因式分解、分式、数的开方

中国教育出版网二、因式分解、分式、数的开方郭福林【近四年江苏省十三大市中考因式分解、分式、数的开方的分值与比率】(仅供参考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市108．33108．3354．17苏州市32．40129．60118．46无锡市107．69118．461511．54常州市65．0054．1775．83镇江市65．0097．501210．00扬州市85．3342．671510．00泰州市96．0096．0096．00南通市21．5464．0085．33盐城市64．0096．00117．33淮安市129．231711．3385．33宿迁市128．00128．001610．67徐州市42．6721．3353．33连云港市53．3374．671510．00合计93113137平均7．755．719．426．8411．428．17【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为8分，比率约为5．33%】【课标要求】(1)会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)、十字相乘法进行因式分解(指数是正整数)．(2)了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．(3)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．(4)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根．(5)了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，要求掌握分母为一项或两项的无理式的分母有理化，会用它们进行有关实数的简单四则运算．【课时分布】因式分解、分式、数的开方本单元在第一轮复习时大约需要4课时，其中包括单元测试．下表为复习内容及课时安排(供参考)．课时数内容1因式分解1分式1数的开方1因式分解、分式、数的开方单元测试与评析【知识回顾】提公因式法1．知识脉络(教材相应章节重要内容的结构与联系)提公因式法公式法因式分解公式法因式分解分组分解法分组分解法十字相乘法十字相乘法通分分式的基本性质通分分式的基本性质约分约分实际问题实际问题分式的乘除分式分式的乘除分式分式运算分式运算分式的加减分式的加减平方根二次根式平方根二次根式化简计算化简计算立方根数的开方立方根数的开方2．基础知识(教材相应章节重要内容整理)(1)因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫多项式的分解因式．(2)因式分解的常用方法及用法说明①提公因式法：．说明：提公因式法的关键是确定公因式，即ⅰ取各项系数的最大公约数；ⅱ字母取各项的相同的字母；ⅲ各字母的指数取最低的指数．②公式法：；；﹡；﹡．说明：运用公式法时要注意判断所给多项式是否符合公式结构特征，并牢记公式结构特征．③十字相乘法：；()．说明：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．④分组分解法：分组的目的是为了创造条件实现分解．通常情况有：分组后能提公因式、分组后能用公式、分组后能十字相乘．说明：分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组内能分解因式，再使因式分解能在各组间进行．分解因式时应当先考虑提公因式，然后判断是否可以用公式，最后考虑分组分解．(3)分式的概念①形如(、是整式，且中含有字母，)的式子叫做分式．其中叫做分式的分子，叫做分式的分母．整式和分式统称有理式；②分式有意义：分母不为零；分式无意义：分母为零；③分式值为零：分子为零，且分母不为零．(4)分式的基本性质：，(其中M是不为零的整式)．(5)分式的运算：分式的运算与分数的情形类似．(6)平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，记作．正数的正的平方根，叫做的算术平方根，的算术平方根是．非负数的算术平方根记作eq\r(a)．(7)立方根：如果一个数的立方等于那么这个数叫做的立方根，记作．(8)二次根式的几个概念：①形如的式子叫二次根式；②如果一个二次根式满足下列条件：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．③当几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．④把分母中的根号化去，叫做分母有理化．(9)二次根式的性质：；；；；．(10)二次根式的运算：①二次根式的加减运算类似于整式的加减运算，关键是合并同类二次根式．通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并．②二次根式的乘除法是二次根式性质的逆向应用．③二次根式运算结果中的每一项都应是最简二次根式．3、能力要求例1把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【分析】结合项数、项间结构观察(1)(2)(3)题，发现把(1)中的“”化为“”，(2)中的“”化为“”，(3)中的“”化为“”以及“”化为“”后，(1)(2)(3)题分别具有因式分解的平方差公式，完全平方公式，立方差公式特征．(4)对于二次三项式的因式分解，常常考虑用完全平方公式或十字相乘法来分解．(5)(6)两题分别有公因式，故应先分别提取公因式，然后结合多项式所具有的结构特征选用公式或用十字相乘法．(7)所给习题有四项，应考虑分组分解．分组时可以考虑两项两项分组或一项三项分组．【解】(1)原式；(2)原式；﹡(3)原式；(4)原式；(5)原式；(6)原式；(7)原式．【说明】华师版义务教育课程标准实验教科书中的因式分解要求偏低．事实上，学生能灵活运用分解因式方法，将利于学生灵活解答其它章节的习题，如：分式混合运算、求解一元二次方程等；另外，分组分解的关键在于分组的合理性，值得注意的是分组的方法没有固定的形式，要依据其特征，适当地分组使其组间具有公因式或可运用公式；对于立方和(差)公式，在中考总复习时要适当补充，让学生会运用立方和(差)公式进行简单地因式分解．例2下列各组二次根式(，，)中，是同类二次根式的一组是()．A．和；B．和；C．和；D．和．【分析】解答本题的关鍵是正确化简选项中的二次根式．【解】选项A：和；选项B：和；选项C：和；选项D：和．∴故答案选项Ｄ．【说明】最简二次根式、同类二次根式是二次根式一章中的两个重要概念．熟练运用这两个概念，有利于熟练地进行二次根式运算，因此在总复习时，应加强二次根式的化简训练．例3先化简，再求值：，其中．【分析】本题是一道分式的混合运算，考查了分式混合运算顺序，因式分解、通分、约分等运算能力以及多项式分子分母的变形要求以及整式在分式加减运算时的处理办法．【解】原式．当时，原式．【说明】本题型在以往的中考卷中经常出现，是值得教师重视的题目类型．在解答本题的时候，学生易于漏掉第一个分式前的负号，这也是教师最为头疼的地方．复习时，建议进行适量的强化训练．本题中的的取值可以变为“自取的值”，这就要关注分式有意义的涵义．例4若、为实数，且，试求的值．【分析】本题借助计算题的形式考查了二次根式的概念中的被开方数为非负数的这一隐含条件．【解】∵，∴即∴．∴．∴．∴原式．【说明】在复习时，要注意培养注重基础的学习态度，抛弃选偏题、挑难题、做怪题的投机心理；同时，教师要在注重基础的前提下精选题、善变式，让学生的解题思维精细灵活．例5化简并求值：，其中，．【分析】通常情况下，利用有理化因式把该题的分母有理化，但它带来了繁琐的运算．仔细观察易发现：由于，若运用，则可在分子分母上分别提取、，然后再约分化简．这样能简化运算步骤和减少计算量．【解】∵，，∴原式．∵，，∴，．∴原式．【说明】本题是二次根式计算问题．复习时，要让学生先观察分析题目信息特征，再有效地选择计算方法；要让学生抛弃盲目地程序性地解答计算题的潜在意识．【复习建议】1．概念的复习，要结合概念中的关键性词语，进行比