第十三章机械振动

第十三章机械振动第一页，共七十八页，2022年，8月28日5.1简谐运动第二页，共七十八页，2022年，8月28日弹簧振子的振动第三页，共七十八页，2022年，8月28日常数和的确定初始条件对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.第四页，共七十八页，2022年，8月28日取已知求讨论第五页，共七十八页，2022年，8月28日例1如图所示系统（细线的质量和伸长可忽略不计），细线静止地处于铅直位置，重物位于O点时为平衡位置.若把重物从平衡位置O略微移开后放手,重物就在平衡位置附近往复的运动．这一振动系统叫做单摆.求单摆小角度振动时的周期．第六页，共七十八页，2022年，8月28日令转动正向时解第七页，共七十八页，2022年，8月28日

角简谐振子固定点悬丝参考线（为扭转系数）悬丝的恢复力矩角简谐振子周期（J为角简谐振子转动惯量）第八页，共七十八页，2022年，8月28日悬丝悬丝

例2图中左边是一根细棒，长度为,质量为，一条长金属丝悬在其中点，它的角简谐运动的周期测出为.有一个无规则形状的物体，也悬挂在同样的一条金属丝上，测得其角简谐运动的周期为，试问:此无规则物体的转动惯量是多少？棒解因为所以第九页，共七十八页，2022年，8月28日

简谐运动的判断（满足其中一条即可）2）简谐运动的动力学描述1）物体受线性回复力作用平衡位置弹簧振子单摆（由振动系统本身性质决定）

简谐运动的特征3）简谐运动的运动学描述（在无外驱动力的情况下）第十页，共七十八页，2022年，8月28日5.2旋转矢量第十一页，共七十八页，2022年，8月28日

以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.当时第十二页，共七十八页，2022年，8月28日以

为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.时第十三页，共七十八页，2022年，8月28日

旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.第十四页，共七十八页，2022年，8月28日A-AOOT*A-A用旋转矢量图画简谐运动的图

（旋转矢量旋转一周所需的时间）********第十五页，共七十八页，2022年，8月28日

（旋转矢量旋转一周所需的时间）用旋转矢量图画简谐运动的图第十六页，共七十八页，2022年，8月28日讨论

相位差：表示两个相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.第十七页，共七十八页，2022年，8月28日同步

2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）为其它超前落后反相第十八页，共七十八页，2022年，8月28日

例一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为（1）T/4（2）T/12（3）T/6（4）T/8第十九页，共七十八页，2022年，8月28日例已知一谐振动曲线如图所示，由图确定：（1）在_______s时速度为零（2）在___s时动能最大（3）在_______s时加速度取正的最大值kk+1/22k+1/2ox(cm)12t（s）

第二十页，共七十八页，2022年，8月28日0例用旋转矢量法求初相位第二十一页，共七十八页，2022年，8月28日

例1如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.

（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；

（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；0.05第二十二页，共七十八页，2022年，8月28日解（1）由旋转矢量图可知第二十三页，共七十八页，2022年，8月28日解

由旋转矢量图可知（负号表示速度沿轴负方向）

（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；第二十四页，共七十八页，2022年，8月28日解

（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.因为，由旋转矢量图可知第二十五页，共七十八页，2022年，8月28日

例2一质量为的物体作简谐运动，其振幅为，周期为，起始时刻物体在处，向轴负方向运动（如图）.试求

（1）

时，物体所处的位置和所受的力；

解第二十六页，共七十八页，2022年，8月28日代入第二十七页，共七十八页，2022年，8月28日代入上式得第二十八页，共七十八页，2022年，8月28日

（2）由起始位置运动到处所需要的最短时间.

