

生到中学数学教师的转变，从专业上讲，不仅应向学生传授一定量的数学知识，而

目更应加强学生专业能力的培养。

《数学分析》是师院数学专业的主干课程，横跨三个学期，占用三百多课时，

居各门课程之首。该课程以它的系统性、简洁性、实践性而著称，它既是现代数学

的重要基础，又和应用科学联系密切，包含了极其丰富，极其重要的数学知识，数

学方法和数学思想。因此，在该课程中明确对学生专业能力的培养目标，用以指导

教学实践，无疑是十分必要的。

下面先就三个专业能力作一些说明，然后再结合大纲，教材，列出三个专业能

力的能力点。

一、逻辑思维能力

整个数学体系，是严格地按照形式逻辑的规则建立起来的，高等数学是如此，

初等数学也是如此，作为一个合格的中学数学教师，逻辑思维能力是最重要的专业

能力，而这也是师院学生最弱的专业能力。

教学中应加强逻辑思维能力的训练，逐步向学生渗透形式逻辑的基本知识，迅

速使学生养成合乎逻辑的思维习惯，切实让学生掌握数学中常用的逻辑推理方法，

教导学生自觉地按照逻辑思维规律去汲取知识，发现知识。教学中要向学生讲清概

念的来龙去脉，分析命题的条件，结论及其逻辑联系，给出严格的证明，并通过适

当的证明题作业，使学生掌握数学归纳法等直接证明方法，以及反证法，同一法，

归谬法等间接证明方法，让学生经常运用演绎、归纳、分析、综合、类比、假说等

一系列逻辑思维方法，同时，也应逐步向学生介绍函数论中十分精彩的举反例方法,

变量代换方法，辅助函数方法，提高学生分析和解决证明题的能力。

二、运算能力

运算能力对于一个合格的中学数学教师是十分重要的，它包括运算速度和准确

性两个方法，教学中许多老师均感到不少学生运算能力较差，考试中在运算方面失

分较多，必须加强对学生进行运算能力的训练，教学中应适当增加运算的复杂性和

运算量，逐步向学生介绍提高运算速度以及保证运算正确性的各种技巧，巩固学生

在中学学到的各种运算方法，加强学生的恒等变形能力。《数学分析》中包含了各

种常用的运算方法及许多计算技巧。

三、空间想象能力

空间想象能力的培养也是不可忽视的。教学中应通过有关概念、命题的儿何意

义，儿何应用，通过函数与图形的联系，通过空间实物，模型的演示，逐步增强学

生的空间形体观念，不断提高学生的空间想象能力。

以下我们分别列出以上三种能力的能力点，以资教学中参考。

I逻辑思维能力能力点

一、概念（定义）

1、函数概念

2、极限概念

3、一致连续性概念

4、导数概念

5、定积分概念

6、级数的一致收敛性概念

二、判断（命题）

1、反函数存在性条件

2、数列极限的等价定义

3、数列的收敛性与有界性的关系

4、实数连续性的公理

5、数列收敛的柯西准则

6、海涅定理的逆命题

7、实数连续性的儿个等价的关系

8、连续性与一致连续性的关系

9、连续性与可导性的关系

10、可导与可微的关系

11、三个微分中值定理之间的关系

12、单调性条件

13、连续性与可积性的关系

14、级数收敛必要条件的运用

15、级数的收敛与绝对收敛的关系

16、函数项级数的收敛性与一致收敛性的关系

17、多元函数可偏导与可微的关系

18、曲线积分与路径无关的条件

三、推理与证明

1、反函数存在性定理

2、极限理论

3、函数的连续性

4、微分中值定理

5、实数连续性基本理论

6、闭区间上连续函数的基本性质

7、函数的可积性理论

8、微积分学基本定理

9＞函数项级数一致收敛理论

10、函数项级数和函数的分析性质

11、隐函数存在性定理

12、闭回路曲线积分理论

13、含参变量广义积分的一致收敛理论

14、一元理论向多元理论的类比推理

II运算能力能力点

1、函数值的计算

2、函数定义域的计算

3、求数列或函数的极限

4、求函数的导数或偏导数

5、求函数的极值或条件极值

6、求函数的不定积分，定积分，重积分或曲线、曲面积分

7、求函数级数的收敛域，和函数求函数的泰勒级数，傅里叶级数

8、求曲线的切线，法线及弧长

9、求曲面的切平面，法线及面积

10、求立体的体积及侧面积

11、求物体运动的速度，加速度及质量

12、求变力作功

13、求液体压力

14、求物体的重心

m空间想象能力能力点

1、函数与图形的结合

2、导数与切线斜率

3、函数单调性，凹凸性的研究

4、定积分与曲边梯形的面积

5、偏导数与空间曲面的切平面

6、重积分与空间立体的体积

7、相贯体上三重积分的计算

8、柱面、球面坐标的直观演示

最后，我们申明两点：

1、《数学分析》中充满了辩证法，教学中应注意渗透辩证法的变化，发展以及

联系的观点，让学生学会辨证思维方法.

