巧作辅助线求解角度

巧作辅助线解角度问题：图，△ABC中，∠BAC40º，AD平分∠BAC，EAB上点，连CE、，∠ACE=40，，∠CED的度数。【分析】由已条件，得∠CAD=20º∠ADC=50º∴ACD=110º∴，延长AC，∠ACE的邻补角为，为∠ACE的补角的角平线；由角平分线的性质我应想到角分线上的点到两边距离相等”过点D作DF⊥，交AC长线于点⊥点⊥CE于如1DF=DG=DH。于是，ED为的角平分线，∵∠CEB=80º（角定理），∴∠问题2：图，△ABC中∠BAC＝45º，AD平分∠BAC，CB⊥ABDE⊥AB，的延长线交于点，∠，∠CBD的数【分析】由已知条件，得：∠，∠BCD=67.5º，∴∠，长AC，则∠ACB的邻补角为，CD为的补角的角平分线；由角平分线的性质：角平分线上的点到两边距离相等，所以过点D作⊥BC于F，⊥AC交AC延线于点，如下图），则DF=DG=DH。

于是，BD为∠CBE的角平分线，∵∠，∠通过问题和，们推导出一个定理：三形一内平线其两内的角分交一。如图，为BAC的平分线，为ACB外角的角平分线，连接BD，BD为∠ABC外角的角平分线。证明：如图所示，过点D分别作，BCAB的垂线，垂足分别为，F，G，，故BD为∠ABC外角的角平分线。问题3知等腰△ABC中AB=ACBAC=20º为边一点AD=BC，连接CD。∠BDC的度数。【分析】由已知条件，得：∠ABC=80º，作∠，使得，下图：连接DE，，易知△≌△EAD，∵AB=AC，EA=ED，∠EAC=60º，∴△EAC为边三角形，∴EA=EC=AC=ED；∵∠AED=20º，∠DEC=40º，EDC=70º又∵∠ADE=80º∴∠-（80º+70º）=30º

问题：图，已知在等腰△中，AB=AC∠，点D、E分别在ABAC边，且∠ACD=30º，。∠DEB的数。【解析】如图，过点作∥BC，AB于连接CF，BE于M，接DM。易知，△BCM与均为等边三角形，故BC=BM，∵∠，∠；∵∠ABC=80º，∠，∴，又BC=BM，ABE=20º，∴∠BMD=80º又∠，∴∠，知，∠BFC=180º-60º-80º=40º，∴DF=DM，△△EMD中：，，DF=DM，∴△≌△EMD，∠FED=∠MED，∵∠FEM=60º，∴∠即∠DEB=30º。问题：图，已知正方形ABCDED=BDCE∥BD，与交于点F，求∠BFE的数。【解析】（方法一）如图，将△沿翻，得eq\o\ac(△,到)eq\o\ac(△,)，连接BG∵CE∥BD，∠BCE=45º；∴∠，∠，∴∠=135º；在△DCG和中DC=BC，DCG=∠BCG，CG=CG∴△DCG≌，∴DG=BG，又∵DG=DE=BD，△DBG为等边三角形，∴∠BDG=60º，∵∠，∴∠GDC=∠EDC=60º-45º=15º，∴∠，∠BFE=75º。

（方法二）如图，分别过点、作BD的垂线，和BDBD分交于点、H。则四边形为矩形，EH=CG=(AB，DE=BD=√2·AB，∴，在△中，，所以∠EDH=30°，EDC=45°，∴∠，∠BFE=75°。问题6：图，已知在等腰△ABC中，∠ABC=∠，P为ABC内点，且∠CBP=16º，，∠的度数。【解析】如图，过点A作的垂线，垂足为M，长交AM于点，连接BN易知，AM垂直平，故NB=NC；∵∠，∴∠CNM=∠，PBN=ABN=14º，∴∠∠，在△和中BN=BN，∠PNB∠∠，∴△ABN≌PBN，，∵∠ABP=28º∴∠，∴∠PAC=92º=16º又∠ACP=14º，∠APC=60º

总结：只要满足以下条件：，ABC为腰角形，AB=AC；，；，∠PCA=30º，那么∠APC=150º根据下图，读者可自行证明。（提示：主要证eq\o\ac(△,明)

ABN≌，得出AB=BP）问题：图，△BCD中∠BCD=RT∠EB=EC，∠CDE的度数。【解析】以BD为称轴，作△BCD的对称图eq\o\ac(△,形)eq\o\ac(△,)BAD，则ABCD为正方形（如图），∠DCE=90º-∠BCE，ABE=90º-∠，∵，∠∠CBE，而DCE=∠ABE；在△和ABE中：AB=DC，CE=BE，DCE=∠ABE，∴△DCE≌△ABE，∴AE=DE=DC=AD，

ADE为等边三角形，∠，∴∠CDE=30º问题8：图，AB=CD，⊥，为CD延长线上一点，且DE=BC，连接，BDBD延线交AE于点求∠APB的数。【解析】如图，过点A作∥CE，得，连接，BF。则四边形AFDE为行四边形。∵DE=BC，AF=BC，在△AFB和CBD中：AF=BC，AB=CD，∠BC