北师大版七年级上册数学全册教案

第一章勾股定理

1探索勾股定理

第1课时勾股定理

【学习目标】

1.会用数格子的办法体验勾股定理的探索过程，理解勾股定理反映的直角三角形三边

之间的数量关系.

2.能利用勾股定理进行简单的计算和实际应用.

【学习重点】

勾股定理的探索及利用勾股定理进行计算.

【学习难点】

用测量和数格子的方法探索勾股定理.

一、情景导入生成问题

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等

腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相

等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊

的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文外），介绍数

学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.

二.4学互研生成能力

知识模块一探索勾股定理

他懂搦一

先阅读教材第2页“做一做”的内容，然后完成下面的问题.

1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎

样的关系？与同伴交流.

【说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.

2.观察教材图1—2,正方形A中有9个小方格,即A的面积为9个面积单位.正

方形B中有9个小方格.即B的面积为9个面积单位.正方形C中有18个小方

格，即C的面积为18个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础

上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？

归纳得出结论：SA+SB=Sc.

创作I掬一

师生合作共同完成下面问题的学习与探究，若在学习过程中学生遇到困难，教师要及时

指导.

3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？与同伴

进行交流.

4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数

量关系还成立吗？说明你的理由.

【说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观

察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.

议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？与同伴进行交流.

【说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，

有利于培养学生综合概括能力的语言表达能力.

【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股

定理”.也就是说：如果直南三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.我国古

代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由

来.

知识模块二利用勾股定理计算求值

合I作搦一

典例讲解：

例：求出下列直角三角形中未知边AB的长度.

解：(1)；/B=9O。，...AC是斜边，根据勾股定理，得AB?+BC』AC2.

AB2=AC2-BC2=202-122=400-144=256.AB=16；

(2)VZC=90°,AAB是斜边，

根据勾股定理，得AB』AC2+BC2=72+242=625.，AB=25.

三、交流展示生成新知

一院一I展

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

原傣I提I:

知识模块一探索勾股定理

知识模块二利用勾股定理计算求值

0、检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

第2课时勾股定理的验证及计算

【学习目标】

1.会利用拼图法、等积法验证勾股定理的正确性.

2.能利用勾股定理解决简单实际问题.

【学习重点】

能熟练应用拼图法证明勾股定理.

【学习难点】

应用勾股定理解决实际问题.

一、情景寻入生成问题

旧知回顾：

1.勾股定理：R/ZXABC中，两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a?+股=c?.

2.如图，点E在正方形ABCD内，满足NAEB=90。，AE=6,BE=8,则阴影部分的

面积是(C)

A.488.60C.76D.80

3.如果一直角三角形的两边长分别为3和5,则第三边的长为(C)

A.48.取C.4或取D.以上都正确

二、自学互研生成能力

知识模块一勾股定理的验证

合昨解究

先阅读教材第4页下面的内容和第5页“做一做”的内容，然后完成下面的问题.

1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形，你能利用

这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.

【说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.

2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教

材P5I—5、1—6图.

(1)将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来；

(2)教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同

伴进行交流.

(3)你能分别利用教材图1—5、1-6验证勾股定理吗？

【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并

阅读教材P7-8的其他证明勾股定理的方法，以开阔同学们的视野.

知识模块二利用勾股定理解决实际i暨^_

由一解究

自学自研教材第5页例题._________

-I作棚究

师生合作共同完成下面例题的学习探究.

典例讲解：

例：飞机在空气中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了

20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中4ABC的NC=90。，

AC=4000米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞

行的路程，即图中的CB的长，由于AABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC

就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.

解：由勾股定理得BC2=AB?—AC2=52—42=9（千米），即BC=3千米，飞机20秒飞行

3千米.那么它1小时飞行的距离为：答X3=540（千米/时），答：飞机每小时飞行540千

米.

【说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并

学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生

活中去.

三、交流展示生成新知

一院一I展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

原傣I提I:

知识模块一勾股定理的验证

知识模块二利用勾股定理解决实际问题

8、检测反馈达成百标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

2一定是直角三角形吗

【学习目标】

1.会用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形.

