实验三B 简单线性规划模型

实验三线性规划模型实验目的1、了解线性规划的基本内容；2、掌握用数学软件(Matlab/Lingo)求解线性规划问题；实验学时2实验内容*1、线性规划的基本算法。2、用数学软件包求解线性规划问题。3、建模案例：投资的收益与风险一、线性规划的基本算一纯形法线性规划的标准形式：minz=f(X)xs.tg.(x)<0,i=1,2,,m<0i其中目标函数f(X)和约束条件中g(X)都是线性函数线性规划的基本算•一纯形法(参考运筹学教材)用单纯法求解时，常将标准形式化为：minf=exfAx=bs.t<[X>0这里A=(a),x=(x,x,,x)T,b=(b,b,,b)t,c=(c,c,,c)ijmxn12n12n12n二、用MATLAB优化工具箱解线性规划1、模型：minz=cX………s.tAX<b命令：x=linprog(c，A，b)2、模型：minz=cXs.tAX<bAeq-X=beq命令：x=linprog(c，A，b，Aeq，beq)注意：若没有不等式：AX<b存在，则令a=[]，b=[].3、模型：minz=cXstAX<bAeq-X=beqVLB<X<VUB命令：[1]x=linprog(c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB)⑵x=linprog(c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0)注意：[1]若没有等式Aeq-X=beq约束，则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点4、命令：[x,fval]=linprog(..・)返回最优解x及x处的目标函数值fval.例3.1求解maxz=0.4x+0.28x+0.32x+0.72x+0.64x+0.6x123456s.t.0.01x+0.01x+0.01x+0.03x+0.03x+0.03x<8501234560.02x+0.05x<7000.02x1+0.05x4<1000.03x+0.08<900

X.>0j=1,2,6解编写M文件xxghl.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例3.2求解minz-(634)min例3.2求解minz-(634)minz-6x+3x+4xs.t.x+x+x=120x>300<x<50X3>220s.t(1(010)1)fX21<(50)=(120)f30、fX)10<X220JUJkX3J解：编写M文件xxgh2.m如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)例3.3某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人，则应付检验员的工资为：8x4xx+8x3xx-32x+24xTOC\o"1-5"\h\z因检验员错检而造成的损失为：1212(8x25x2%xx+8x15x5%xx)x2-8x+12x1212故目标函数为：minz-(32x+24x)+(8x+12x)-40x+36x约束条件为：121212

'8x25xx+8x15xx>18008x25xx1<18002h一18x15xx<18002x>0,x>0线性规划模型：minz=40x+36x5线性规划模型：minz=40x+36x5x+3x>4512x<91x<152x>0,x>0改写为：minz=(40s.t.(-5-3)顷2rx、1VX2)<(-45)编写M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)结果为：x=9.00000.0000fval=360注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数：x1=9,x2=0，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解。例3.5精读下面模型：投资的收益和风险一、问题提出TOC\o"1-5"\h\z市场上有n种资产s,（i=1,2……n可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买S的平均收益率为r，风险损失率为0，投资iii越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的七中最大的一个风险来度量。购买s时要付交易费，（费率P•），当购买额不超过给定值u时，交易费按购买u计iIii算。另外，假定同期银行存款利率是二，既无交易费又无风险。（,=5%）已知n=4时相关数据如下：°°Sr（%）q（%）P（%）u（元）iS1i28i2.5i1'103S211.521982S3235.54.5523S252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。二、基本假设和符号规定基本假设：投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1；投资越分散，总的风险越小；总体风险用投资项目七中最大的一个风险来度量；n种资产s之间是相互独立的；在投资的这一时期内，r,p,q,r0为定值，不受意外因素影响；净收益和总体风险只受Zr.,p.,q.影响，不受其他因素干扰。符号规定：第i种投资项目，如股票，债券rp,,q.----分别为S.的平均收益率，风险损失率，交易费率u--S.的交易定额r0__同期银行利率七_____―投资项目S.的资金a-----投资风险度Q----总体收益'AQ----总体收益的增量三、模型的建立与分析总体风险用所投资的s中最大的一个风险来衡量，即max{xq,i=1,2,,n}iii购买s.所付交易费是一个分段函数，即fpx,x>u交易费=〈Mi/i[pu,x<uiiii而题目所给定的定值u(单位:元)相对总投资M很小，pui更小，可以忽略不计，这样购买s.的净收益为(r-p)x.'1要使净收益尽可能大，'总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型：目标函数|max'(r-pi)x

i=°minmax{qx}ii^E(1+p)x=M约束条件〈.....=0x>0,i=1,,ni模型简化：在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，，若给定风险一个界限a,使最大的一个风险qx/M<a,可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。ix模型1固定风险水平，优化收益目标函数：Q=maxn+1r-p)xiiii=1约束条件：Iqx<a,M<E(1+p)x=M,'x>0,i=1,,ni若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2固定盈利水平，极小化风险“

目标函数：R=min{max{q.x}}X(r-p)x>ky=o约束条件:乙(1+p)x=M约束条件:x>0,i=0,1,,niC.投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益赋予权重”0<x<1),s称为投资偏好系数.模型3日标函数及约束条件mins*{max{qx.}}-(1-s)*Z(£(1+p)x=M,ii.=0[x>0,i=0,1,,ni四、模型1的求解mijf=x0mijf=x0+s.t<(-0.05,-0.27,-0.19,-0x1x8加x,(x,1T&5)012341.x1+x.(+2x1.+045x=1.06510.02x5<a10.01x5<a20.055x<a0.026x<a4x>0,i=0,1,,4i由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')，axis([00.100.5])，holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')计算结果：a=0.0030x=0.49490.12000.20000.05450.1154Q=0.1266a=0.0060x=00.24000.40000.10910.2212Q=0.2019a=0.0080x=0.00000.32000.53330.12710.0000Q=0.2112a=0.0100a=0.0200a=0.0400x=00.40000.58430x=00.80000.18820x=0.00000.99010.00000Q=0.2190Q=0.25180五、结果分析风险大，收益也大。当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。在a=0.06附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为：风险度收益x0x1x2x3x40.00600.201900.24000.40000.10910.2212IV.实验作业说明：本次上机实验起，综合应用题不只是简单的程序与运行结果，尽量将每个问题的求解写成小论文的形式（含问题分析，模型假设，模型构成，模型求解，结果分析等）。3.1用Matlab/Lingo求解教材4.1中两个线性规划问题。max(1)z=72x+64xx+x<5012x+8x<4803x<1001x,x>0maxz=24x+16x+44x+32x-3x-3x612x+xx+x

s.t.—15+6<50344(x+x)+2(x+x)+2x+2x<480(2)x+x<100x=0.8x35x=0.75x46x,x,x,x,x,x>01234563.2某厂生产甲乙两种口味的饮料，每百箱甲饮料需用原料6千克，工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克，工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克，工人150名，又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论：1）若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2）若每百箱甲饮料获利可增加1万元，问应否改变生产计划.3.3任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，车床类型单位工件所需加工台时数单位工件的加