2、学生专业能力的培养，是一项长期而又艰巨的工作，光靠一门课程，一个

教师的工作是不够的，需要全体任课教师通力协作，一丝不苟的努力.

《数学分析》教学目标分类表

类别代号分类目标说明

这是本目标分类中的最低层次，应达到以下的要求：

识记A(1)对所授知识以原有形式存入大脑，并能准确地再现；

(2)能应用所记知识进行直接的判断，填空和计算.

在已达识记目标的基础上，应达到以下的要求

(1)理解所授知识的含义，与已接受知识建立联系，使

之系统化；

理解B(2)了解知识的来龙去脉，弄懂知识形成的思维方法和

逻辑推演过程.

《数学分析》知识极其丰富，学生对知识系统和逻辑结构

的掌握，是至关重要的，这是教学工作的主要目标.

在已理解目标的基础上，应达到以下的要求：

(1)能应用掌握的知识，熟练地解答一般难度的计算题

和应用题；

简单(2)能应用掌握的知识，进行简单的、合乎逻辑的推理

C

应用论证.

《数学分析》知识的掌握程度，总是以解题的形式来检查

的，因此，在教学工作中，应保证学生有足够多的解题实

践.

这是本目标分类中的最高层次，应达到以下的要求：

(1)能应用所授知识，解答综合性较强的习题；

(2)能将所授知识应用于生产实际，解决实际问题；

综合

D(3)能应用所授知识去获取新知识，建立新知识.

应用

《数学分析》是一门比较成熟，应用性较强的学科，后继

课程很多，教学工作中，注意深、广度上引导学生有余力

的学生.

《数学分析》教学目标细目

目

序

标

号

等

知识点知识点细目级

第一章函数

§1.1函数概念

1函数概念设H为实数集，AuR,AH0,如VxeA,按照对应关系

/,eR与x对应，则称对应关系/是定义在数集4

C

上的函数，A称为函数的定义域，/(4)={/(x)|xeA}

称为/的值域，记成了:AfR.

2函数的四则运算设-g:BTR,Ar>B^0,则/,g的

和、差、积、商分别由以下各式定义：

(/+g)=/(x)+g(x),xeAr>B

B

(/_g)=/(x)—g(x),xeAc8

(7•g)=/(x)•g(x),xeAc8

(〃g)=/(x)/g(x),xeAcB

3函数的三种表示方解析法；(2)表格法；(3)图像法

A

法

§1.2几种特殊的函数

4有界函数设函数/在数集A上有定义，如果三加>O,VxeA,有

(i)\f(x)\<M,则称/在A上有界；

C

(ii)f(x)<M,则称/在A上有上界；

(iii),则称/在A上有下界.

5三种有界性之间函数/在数集A上有界当且仅当/在A上既有上界，又

B

的关系有下界.

单调函数

6设函数/在数集A上有定义，如果\/苍,犬2eA,xt<x2,

有

C

(i)/(x,)</(x2),则称/在A上单调增加：

(ii)/(%,)</(x2),则称/在A上单调增加；

(iii)/(%,)</(x2),则称/在A上严格增加；

(iv)/(xt)>/(%,).则称/在A上严格减少.

7奇、偶函数设4为一个数集，VxeA,有一xeA,/在数集A上

有定义，如果VxeA,

B

(i)/(—x)=—/(x),则称/在数集A上是奇函数；

(ii)/(-x)=/(x),则称f在数集A上是偶函数.

8周期函数设A为一个数集，L为一非零常数，若VxwA,有

x+设/在数集A上有定义，且VxeA,有

B

/(x+L)=/(x),则称/在A上是周期函数，L称为f

的一个周期.

§1.3复合函数与反函数

9复合函数的概念设y=夕(x)的定义域为A,z=/(y)的定义域为B,且

G=｛xeA\(p(x)=B]^0,则对xeG,七GR,满足

C

z=/"(x))，从而在G上定义了一个函数，称之为函数

z=f(.y)与y=夕(x)的复合函数•

10反函数的概念设山函数y=/(x),x£A,如果A满足

/(x)=y，则在/(A)上定义了一个函数，称之为函数

C

y=/(x),x£A的反函数，记成

x=f'(y)，yG/(A)或y=M,xe/(A).