2.理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数.

【学习重点】

探索并掌握直角三角形的判别条件.

【学习难点】

运用直角三角形判别条件解题.

一、情景导入生成问题

展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要

求操作.

甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.

乙：握住第四个结.

丙：握住第八个结.

拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形中的最大角.发现这个角是多少度？古

埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角

形呢？这就是我们今天要研究的内容.

【说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体脸从实际问题中发现

数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、

观察探究的能力.

二、自学互研生成能力

知识模块一直角三角形的判定与勾股数

合—解一

先阅读教材第9页“做一做”的内容，然后完成下面的问题.

做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.

5、12、137、24、258、15、17

1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？

2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

3.如果三角形的三边长为a、b、c,并满足a?+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？

【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直角

三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今

后我们可以利用“三角形三边a、b、C满足a2+b2=c?时，三角形为直角三角形”来判断三

角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直.

知识模块二直角三角形判定的应用

他懂解究

自学自研教材第9页，第10页例题的解答过程.

合I作搦一

师生合作共同完成下面例题的学习与探究.

典例讲解：

例：如图，在四边形ABCD中，已知AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,且NDAB=

90。，求这个四边形的面积.

43«

分析：四边形ABCD是不规则的四边形,连接BD把四边形ABCD转化成两个三角形，

△ABD是直角三角形，其面积可求出，若ABCD也是直角三角形的话，四边形ABCD的面

积便可求得.

解：连接BD.

在Z\ABD中,ZDAB=90°,

.*.BD2=AB2+AD2=32+42=25,

.\BD=5.

在△DBC中,DB2+BC2=52+122=25+144=169,CD2=132=169,

.*.DB2+BC2=CD2,

...△DBC是直角三角形.

NDBC=90°,S叫边畛ABCD=SADAB+SADBC=]X3X4+/X5X12=36.

三.交流展示生成新知

俣|斓丁|展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

展傣I提I:

知识模块一直角三角形的判定与勾股数

知识模块二直角三角形判定的应用

«?.检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五.课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

3勾股定理的应用

【学习目标】

1.会利用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.

2.能在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力.

【学习重点】

能综合应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.

【学习难点】

利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决

实际问题.

一、情景导入生成问题

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如，欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多

长的梯子？

日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.

【说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习

新知识又一次打下了坚实的基础.

二,自学互研生成能力

知识模块一利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题

值I：解究

先阅读教材第13页“做一做”前面的内容，然后完成下面的问题.

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A

点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多

少？(万的取值3)

(1)同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得

哪条路线最短呢？

(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画

对了吗？

(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？

【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿

母线AA，将圆柱的侧面展开(如下图).

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

(DA-A1-B:(2)A-*B,-B;(3)A-D-»B：(4)A-B.

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

蚂蚁怎么走最近？

知识模块二勾股定理与逆定理的综合应用

他懂㈱究

先阅读教材第13页“做一做”的内容，并完成“做一做”中的3个问题，并与同伴进

行交流.

1.教材第13页“做一做”第(2)问中，在4ABD中，AD=30cm,AB=40cm,BD=

50cm,因为4£>2+AB2=302+402=900+[600=2500,BD2=502=2500,所以人/^十人中二

BD2,所以△AB。是直角三角形，所以/D4B=90。，所以A£)_LAB.

2.教材第13页“做一做”第(3)问中测量方法不唯一，例如在AD边上测量一段AE=

6cm,在AB边上测量一段A尸=8cm,再测量点E,尸两点间的距离EF,若EF=10cm,由

4呼+4产=62+82=36+64=100=E产，可知尸是直角三角形，且NE4尸=90。，

...D4LAA边3c与边A8是否垂直可以用类似的方法测量.

合—解究

师生合作共同完成教材第13页例题的学习与探究.

三、交流展示生成新知

一|斓版|展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

展傣I提I:

知识模块一利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题

知识模块二勾股定理与逆定理的综合应用

«?.检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五.课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

本章复习小结

【学习目标】

1.掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，灵活运用它们解决实际问题.

