四随机过程的功率谱密度

四随机过程的功率谱密度2023/4/41第1页，共50页，2023年，2月20日，星期四引言在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即第2页，共50页，2023年，2月20日，星期四通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小，称为信号的规范量。 一阶规范量，若模可积，即满足 则一阶规范量定义为 否则定义为6.1确定信号的大小、能量和功率确定信号的大小、能量和功率第3页，共50页，2023年，2月20日，星期四二阶规范量，若模可积定义为

否则定义为第4页，共50页，2023年，2月20日，星期四向量范数定义1.第5页，共50页，2023年，2月20日，星期四显然第6页，共50页，2023年，2月20日，星期四设信号s(t)为非周期实函数，且满足：

1)，即s(t)绝对可积；

2)s(t)在内只有有限个第一类间断点和极值点。那么，s(t)的傅立叶变换存在，为又称为频谱密度，也简称为频谱。信号s(t)可以用频谱表示为确定信号的频谱和能量谱第7页，共50页，2023年，2月20日，星期四信号s(t)的总能量为根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即其中称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。有限能量信号：是能量谱密度存在的条件第8页，共50页，2023年，2月20日，星期四样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的因此，可以研究随机过程的功率谱。样本函数x(t)的截取函数随机信号的功率第9页，共50页，2023年，2月20日，星期四截取函数的傅立叶变换截取函数应满足帕塞瓦定理两边同除以2T可得第10页，共50页，2023年，2月20日，星期四取集合平均可得随机过程的平均功率功率谱密度第11页，共50页，2023年，2月20日，星期四两个结论1、随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。若随机过程广义平稳2、若随机过程广义平稳第12页，共50页，2023年，2月20日，星期四1、功率谱密度为非负的，即2、功率谱密度是ω的实函数。3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即功率谱密度的性质第13页，共50页，2023年，2月20日，星期四截取函数为t的实函数，根据傅立叶变换的性质于是4、功率谱密度可积，即第14页，共50页，2023年，2月20日，星期四功率谱密度的表达式为 其中功率谱密度可表示为功率谱密度与自相关函数第15页，共50页，2023年，2月20日，星期四由得第16页，共50页，2023年，2月20日，星期四对于广义平稳随机过程则维纳－辛钦定理第17页，共50页，2023年，2月20日，星期四

双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上，称为双边带功率谱密度。

单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上，成为单边带功率谱密度。 单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为：

在以后，如不加说明，都指双边带功率谱密度。第18页，共50页，2023年，2月20日，星期四

平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的对应关系：第19页，共50页，2023年，2月20日，星期四例已知零均值平稳过程X(t)的第20页，共50页，2023年，2月20日，星期四第21页，共50页，2023年，2月20日，星期四第22页，共50页，2023年，2月20日，星期四第23页，共50页，2023年，2月20日，星期四第24页，共50页，2023年，2月20日，星期四第25页，共50页，2023年，2月20日，星期四互谱密度

定义两个截取函数为二者满足绝对可积的条件，则联合平稳随机过程的互谱密度第26页，共50页，2023年，2月20日，星期四

定义两随机过程的互功率为应用帕塞瓦定理第27页，共50页，2023年，2月20日，星期四下面求平均功率，得平均功率

互功率谱密度定义为第28页，共50页，2023年，2月20日，星期四1、对于实随机过程X(t)、Y(t)有2、若X(t),Y(t)联合平稳，有

互谱密度与互相关函数第29页，共50页，2023年，2月20日，星期四性质1：性质2：互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。

互功率谱密度性质互谱密度的性质第30页，共50页，2023年，2月20日，星期四性质3：若X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零

性质4：若X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有性质5：互功率谱密度性质互谱密度的性质第31页，共50页，2023年，2月20日，星期四周期图法本质是从各态历经过程功率谱定义得到的估计量，对于长度为N的随机序列X(n)

式中是X(n)的N点DFT。

6.6功率谱估值功率谱估值第32页，共50页，2023年，2月20日，星期四Blackman-Tukey

本质是基于维纳－辛钦定理对于有限数据，谱密度估值为功率谱估值第33页，共50页，2023年，2月20日，星期四算法改进无论周期图法还是BT法，均为渐进无偏，但不是一致估计量即真实谱越大的地方，也就是通常我们感兴趣的地方，谱估计量方差越大，越不可靠。改进算法有平均法、平滑法等功率谱估值第34页，共50页，2023年，2月20日，星期四类似相关函数，在时域的高阶统计量称为高阶累量(Cumultants)，类似于功率谱密度，在频域高阶统计量称为高阶谱(Polyspectra)。对于零均值实随机变量X1X2X3X4，其对应的二阶、三阶和四阶累量为若均值不为零，则用替换。高阶统计量与高阶谱第35页，共50页，2023年，2月20日，星期四目前高阶统计量用得最多的是三、四阶累量。三阶累积量在概率密度函数对称的情况下为零。 由于高斯变量有以下重要公式：可知高斯过程的四阶累量为零，它提供了研究随机过程与高斯过程差异的一个度量。第36页，共50页，2023年，2月20日，星期四高斯过程定义：如果对于任意时刻，随机过程的任意n维随机变量服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。高斯过程的n维概率密度函数为：式中m,x为n维向量

C为协方差矩阵

6.7高斯过程与白噪声高斯过程与白噪声第37页，共50页，2023年，2月20日，星期四广义平稳正态过程定义：若正态随机过程X(t)的均值和方差都是与时间无关的常数，而自相关函数只取决于时间间隔，则称此正态过程为广义平稳正态过程。

第38页，共50页，2023年，2月20日，星期四性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不相关的，那么也一定是互相独立的

性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。

高斯过程性质第39页，共50页，2023年，2月20日，星期四性质4：若正态随机过程在T上是均方可积的，则也是正态过程。性质5：若正态随机过程在T上是均方可微的，则其导数也是正态过程。高斯过程性质第40页，共50页，2023年，2月20日，星期四（1）从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。（2）根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。（3）从功率谱的角度来看：白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。噪声的分类

噪声的分类第41页，共50页，2023年，2月20日，星期四一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即

的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。理想白噪声

白噪声过程第42页，共50页，2023年，2月20日，星期四利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：白噪声的相关系数

若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。理想白噪声

带限白噪声第43页，共50页，2023年，2月20日，星期四若白噪声的功率谱在内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为称这类白噪声为低通白噪声。自相关函数为

低通白噪声第44页，共50页，2023年，2月20日，星期四如果N(t)的功率谱密度集中在