高中数学 数列 数列小结第2课时

《数列》章末小结铜陵市第一中学陈良骥一、单元内容和内容解析数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用。此外，数学归纳法也是本章的学习内容，这是一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法。通过本章的学习，学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养都将得到进一步提升。本单元的知识结构框图：本章在必修第一册中函数相关知识的基础上，介绍了一种特殊的函数—数列的相关知识。在编排数列的内容时，教科书借鉴了研究函数的经验，按照“一般数列-特殊数列”的顺序展开。其中，在介绍“一般数列”时，通过日常生活和数学中的实例，抽象出数列的定义，介绍数列的三种表示方法（表格、图象和通项公式）；“特殊数列”以取值规律“最简单”的等差数列和等比数列为例，对它们的研究不仅可以加深学生对数列的理解，使学生掌握这两种具体数列的概念、取值规律，并能应用它们解决实际问题，而且也为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础。在本章的最后，教科书介绍了一种证明与正整数有关的数学命题的特殊方法——数学归纳法的原理。数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点。此外，等差数列、等比数列是两种“最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容。基于以上分析，得到了本节课的教学重点：教学重点：数列的相关知识与其中蕴含的基本探究方法的复习回顾与整合。二、单元目标和目标解析本单元出于知识交汇点，蕴含的数学思想方法较为丰富，从函数的观点去看数列，在这种整体动态的观点下，数列的性质更清楚，帮助问题更好地解决。本单元的教学目标如下：数列概念通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（表格、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数了解数列的前n项和公式的定义，以及数列的通项公式与前n项和公式的关系。等差数列（1） 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义；（2） 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3） 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题；（4） 体会等差数列与一元一次函数的关系。3.等比数列（1） 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；（2） 探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系；（3） 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题；（4） 体会等比数列与指数函数的关系。4.数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。学生在学习本章的过程中，可能遇到如下难点：一是从实例中抽象出数列的概念，这是因为直观上排列好的一列数与数列的数学定义之间存在一定的距离，需要学生具备较高的数学抽象能力；二是等差数列的定义，这是因为学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，不熟悉刻面“等差”规律的语言：三是推导等差数列、等比数列的前n项和公式，这需要学生通过数学运算、逻辑推理等发现解决问题的途径；四是用等差数列、等比数列刻面数学中或现实中具有递推规律的事物，这需要学生具备一定的数学建模能力。教学问题诊断分析学生在函数学习的基础上，具有一定的抽象思维能力和演绎推理能力，教学过程需要注重引导、启发、研究和探讨。通过问题链的形式，激发学生求知欲，主动参与到教学实践活动。在引导分析时，给与学生充分的思考空间，让学生去联想探索，同时鼓励学生大胆质疑，各抒己见，厘清研究数列的思路与方法。鉴于各种学习材料中的数列问题数不胜数，如果学生在学习数列时只顾解题，就可能陷入到题海中，致使学到的知识犹如一盘散沙。这就需要教师在教学本章时，按照“研究一个数学对象的基本路径”来引导学生构建学习路径。如对于整章内容，类比函数构建数列的研究路径：“数列的事实一数列的概念、表示一数列的性质一等差数列与等比数列”；对于等差数列，按照研究一个数学对象的一般过程，即“事实一概念一性质一应用”来展开研究；而在研究等比数列时，类比等差数列，让学生自己构建等比数列的研究内容和过程，进一步体会研究一个数学对象的一般过程。基于以上分析，得到了本节课的教学难点：教学难点：应用数列，问题的解决，形成知识的迁移。