圆锥曲线与方程

选修1－1第二章圆锥曲线与方程[课标研读]［课标要求］了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.[命题展望]本章内容是高中数学的重要内容之一,也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值高达20分左右。主要呈现以下几个特点：1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现；2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度；3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。第一讲椭圆[知识梳理]［知识盘点］一．椭圆的基本概念1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为。这两个定点叫椭圆的，两个焦点之间的距离叫做椭圆的。2．椭圆的第二定义：平面内，到定点的距离与到定直线的距离之比是常数（即）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数叫做椭圆的。二．椭圆的标准方程3．当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且；当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且.当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。三．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形yyA2B2OA1B1F2F1yyA2B2OA1B1F2F1x焦点坐标F1（）,F2（c,0）F1（0,c）,F2（）对称性关于x,y轴成中心对称关于原点成中心对称顶点坐标A1（－a,0），A2()B1()，B2(0,b)A1（），A2(0,a)B1(－b,0)，B2()范围，长轴短轴长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为离心率椭圆的焦距与长轴长的比e＝椭圆的焦距与长轴长的比e＝准线方程x=y=［特别提醒］1．本部分的重点是掌握椭圆的定义，离心率与a,b,c之间的关系和椭圆方程的求法，定义和性质的应用是椭圆知识的重点。突破重点的关键，一是要掌握好定义的几何条件，即椭圆＝是常数；二是要熟练掌握椭圆标准方程的求法及其特点，运用定义时要注意隐含条件，明确离心率确定椭圆的形状。2．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点（顶点、焦点、中心）、准线、对称轴及其它特性的讨论从整体上把握椭圆的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质。因此在复习中就注意图形与性质对照，方程与性质对照来理解，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质。由椭圆的定义得到椭圆上任意一点到焦点的距离（即焦半径）公式（或）在解题中有着重要的作用。3．涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，可以通过讨论椭圆方程与直线方程组的实数解的个数来确定，通常来说消元后得到一个关于x或y的一元二次方程，要注意判别式及韦达定理的运用，特别是方程思想、整体思想在解题过程中的应用。4．求椭圆标准方程的常用方法是待定系数法和轨迹方程法。直线与椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程则由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中的重要方法之一。另外，利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成各类试题是解析几何中长盛不衰的主题，其中利用直线方程、直线与椭圆相交后的弦求椭圆方程是各类试题中最难的试题，也是高考的热点题型之一。[基础闯关]1．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）(A)－1(B)1(C) (D)－2．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|=()(A)11(B)10(C)9(D)163．已知两定点、且是与的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）（A）（B）（C）（D）4．（2022年全国卷II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()（A）2EQ\r(,3)（B）6（C）4EQ\r(,3)（D）125．（2022年上海卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．6．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为F1，F2，过点F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长是.[典例精析]例1．设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，求PF1F2的面积。［剖析］由椭圆方程可求出2a与2c，且由|PF1|：|PF2|＝4：3知可求出|PF1|，|PF2|的长度，从而可求三角形的面积。［解］由于|PF1|＋|PF2|＝7，且|PF1|：|PF2|＝4：3，得|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1F2是以PF1，PF2为直角边的直角三角形，从而所求PF1F2的面积为S＝|PF1||PF2|＝43＝6.［警示］本题运用了椭圆的定义来解题。椭圆定义是用椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和来描述的，定义中|PF1|＋|PF2|＝2a＞|F1F2|.定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程。因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决。［变式训练］：已知点A(3,0)，B(－2,1)是椭圆内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|+|MB|的最大值与最小值。例2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。［剖析］由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况。