II反函数的存在条件若函数y=/(x)在A上严格增加(减少)，则y=f(x)存

B

在反函数，且》=/i(y)在/(A)上也严格增加(减少).

12初等函数的概念由常值函数与基本初等函数(事函数，指数函数，对数函

数，三角函数，反三角函数)，经过有限次四则运算以及A

有限次复合运算所得的函数统称为初等函数.

第二章松嘏

§2.1数歹।界限概念

13£—N定义若V£〉0JN£N,当">'时，总有〃“一Q<£,则称

D

数列｛%｝收敛于a,记成liman=。或〃〃->a(nToo).

n—KC

14用定义证明数列极(l)直接由£解出N；

B

限式(2)利用不等式放大，又由£找出N.

§2.2收敛数列的基本性质

15收敛数列极限的唯若数列｛%｝收敛，则它的极限唯一.

C

一性

16收敛数列的有界性若数列｛4｝收敛，则5,｝有界.C

17收敛数列的保号性(1)若lima”=b,acbJUHN>N,

n—>00H—>cc

当〃〉N时恒有与<bn,

C

(2)若=a,limb,=/?,3N〉％,当〃>"时，

恒有%<bn,贝.

18收敛数列子列的收设数列｛4｝收敛于。，则｛〃〃｝的任一子列｛%J也收敛于

B

敛性a.

19收敛数列的四则运设数列｛4｝｛〃,｝收敛于a，b,则

算法则(i)｛a“+。”｝收敛于a+b；

C

(ii)｛a“0｝收敛于”；

(iii)匕W0时，他“/或｝收敛于a/b.

§2.3数列收敛的判别法

20两边夹法则设三个数列{%}{4}{5}满足

(i)3NeN+时，当〃〉N时，恒有a“Wc“；C

(ii)liman=limcn=l,则limbn=1.

21单调有界法则单调有界数列必收敛(取作公理).C

22重要极限Ilim(l+-)n=eC

M->00〃

23柯西准则数列仅“｝收敛=Ve>0,3NeN,当〃?,〃>N时，

C

恒有一a』<£(证明待后).

§2.4函数极限的概念

24£-X定义(1)设函数/在［a,+oo)上有定义，lim/(x)=A：

XT4O0

V£>0,3X>0,当x>X时，恒有|/(x)-A|<£；

C

(2)设函数/在(一8,。］上有定义，lim/(x)=A：

XT-30

V£〉0JX>0,当x<—X时，恒有|/(X)—A|<£；

(3)设函数/(x)在国之。时有定义，lim/(x)=A：

>0,前>0,当|x|>X时，恒有|/(x)-川<£.

25£—d定义(1)设/在。的一个去心邻域内有定义

lim/(x)=A：

XT"

V£〉ojb>o,当b>x-a|>0时，恒有|/(X)-A|<£；

(2)设/在(a-6,a)的一个去心邻域内有定义

(〃>0),左极限lim/(x)=A：

x->a~

Ve>0,3^>0,当a<x<a时，

C

恒有|/(x)-川<£；

(3)设/在(〃,〃+〃)的一个去心邻域内有定义

(/1>0),右极限lim/(x)=A：

x—>a+

Vf>0,3^>0,当a<x<a+冽寸，恒有

\f(x)-A\<£.

26极限与单侧极限的lim/(x)=A=limf(x)=4olimf(x)=A

x->ax->a~x->a+B

关系

27用定义证明函数的(l)由|/(x)—川<£直接求出X或3；

极限式B

(2)利用不等式放大，再由£求出X或b.

§2.4函数极限的基本性质(以。的情形为例)

28函数极限的唯一性

若函数/(x)在点a存在极限，则极限唯一确定。C

29局部有界性若函数/(x)在点。存在极限,则函数/(x)在点a的某个

C

去心邻域内有界。

30局部保号性设lim/(x)=A,limg(x)=B

x-^ax—

(1)如果A>8,则。的某个去心邻域内恒有

/(x)>.?(%)；C

(2)如果在a的某个去心邻域内恒有f(x)>g(x),则

A>B.

31四则运算法则设/(x)-»A,g(x)->B(x-»a)

则(i)f(x)+g(x)->A+B；

C

(ii)f(x)-g(x)->A-B：

(iii)BwOH寸，/(x)/g(x)—>A/6(xfa).

