数学建模课后习题答案

方程及方程组的求解

1、路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，

它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时

(1)两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？

(2)如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大?

(3)如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？

解：

根据题意，建立如图模型

Pl=2kwP2=3kw

S=20m

照度计算公式：

,.psina

/=左~

F

(k为照度系数，可取为1；

P为路灯的功率)

(1)设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为

_,psinapsina

1L12-k22

1R；2

Rj=环十%2s.mtr.=—%

Y

/z9

R；=//；+（S-］）?sina,=

一R?

Q点的照度：

要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点

)-3P}h}x+3P2h2(s-x)-30x+54(20-x)

也；+马5—%)2)5)(25+马5J(36+(20-%)2)5

利用MATLAB求得/'(x)=0时x的值

代码：

s=solve(,(-30*x)/((25+xA2)A(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)A2)A(5/2))*);

sl=vpa(s,8);

si

运行结果：

si=

19.97669581

9.338299136

8.538304309-11.61579012*i

.2848997038c-1

8.538304309+11.61579012*i

因为x>=0,选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：

X00.0284899709.338299119.97669520

I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468

综上，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。

(2)路灯2的高度可以变化时，Q点的照度为关于x和h?的二元函数：

,,,、％P,h,103/z,

/(X,h2)=/一+/22=+2

J(6+/)3，(卮+(一)2)37(25+X2)3J@+(20-x)2)3

与(1)同理，求出函数I(X,h2)的极值即为最暗点和最亮点

生=鸟3舄—一°

Sh2J(抬+("XJ)3J(/l；+(S-X)2)5

利用matlab求得x：

solve(,3/((hA2+(20-x)A2)A(3/2))-3*(3*hA2)/((hA2+(20-x)A2)A(5/2))=0,)

ans=

20+2A(l/2)*h

20-2A(l/2)*h

即xl=20+2A(l/2)*h(舍去)x2=20-2A(l/2)*h

di-3Rh,x3P,h,(s-x)-30(20-72/I)9/z,(20-x)

-二-+--------——=---------+.---

&J(M+x2)5J(：+(S—4)5425+产)5J(一+(207)2)5

利用matlab求解h2

solve(1-30*(20-2A(l/2)*h)/((25+(20-2A(l/2)*h)A2)A(5/2))+9*h*(20.(20-2A(l/2)*h))/((hA2+(20-(

20-2A(l/2)*h))A2)A(5/2))=01)

ans=

7.4223928896768612557104509932965

14.120774098526835657369742179215

因为h在3~9之间,所以h2=7.42239m

再利用matlab求解x和亮度I

算法：h=7.42239;

x=20-2A(l/2)*h

I=10/((25+xA2)A(3/2))+(3*h)/((hA2+(20-x)A2)A(3/2))

结果：x=

9.5032

1=

0.0186

综上,x=9.5032,h2=7,42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。

⑶两盏路灯的高度均可以变化时，I为关于X,h1,h2的三元函数，用同样的方法求解

।鸟力2

/。,％也）=

、(6+42)3yj(h；+(s-x)2)3

过一:3叫二.

的也；+父)3gTF

di_.____________3舄________3________________

8hl4(必+G-x)2)3J(//；+(S-X)2)5。(公+(20-x)2)3J施+(20-疗，

di_-3"|X431〃2(S—X)_-64x上9似20-幻

bxJ(〃：+X2)5也-x)2)5—也：+心)57(^+(20-X)2)5

h,F

3/Z2(20-X)_2/ijX

r——5-

、园+(20—X)2]2(后+12)2

场(25专乂1

[(g(20-x)2+(20-x)2E(；/+%2)1(20-x)

利用matlab求解x,%,h2的值:

算法:soIve(,l/((20-x)A3)=2/(3*(xA3)),);

sl=vpa(s,6);

a=(l/sqrt(2))*sl;

al=double(a);

b=(l/sqrt(2))*(20-sl);

bl=double(b);

al,bl,si

结果：

al=

6.5940

5.1883+12.0274i

5.1883-12.0274i

bl=

7.5482

8.9538-12.0274i

8.9538+12.0274i

si=

9.32530

7.33738+17.0093*i

7.33738-17.0093*i

综上，hi=6.5940,h2=7.5482，x=9.32530时，最暗点的亮度最大

数据插值

山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。平面区域为

(1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)

试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

表3.8某山区高程表

\12001600200024002800320036004000

120011301250128012301040900500700

160013201450142014001300700900850

20001390150015001400900110()1060950

240015001200110013501450120011501010

280015001200110015501600155013801070

320015001550160015501600160016001550

36001480150015501510143013001200980

利用matlab编程代码如下：

x=1200:400:4000;

y=1200:400:3600;

[xi,yi]=meshgrid(1200:40004200:3600);

z=[11301250128012301040900500700;

13201450142014001300700900850;

139015001500140090011001060950;

150012001100135014501200H501010;

15001200110015501600155013801070;

15001550160015501600160016001550;

1480150015501510143013001200980];

线性插值法

zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear*);

mesh(xi,yi,zi)

title。线性插值法，)

xlabeU/x*);

ylabelCy1);

zlabcl('z');

C=contourf(xi,yi,zi);

clabel(C);

titled等高线图，)

1600

1400

1200

N1000

800

600

400

4000

最邻近插值法

zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest*);

mesh(xi,yl,zi)

titled最邻近插值法)

xlabel(*x');

ylabelCy*);

zlabeICz');

C=contourf(xi,yi,zi);

clabel(C);

titled等高线图，)

立方插值法

zi=interp2(x,y,z,xi,yi,,cubic*);

mesh(xi,yi,zi)

title。立方插值法)

xlabel(*x*);

ylabel(y);

zlabel('z');

C=contourf(xi,yi,zi);

clabel(C);

titled等高线图，)

三次样条插值法

zi=interp2(x,y,z,xi,yi/splinef);

mesh(xi,yi,zi)

title('三次样条插值法，)

xlabel('x');

ylabel('y');

zlabel('z');

C=contourf(xi,yi,zi);

clabel(C);

title。等高线图，)

四种差值方法在运算时间和光滑程度上有一定的差异，如下表所示

类别运算时间光滑程度

差值^

最邻近插值法快差

线性插值法稍长稍好

三次样条插值法最长最好

立方插值法较长较好

曲线拟合

某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下X,表示轿车的使用年数,

匕表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使

用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

Xi12345678910

匕2615194314941087765538484290226204

方法一

利用IstOpt快速拟合公式搜索可得到公式为：

y=pl+p2*x+p3/x+p4*xA24-p5/xA2+p6*xA3+p7/xA34-p8*xA4+p9/xA4+p10*x八5

pl=18382690.6773727

p2=-4152096.11663013

p3=-51037385.3263795

p4=592195.144413008

p5=84947107.1889704

p6=-51716.5130172659

p7=-75932896.2582835

p8=2521.12152863706

p9=27252247.5649699

pl0=-52.482670759974

Matlab代码如下

pl=10802.6249167589;

p2=-20010.6348923663;

p3=19400.634311511;

p4=-10100.4704562703;

p5=2958.58084727337;