2.通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形结合的思想和逆向思维思

考问题，以便能熟练灵活运用.

【学习重点】

用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形简单问题.

【学习难点】

一、情景导入生成问题

引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们

之间的相互联系.

「勾股定理、

直接运用

解决简单

勾股定理V实际问题］勾股定理及如何判断一个三角

勾股定理4的应用

解决较综|形是直角三角形的综合运用

合的问题

如何判断一个三角形

、是直角三角形及应由

二、自学互研生成能力

知识模块一勾股定理的应用

例1：我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根

缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，

因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五

周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化

为直角三角形问题，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.

B

解：侧面展开如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5X3=15（尺），

所以（葛藤长）2=202+152=625,所以葛藤长为25.故葛藤的最短长度是25尺.

例2：如图，在以ZisABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,将AABC折叠，使点B恰

好落在边AC上，与点B，重合，AE为折痕，求EB，的长.

13,

«7;c

分析：首先根据折叠可得BE=EB\AB，=AB=3,然后设BE=EB，=x,则EC=4~x,

在RfZiABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RfZ\B，EC中，由勾股定理可得方程x?+22

=(4-x)2,再解方程即可算出答案.

解：根据折叠可得BE=EB，，AB，=AB=3,设BE=EB，=x,则EC=4-x,因为/B=

90°,AB=3,BC=4,在心AABC中，由勾股定理得，AC=-\/AB2+BC2=A)32+42=5,所

以BK=5-3=2,在放△BTEC中，由勾股定理得，x2+22=(4-x)2,解得x=1.5.故EB，是

1.5.

知识模块二勾股定理与其逆定理的运用

例3：如图，在四边形ABCD中，ZB=90°,AB=4,AD=13,CD=12,BC=3,求

四边形ABCD的面积.

分析：对于四边形问题，通常转化成三角形来解决.故连接AC,在直角三角形ABC中，

运用勾股定理可以求出AC2,然后再利用勾股定理的逆定理证明三角形ACD是直角三角形，

这样就把四边形的面积转化成两个直角三角形的面积和.

解：连接AC,在R〃\ABC中，AC2=AB2+BC2=25,在AADC中，AC2+CD2=169,

2222

AD=169,AC+CD=AD,所以NACD=90°,SABCD=SAACB+SAADC=|AB-BC+1

ACCD=36.

三、交流展示生成新知

-I展

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

展傣隅升

知识模块一勾股定理的应用

知识模块二勾股定理与其逆定理的运用

CT.检测反馈达成月标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

年章实数

1认识无理数

【学习目标】

1.感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.感受无理数存在的必要性和合理性.

【学习重点】

了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.

【学习难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

一、情景导入生成问题

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.

在初一我们还学过负数.

对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的

正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际

生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

二、自学互研生成能力

知识模块一现实生活中非有理数的存好

创作圈究

先阅读教材第21页内容，然后与同伴合作交流，共同完成下面问题的学习与探究.

拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之

后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

同学们展示拼图的结果.

O€

I1

下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢？

【归纳结论】因为］2=1,22=4,32=9,…整数的平方越来越大，所以a应在1和2

之间，故a不可能是整数，又(|)=今…两个相同因数的乘积都为分数，

所以a不可能是分数.

做一做：

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.

【说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理数，而是一种

新数.

知识模块二无理数的概念

他懂解究

先阅读教材第22页〜23页的内容，然后完成下面问题的学习与研究.

同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？

请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.

边长a面积S

l<a<21<S<4

L4<a<1,51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2,00024449

还可以进行下去吗？a是有限小数吗？

【说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步的认识，为下

面引出无理数的概念打下了基础.

【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.

如：圆周率%=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之

4

间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.而3,彳0.38,0.17,它

们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数.

三、交流展示生成新知

一|演|阪|展

1.将阅读教材时”生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

晨傣I楣升

知识模块一现实生活中非有理数的存在

知识模块二无理数的概念

CT.检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

2平方根

第1课时算术平方根

【学习目标】

1.理解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.