§2.4函数极限存在的判别方法(以x-»a的情形为例)

32两边夹法则设/(x),g(x),〃(x)满足

(i)在。的某个去心邻域内恒有/(x)4g(x)4力(x)；

C

(ii)lim/(x)=limh(x)=A,则limg(x)=A.

x—>ax—>ax—>a

「sinxi

33重要极限I】lim------=1

XC

34函数极限与数列极限lim/(x)=A的充分必要条件是对/(x)定义域中任

XT。

的关系(Heine)

意数列{%},当一>。(〃f8),。〃WQ时，有C

hmf(a)=A.

n->oon

35柯西收敛准则/(X)在。点存在极限的充分必要条件是对任意

£>0,存在6>0,对/(X)定义域中任意X”声,当C

0<|x(--a|<3,i=1,2时，总有|/(再)一/(彳2)|<£♦

§2.7无穷小与无穷大(以xfa的情形为例)

36无穷小的概念如果xfa时，/(x)f0,则称/(x)是xfa时的

B

无穷小.

37无穷小的简单性质(1)x—>a时的无穷小的和、差、积都时的无

穷小；

(2)若/(x)是xfa时的无穷小，而g(x)在。的某B

个去心邻域内有界，则/(幻W")是》一。时的无穷

小.

38极限与无穷小的关系/(X)在。点的极限为A的充分必要条件是存在

B

的无穷小。(x),使f(x)=A+a(x).

39设/(x),g(x)为xfa时的无穷小B

(i)若1加以也=0,则称尤-＞。时,/(x)是比g(x)

fg(x)

高阶的无穷小，记成/(X)=o(g(x)).

(ii)若则称时，f(x)与g(x)为

x"g(x)

同阶的无穷小，特别地，当A=1时，称xfa时，/(%)

与g(X)为等阶无穷小，记成/(X)sg(x).

40无穷小的阶若xfa时，/(x)与(X—。)"为同阶无穷小，则称

A

/(x)是关于(x—a)的〃阶无穷小.

41等价无穷小代换法若尤一>Q时，/(X)sg(x),并且

B

lim/(x)-/z(x)=A，则lim/'(x)・〃(x)=A.

A—x—>a

42无穷大的概念设f(x)在。点的某个去心邻域内有定义，

(i)limf(x)=+oo：

VA/>0,3<>>0,当0<|x—a|〈用寸，恒旬'(x)〉M；

(ii)lim/(x)=-oo：

A

YM>0,3^>0,当0<|x—a|〈用寸，恒河(x)<—M；

(iii)lim/(x)=oo：

MM>0,3J>0,当0<|x—寸，个的

43无穷大与无穷小关系设/(》)在。点的某个邻域内不为0,/(x)为xfa时

B

的无穷大=」一为xfa时的无穷小.

/(x)

第三章函数的连续性

§3.1函数连续性的概念

44函数在一点的连续性设/(X)在。点的某个邻域内有定义，如果

C

概念

limy(x)=f(a)，则称/(x)在。点连续.

XT。

45单侧连续性概念(i)设/(x)在a点的某个左邻域伍-瓦团有定义,

且f(a-0)=f(a),则称/(x)在a点左连续；

C

(ii)设/(x)在a点的某个右邻域［a,a-3)有定义，

且/(a+0)=/(a),则称/(x)在a点右连续.

46函数在区间的连续性(i)若/(x)在(a,b)内每一点连续，则称/(x)在开

概念区间(。,份内连续；

(近)若/(划在3力)内连续，且在在a点右连续，在

A

b点左连续，则称/(x)在［a,b］上连续；

(iii)类似地可定义函数在半开区间或无穷区间的连续

性.

47连续函数的局部性质(i)局部有界性.若『(X)在a点连续,则/(x)在。

点的某个邻域内有界；

B

(ii)局部保号性.若/(x)在a点连续，则当/(a)丰0

时，/(x)在点a的某个邻域内与/5)保持一符号.

48间断点及其类型(i)设/(x)在。点的某个去心邻域内有定义，若

/(x)在。点不连续，则称a是/(x)的一个间断点(或

不连续点).

(ii)设。是/(x)的一个间断点，且/仅一0),

/(a+0)均存在，则称。是/(x)的一个第一类间断

C

点.特别地，当/(a—0)=/(a+0)时，称。是/(x)的

一个可去间断点.

(iii)设a是/(x)的一个间断点，且/(。一0),

/(a+0)至少一个不存在，则称a是/(x)的一个第二

类间断点.

§3.2闭区间上连续函数的性质

49有界性若/(x)在闭区间［a,句上连续,则/3)在出,们上有

A

界(证明留待第六章).