法一

设由起始位置运动到处所需要的最短时间为第二十九页，共七十八页，2022年，8月28日解法二起始时刻时刻第三十页，共七十八页，2022年，8月28日5.3简谐运动的能量第三十一页，共七十八页，2022年，8月28日简谐运动能量图4T2T43T能量第三十二页，共七十八页，2022年，8月28日

例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；解:第三十三页，共七十八页，2022年，8月28日时，由（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？第三十四页，共七十八页，2022年，8月28日5.4简谐运动的合成第三十五页，共七十八页，2022年，8月28日一两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动第三十六页，共七十八页，2022年，8月28日1）相位差

讨论第三十七页，共七十八页，2022年，8月28日2）相位差第三十八页，共七十八页，2022年，8月28日3）一般情况2）相位差1）相位差相互加强相互削弱相位差第三十九页，共七十八页，2022年，8月28日*二多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动第四十页，共七十八页，2022年，8月28日2）1）个矢量依次相接构成一个闭合的多边形.讨论第四十一页，共七十八页，2022年，8月28日*三两个同方向不同频率简谐运动的合成拍现象频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.第四十二页，共七十八页，2022年，8月28日合振动频率振幅部分讨论,的情况方法一第四十三页，共七十八页，2022年，8月28日合振动频率振幅部分振幅振动频率拍频（振幅变化的频率）第四十四页，共七十八页，2022年，8月28日方法二：旋转矢量合成法第四十五页，共七十八页，2022年，8月28日（拍在声学和无线电技术中的应用）拍频振幅振动圆频率第四十六页，共七十八页，2022年，8月28日简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差第四十七页，共七十八页，2022年，8月28日两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率和相位的方法李萨如图第四十八页，共七十八页，2022年，8月28日例图中所画的是两个简谐振动的振动曲线.若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为A/2-AOxt（1）（2）（4）0（3）第四十九页，共七十八页，2022年，8月28日

例

一简谐运动的运动曲线如图所示，求振动周期.0第五十页，共七十八页，2022年，8月28日0

**ab例已知谐振动的A、T，求1）如图简谐运动方程，2）到达a、b点运动状态的时间.解法一从图上可知或或第五十一页，共七十八页，2022年，8月28日0

**ab第五十二页，共七十八页，2022年，8月28日解法二A/2矢量位于轴下方时0

**ab用旋转矢量法求初相位A/2第五十三页，共七十八页，2022年，8月28日A/20

**ab第五十四页，共七十八页，2022年，8月28日

例求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅0x第五十五页，共七十八页，2022年，8月28日

例

一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，求合振动的振幅和初相位。第五十六页，共七十八页，2022年，8月28日例

已知如下的三个简谐振动，求合振动.求：已知Ox第五十七页，共七十八页，2022年，8月28日5.5阻尼振动受迫振动共振第五十八页，共七十八页，2022年，8月28日三种阻尼的比较阻尼振动位移时间曲线b）过阻尼

a）欠阻尼c）临界阻尼第五十九页，共七十八页，2022年，8月28日共振频率大阻尼小阻尼共振频率共振振幅阻尼共振第六十页，共七十八页，2022年，8月28日火车的危险速率与轨长

例车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动．当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率．

设车厢总负荷为m=

5.5×104kg，车厢弹簧每受力F=9.8×103N被压缩x=0.8mm，铁轨长L=12.6m，求危险速率．第六十一页，共七十八页，2022年，8月28日已知：m=5.5×104kg；受力F=9.8×103N，压缩x=0.8mm；铁轨长L=12.6m，mk解：