2.理解算术平方根的性质，并能运用性质解决问题.

【学习重点】

算术平方根的性质.

【学习难点】

算术平方根性质的应用.

一、情景寻入生成问题

上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理

数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无

限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x?=a,则

a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.

【说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方

根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.

二,自学互研生成能力

知识模块一算术平方根的概念

他懂解究

阅读教材第26页例1前面的部分内容，完成课本中设计的填空问题.

下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

x2=2,v2=3,z2=4,w2=5

请大家分析一下，x、y、z、w中哪些是有理数，哪些是无理数？

【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5,所以x、y、w不是有理

数，而是无理数，即x=巾,y=小，w=3.因为22=4.所以z=2,是有理数.

若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为

“黄”，读作“根号a”.这就是算水平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0,即

Vo=o.

知识模块二求一个数的算术平方根

由懂解究

自学自研教材第26页的例1.

例：求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3),；(4)14.

【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取语言叙述

和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正数的平方与求算术平

方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.

合I作解究

师生合作共同完成教材第26页例2的学习与探究.

三、交流展示生成新知

|袤|瀛|颜|展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

原傣I提I:

知识模块一算术平方根的概念

知识模块二求一个数的算术平方根

8、检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

第2课时平方根

【学习目标】

1.理解数的平方根的概念，以及开平方的概念，会用根号表示一个数的平方根.

2.掌握平方根的性质，并能应用平方根的性质解决问题.

【学习重点】

平方根的性质.

【学习难点】

平方根性质的应用.

一、情景寻入生成问题

上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=

a.则x叫a的算术平方根，记作x=,,而且/也是非负数，比如正数22=4,则2叫4的

算术平方根，4叫2的平方，但是(一2>=4,则一2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这

个问题.

二、自学互研生成能力

知识模块一平方根、开平方的概念

他懂解究

先阅读教材第27页下面“想一想”和教材第28页例3前面的部分内容，然后完成下

面问题的学习探究.

请大家思考两个问题.

(1)9的算术平方根是3,也就是说，3的平方是9,还有其他的数，它的平方也是9吗？

4

(2)平方等于云的数有几个？平方等于0.64的数呢？

【归纳结论】3的平方等于9,一3的平方也等于9,3是9的算术平方根，-3是9

422

的平方根，平方等于行的数有两个，即g和一予平方等于0.64的数也有两个，即0.8和-0.8.

一般地，如果一个数x的平方等于a,即x?=a,那么这个数x就叫a的平方根

root),也叫二次方根，3和一3的平方都等于9,由定义可知3和一3都是9的平方根，即9

的平方根有两个3和一3,9的算术平方根只有一个是3.

由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？

【归纳结论】联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根

的一种.

(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.

(3)0的平方根、算术平方根都是0.

区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”；“非负

数a的非负平方根叫a的算术平方根”.

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.

(3)表示法不同：正数a的平方根表示为9，正数a的算术平方根表示为,.

(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.

什么叫开平方呢？我们共学了几种运算？这几种运算之间有怎样的联系？

知识模块二平方根的性质

由懂解究

先阅读教材第28页“议一议”的内容，然后解答下列问题：

请大家思考下面的问题：

(1)一个正数有几个平方根？

(2)0有几个平方根？

(3)负数呢？

【说明】通过前面的学习，学生不难得出一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

0有一个平方根是0;负数没有平方根，加深对平方根概念的理解.

知识模块三求一个数的平方根

值幢解究

自学自研教材第28页例题3的学习与探究，有困难的地方与同伴进行交流.

知识模块四(/)2=a(aN0)

合昨解究

师生合作共同完成教材第28页“想一想”的学习与探究.

(1)(洞产等于多少？(2)(g)2等于多少？

(3)对于正数a,(,)2等于多少？

【说明】由平方根的定义，学生不难得出结果，对于平方根的求法再次加深，以达到

熟练运用.