［解］设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|PF1|=，|PF2|=由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=,即，由|PF1|＞|PF2|知PF2垂直于长轴。所以在中，4c2=|PF1|2－|PF2|2=,所以c2=，于是b2=a2－c2=又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为或.［警示］求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决。椭圆中有“六点”（即两个交点与四个顶点）“四线”（即两条对称轴与两条准线），因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果。［变式训练］2．（2022年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程。例3．求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.［剖析］对于（1），由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在x轴、y轴上的标准方程，进行讨论求解；或采用椭圆方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)直接求解，避免讨论；对于（2）由于椭圆的焦点坐标为，因而可设所求的椭圆方程为，只要由题设条件确定的值即可.［解］（1）［解法一］=1\*GB3①当所求椭圆的焦点在轴上时，设它的标准方程为，依题意应有，解得，因为从而方程组无解；=2\*GB3②当所求椭圆的焦点在轴上时，设它的标准方程为，依题意应有，解得，所以所求椭圆的标准方程为.故所求的椭圆的标准方程为［解法二］设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，依题意得，解得，从而所求椭圆的标准方程为.（2）［解］因为椭圆的焦点坐标为，，从而可设所求的椭圆的方程为，将又因为经过点(2，－3)，从而得，解得或（舍去），故所求椭圆的标准方程为：.［警示］由于题（1）中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且)，而不必考虑焦点的位置，求接求得椭圆的方程；题（2）中椭圆变形为，其焦点坐标为，，所设的方程是具有共同焦点的，的椭圆系方程。遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程。另外本题还可以设方程，等解决。一般说来，与椭圆具有相同焦点的椭圆方程可设为，其中。本题实质上运用的也是待定系数法。［变式训练］3.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点，且与椭圆具有共同的焦点.例4．在中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求的重心的轨迹方程。MBOEyDACx［剖析］：有一定长线段MBOEyDACx［解］如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。设M为的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知，，于是==.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.26，，又，，，故所求的椭圆方程为.［警示］在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为，应考虑若时，A、B、C三点在同一条直线上，不可能构成三角形，所以应将去掉。另外，平面内一动点与两定点F1，F2的距离之和为常数2a，当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹不存在。［变式训练］4．在中，，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变，求曲线E的方程。例5．设的轨迹是曲线，满足：点到的距离与它到直线的距离之比是常数，又点在曲线上，点在曲线的内部.(1)求曲线的方程；(2)的最小值，并求此时点的坐标.［剖析］：由已知条件通过列方程，不难得出曲线的方程，但要注意计算准确。［解］(1)设是曲线上任一点，则为常数)，即，又点在曲线上，所以，所以，所以曲线的方程是，即.(2)是椭圆的左焦点，实际上是点到左准线的距离.所以当与左准线垂直时，的值最小，此时点的坐标为.［警示］由本例可知，点到的距离与它到直线的距离之比，是一个在(0,1)的常数，事实上，平面内到一定点的距离和一条直线(不在直线上)的距离之比是常数的动点的轨迹就是椭圆，其中定点是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的这个焦点所对应的准线，这就是椭圆的第二定义。［变式训练］5．设的轨迹是曲线，满足：点到的距离与它到直线的距离之比是常数，又点在曲线上，点在曲线的内部.(1)求曲线的轨迹方程；(2)的最小值，并求此时点的坐标.例6．设点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且，求椭圆的离心率的取值范围。［剖析］由题设条件不难看出是一直角三角形的三个顶点，且由，可想到利用勾股定理来加以解决。［解］由椭圆的定义得=1\*GB3①在中，，由勾股定理，得=2\*GB3②将=1\*GB3①=2\*GB3②化简得：=3\*GB3③由=1\*GB3①=3\*GB3③，根据韦达定理，可知是方程的两个根。则有，所以，即，又，从而.［警示］<<考试大纲>>要求掌握椭圆的简单几何性质，这就要求我们不仅准确把握和牢固地记忆这些几何性质，还要灵活地运用这些性质解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题型，需要重点把握。［变式训练］6.设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．[能力提升]1．有以下两个命题：(1)动点到两定点的距离之和且为常数)；(2)点的轨迹是椭圆.则命题(1)是命题(2)的()(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件2．(2022年山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)3．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（）(A) (B) (C) (D)4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）(A)（0，＋∞） (B)（0，2）(C)（1，＋∞） (D)（0，1）5．（2022年湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