长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动．第六十二页，共七十八页，2022年，8月28日共振简介共振创造了世界声学上的“共鸣”电学上的“谐振”产生共振的重要条件之一，就是要有弹性共振现象也可以说是一种宇宙间最普遍和最频繁的自然现象之一，所以在某种程度上甚至可以这么说，是共振产生了宇宙和世间万物，没有共振就没有世界。第六十三页，共七十八页，2022年，8月28日宏观的宇宙－宇宙大爆炸微观物质世界－化学元素的诞生生命中的共振－人的呼吸、心跳、血液循环、大脑思维、发声；动物的各种发声；植物的光合作用共振充当地球生物圈的保护神－紫外线与臭氧层的共振；红外线与二氧化碳层的共振。共振造就了世界的多姿多彩第六十四页，共七十八页，2022年，8月28日共振的危害桥梁的共振－齐步走，1940年，美国的全长860米的塔柯姆大桥因大风引起的共振而塌毁由于共振的力量，巨大的冰川能被“温柔”的海洋波涛给拍裂开。给人类带来重大伤亡和财产损失的地震，其中亦有共振的“幢幢魔影”第六十五页，共七十八页，2022年，8月28日共振现象的危害1940年7月1日美国Tocama悬索桥因共振而坍塌第六十六页，共七十八页，2022年，8月28日持续发出的某种频率的声音会使玻璃杯破碎。机器的运转可以因共振而损坏机座。高山上的一声大喊，可引起山顶的积雪的共振，顷刻之间造成一场大雪崩。行驶着的汽车，如果轮转周期正好与弹簧的固有节奏同步，所产生的共振就能导致汽车失去控制，从而造成车毁人亡……

第六十七页，共七十八页，2022年，8月28日人们在生活和生产中会接触到各种振动源，这些振动都可能会对人体产生危害。为了保障工人的安全与健康，有关部门己作出了相应规定，要求用手工操作的各类振动机械的频率必须大于20赫兹。

第六十八页，共七十八页，2022年，8月28日对人危害程度尤为厉害的是次声波所产生的共振。不论是次声波枪还是次声波炸弹，都是利用频率为16—17赫兹的次声波，与人体内的某些器官发生共振，使受振者的器官发生变形、位移或出血，从而达到杀伤敌方的目的。现代科学研究已经证明，大量发射的频率为16—17赫兹的次声波会引起人体无法忍受的颤抖，从而产生视觉障碍、定向力障碍、恶心等症状，甚至还会出现可导致死亡的内脏损坏或破裂。这种次声波武器可以说是人类运用共振来危害人类自己的一种技术上的极致。

第六十九页，共七十八页，2022年，8月28日消除共振危害的方法防止共振危害的最好方法是改变物体的固有频率人们在电影院、播音室等对隔音要求很高的地方，常常采用加装一些海绵、塑料泡沫或布帘的办法，使声音的频率在碰到这些柔软的物体时，不能与它们产生共振，而是被它们吸收掉。第七十页，共七十八页，2022年，8月28日电动机要安装在水泥浇注的地基上，与大地牢牢相连，或要安装在很重的底盘上，为的是使基础部分的固有频率增加，以增大与电机的振动频率(驱动力频率)之差来防止基础的振动。

一种消声器，它是由开有许多小孔的孔板和空腔所构成，当传来的噪声频率与消声器的固有频率相同时，就会跟小孔内空气柱产生剧烈共振。这样，相当一部分噪声能在共振时被“吞吃”掉，而且还能够转变为热能来进行使用。

第七十一页，共七十八页，2022年，8月28日共振带来福祉古代战争中的共鸣器现代医学中的听诊器微波技术音乐治疗心理精神疾病粒子加速器第七十二页，共七十八页，2022年，8月28日共振不仅是一种客观存在，它也是有待于进一步开拓的科技领域。共振技术普遍应用于机械、化学、力学、电磁学、光学及分子、原子物理学、工程技术等几乎所有的科技领域。如音响设备中扬声器纸盆的振动，各种弦乐器中音腔在共鸣箱中的振动等利用了“力学共振”；电磁波的接收和发射利用了“电磁共振”；激光的产生利用了“光学共振”；医疗技术中则有已经非常普及的“核磁共振”等。在21世纪开始的正在蓬勃发展的信息技术、基因科学、纳米材料、航天高科学技术大发展的浪潮中，更是大量运用到共振技术。而且随着科学的发展，可以预见，共振将会对我们这个社会产生更加巨大的“震荡”。第七十三页，共七十八页，2022年，8月28日本章内容小结第七十四页，共七十八页，2022年，8月28日一简谐运动的描述和特征4加速度与位移成正比而方向相反2简谐运