三、交流展示生成新知

.|瀛|丁|展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

原傣隅升

知识模块一平方根、开平方的概念

知识模块二平方根的性质

知识模块三求一个数的平方根

知识模块四(g)2=a(a10)

8、检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

3立方根

【学习目标】

1,理解立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根.

2.会用开立方求某些数的立方根.

【学习重点】

立方根的概念和性质.

【学习难点】

立方根与平方根的区别与联系.

一、情景寻入生成问题

上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a,则x叫a的平方根，即x=±^.正方体的

棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那么a叫8的什么呢？本节课请大家

根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a,则x叫a的什么呢？

【说明】学生比较容易由平方根的定义类推得出立方根的定义，他们心目中已经对立

方根有了初步认识.

二、自学互研生成能力

知识模块一立方根的概念及开立方

他懂解究

先阅读教材第30页和第31页例1前面的部分内容，然后完成下面问题的学习.

下面大家能不能根据平方根的定义和记法来类推立方根的定义和记法呢？

【归纳结论】若一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根

{cuberoof,也叫三次方根).记为x=/,读作x等于三次根号a,如2是8的立方根，一,

O

是一考的立方根，0是。的立方根.

大家能否由开平方的定义，再类推开立方的定义呢？

【说明】学生在已学的开平方的基础上不难得出开立方的定义，有利于加深立方根概

念的理解.

【归纳结论】求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.

知识模块二立方根的性质

他懂解究

(1)2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8?

(2)-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是一27?

(3)0的立方等于多少？0有几个立方根？

【归纳结论】正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，

是0.

知识模块三求一个数的立方根

由解究

自学自研教材第31页例1的学习与探究，若遇到困难请与同伴进行交流.

知识模块四(羽)3=a；相5=a

合昨解究

师生合作完成教材第31页“想一想”和例2的学习与探究.

三、交流展示生成新知

一陵陵I展

1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示

在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相

互释疑.

2.各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交

流“生成新知”.

原傣隅升

知识模块一立方根的概念及开立方

知识模块二立方根的性质

知识模块三求一个数的立方根

知识模块四（瑞）3=a；V?=a

ct,检测反馈达成目标

见《名师测控》学生用书.

五、课后反思查漏补缺

1收获：

2存在困惑

4估算

【学习目标】

1.能通过估算检验计算结果的合理性，并估计一个无理数的大致范围.

2.会通过估算比较两个数的大小.

【学习重点】

用估算的方法求无理数的近似值.

【学习难点】

用估算的方法比较两个数的大小.

一、情景寻入生成问题

_在前面我们已经了解了估算一个根号表示的无理数一般是采用夹逼的方法.例如要估算

标的大小，首先要找出20邻近的完全平方数.在日常生活中，往往要遇到估算一个比较

大的数的平方根或立方根，我们怎么办呢？通过下面的学习你就明白了.

【说明】由于第二章第一节内容已经初步接触到估算，为他们后面学习估算比较大的

数作好了铺垫.

二、自学互研生成能力

知识模块一用估算法确定无理数的大小

他懂解究

先阅读教材第33页“议一议”前面的部分内容，然后完成下面问题的学习.

某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽

的2倍，它的面积为400000平方米.

(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴交流.

(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？(误差

小于1米)

教材引例中，公园的宽如果有1000m的话，长就是2000m,则其面积为ZOOOOOOm?,远

大于400000m2,所以宽没有1000m；如果精确到10m的话，它的宽大约是450m；圆形花

圃的半径估计是16m.

合I作解究

与同伴合作完成教材第33页“议一议”的学习与探究.

(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流.

V(X43=«0.066；A/900^96；A/2536^60.4

(2)你能估算加5的大小吗？(结果精确到1).

教材第33页“议一议”(1)中三个式子都是错误的.原因是0.0662^0.004356^0.43；

963=884736^900；60.42=3648,16^2536.

知识模块二用估算的方法比较两个数的大小

他幢棚究

自学自研教材第33页例题及其解答过程，若有困难请与同伴进行交流.

合昨解究

师生合作完成教材第34