教学过程设计第二课时【引导语】上节课我们已经复习了数列的相关知识和基本方法，本节课我们将带着这些研究并解决与数列有关的具体问题。任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2。反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入1→4→2→1。这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）。如取正整数3，根据上述运算法则得出3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1（简称为7步“雹程”）。（1）冰雹猜想中蕴含的数列怎么表示？当时，请确定最少需要多少步雹程；若，求所有可能的取值。【活动设计】学生积极思考问题（1），然后共同探究问题（2），问题（3）；互相讨论，能在黑板展示出来；引导学生思考问题：一个数列，什么情况下用通项公式表示？什么情况下可以用递推公式表示？【评价设计】教师观察课堂现场生成情况，给出积极评价，可以是针对个人的鼓励性的，也可以是整体评价。【设计意图】通过问题与活动设计，引导学生选择用合适的形式表示一个数列，发展学生数学抽象的核心素养；再通过一些逆问题的问题探究活动，发展学生逻辑推理的核心素养！例2.（1）已知数列满足，，求数列的通项公式；已知数列满足，，求数列的通项公式；已知数列满足，，，求数列的通项公式。思路分析：叠加法，构造法，数学归纳法思考：为什么说数学归纳法的两个步骤（归纳奠基和归纳递推）缺一不可？它们各自有什么作用？【活动设计】引导学生积极思考问题（1），从各个角度认识分析问题，寻求到解决问题的方法并交流展示；在总结问题（1）的方法以后，学生讨论交流问题（2）和问题（3）的解决办法，形成更深层次的思考活动经验。【评价设计】教师观察课堂现场生成情况，给出积极评价，可以是针对个人的鼓励性的，也可以是整体评价。【设计意图】通过问题与活动设计，引导学生从递推公式的出发，多角度观察结构特征，转化到我们常见的、熟悉的数列，进而解决问题。发展学生数学抽象、数学推理、数学运算等的核心素养！例题3.在研究完等差和等比数列这两类特殊的数列之后，如果还要研究一类新的特殊数列，将会是怎样的研究历程？活动：请你选择一个进行相关探究，完成下表。自定义数列名称定义通项公式表示（推导过程）前n项和公式（推导过程）应用【活动设计】学生分小组积极交流选定主题，然后按照流程思考探索，形成成果以后上讲台展示汇报。【评价设计】教师引导学生之间、小组之间相互评价。【设计意图】通过活动设计，引导学生互相合作，将特殊数列的研究路径迁移到新的特殊数列，从数列的选题到定义、通项，再到前n项和的相关研究，培养学生的合作和探究精神，积累基本数学活动经验！[单元总结]本章的小结分从几个步骤完成？2.这两节课重点总结了哪些数列知识，体现出哪些数学思想？通过单元小结，你对数列有了哪些更新的认识？【设计意图】通过本单元知识个方法总结，进一步加深学生对数列的理解，跟全面地掌握其中本质思想方法，发展数学学科核心素养！[作业布置]很多陌生的数列都可以转化为等差数列与等比数列的问题，再举出一些例子。2.实际生活中蕴含着丰富的数列问题，如银行存款，人口变化等，请找一个背景具体分析一下；3.历史上有很多著名的数列，如斐波那契数列等，请查阅相关资料，写一篇小论文介绍一下你最感兴趣的数列。【设计意图】通过开放式、应用式的作业布置，进一步引导学生提高查找资料的能力、学以致用的意识，发展学生的数学思维！五、本单元目标检测1.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙砾和小石子来研究数，他们根据沙砾或小石子所排列的形状把数分成许多类，如1，3，6，10...称为三角形数，1，4，9，16...称为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是（）A.36B.289C.1225D.13782.记为等比数列的前n项和，已知，：（1）求的通项公式；（2）求，并判断，，是否成等差数列.3.设数列满足：（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.4.已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位m2）的旧住房.（1）分别写出第一年年末和第二年年末的实际住房面积的表达式；（2）如果第五年年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少（计算时可取1.15=1.6）?5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，（1）求证：若S3，S9，S6成等差数列，则a2，a8，a5成等差数列.（2）对（1）中的结论进行推广，写出一个推广后的真命题，并予以证明.六、板书设计课题：数列小结（1）知识结构问题探究分析区课题：数列小结（2）例题1分析区三、例题3展示区二、例题2分析区七、教学反思作为数列这一大单元的小结课，本子单元承