50取最大值、最小值性若fix')在闭区间在，句上连续，则/(X)在［。,们上能

取得到最大值和最小值，即存在不修€［4,句，使对任

A

意xw［a,切，总有/(xjw/(x)4/(X2),证明留待第

八早.

51介彳直性若/(X)在闭区间［a,句上连续,则对任意九M之间任

A

意一个值〃，存在Ce［a,b］,使/(c)=〃，其中

m=min{/(x)|xe[a.b]],M=max{/(x)|xe[a.h]}

(证明留待第六章).

52根的存在性若/'(X)在区间［a,加上连续，且f(a>/S)<0,则存

C

在ce(a,b),使得/(c)=0.

§3.3初等函数的连续性

53连续函数的四则运算若/(x),g(x)在a点连续，则

/(x)土g(x),/(x>g(x),/(x)/g(x)(g(a)#0)也在C

。点连续.

54反函数的连续性若/(X)在区间［a,b］上连续且严格增加(或严格减少),

则其反函数f-'(x)在或C

(L/S),/(4)］)上严格增加(或严格减少)且连续•

55复合函数的连续性若f(x)在区间［a,瓦|上连续,z=/(y)在%=°(a)连

C

续，则z=/"(x))在。点连续.

56初等函数的连续性初等函数在其定义域上处处连续.C

第四章导数与微分

§4.1导数概念

57导数定义设函数/(X)在X。的某邻域内有定义，设X在X。的改变

量是Ai,相应地，函数的该变量是4，=/(4+&)-/(4),

如果极限lim包=lim存在，则

42。AJCAr

D

称函数/(X)在点X。可导，并称极限值为/(X)在X。的

导数(或微商)，记成/'(/),(或祟1=3),如果以

上极限不存在，则称“X)在X。不可导.

58单侧导数概念如果极限lim包=lim/6+»-18)存在,则

Ax.->0Ax

称函数/(x)在与左方可导，并称极限值为/(X)在/

B

的左导数，记成£(%).类似地，可以定义函数/(X)

在与右方可导及右导数：lim今=lim幽生吐遍

加加

59可导与连续的关系若函数/(X)在X。可导，则函数/(X)在X。连续，其逆

C

不真.

60函数在区间可导、导如果函数y=/(x)在开区间(a,b)内每一点可导，则称

函数

y=/(x)在开区间(a,b)可导;如果y=/(x)在开区

间(4力)可导，且在。点右方可导在匕点左方可导，则

B

称函数y=/(x)在闭区间也，加可导.类似地，可定义

函数在一般区间/可导的含义，对于xe/,/'(x)称为

y=/(x)在I上的导函数，也记成y'或包.

dx

61导数的几何意义如果曲线的方程是y=/(x),且函数y=/(x)在/可

B

导，则曲线在(/，/(演)))的切线斜率为k=/Vo)-

62由定义求导函数基本步骤：

(I)取Ax,计算/1(x+Ax)；

(II)计算Ay=/(x+Ax)-/(x)；

C

(III)计算”；

Ax

(IV)计算lim包.

加TOAx

§4.2求导法则

63导数的四则运算设U(x),V(x)在x可导，则C

(i)[U(x)±V(x)]'=U'(x)±V'(x)；

(ii)[U(x)-V(x)]'=UXx)-V(x)+U(x)-V\x)；

〃孙，U'(x)W(x)—U(x)W'(x)

J0[V(x)T=唳

64反函数求导法则若函数/(x)在点X。的某邻域内连续且严格单调，在点

X。可导，且/'(Xo)wO,则其反函数x=9(y)在％可

B

导，并且夕(%)=,,/、，其中方=/(/).

/(%)

65复合函数求导法则

若函数y=/(U)在U可导，函数U=g(x)在x可导，C

则复合函数y=/(g(x))在x可导，并且

｛加闻｝'=/.g'(x)或半=(半).(半)

axduax

66导数公式1、(c)f=0；

2、(/)=卬:",

3、(10gX)=；

axlna

4^(ax\=ax\na；

5(sinx)"=cosx；(cosx)'=-sinx；(tanx)"=secrx；

(cotx)/=-esc2x；(cscx)'=-cscx-cotx；C

(secx)'=secx-tanx；

6、(arcsinx)'=-,：；(arccosx)'=—,-；

(arctanx)r=-；(arccotx)r=----.

1+x1+x~

67参数方程求导法则若函数/(x)由参数方程

x=e(f),y=0(f),a4f4/?,。。),。。)可导，且