湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷

永州市2024年上期高一期末质量监测试卷数学注意事项：1.本试卷共150分，考试时量120分钟.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的几何意义求解.【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，故复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等【答案】C【解析】【分析】列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解.【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.3.在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）A.250 B.220 C.30 D.20【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的每层中抽取样本比例相同，列式计算即可.【详解】设本科生抽取的人数为人，由分层抽样每层中抽取样本比例相同，可得，解得.故选：.4.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理可得答案.【详解】若，则由正弦定理得，可设，由余弦定理得.故选：A.5.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.6.若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）A.数据的平均数为13B.数据的方差为12C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平均数、方差的定义，逐项计算判断作答.【详解】依题意，，，对于A，，A正确；对于B，依题意，，所以数据的方差为：，B错误；对于C，，C正确；对于D，由，解得，D正确.故选：B7.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，计算出，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标.【详解】因为,所以，将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转，得到化简得，所以P点坐标为；故选：C.8.已知正方体的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线与平面ABCD所成角为，为正方形的中心，点为线段上一动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】需要先找到点位置，再将立体问题平面化，根据三点共线距离最短求解.详解】因为直线与平面ABCD所成角为，又因为面所以为直线与平面所形成的角，即，又，所以，所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆落在四边形内的部分，即四分之一圆弧.分析可知，点为和圆弧的交点时，最小.此时可将面沿着翻折到面所在平面.根据长度关系，翻折后的图形如图所示，其中分别为正方体上下底面的中心，当三点共线时，最小.因为，所以最小值为故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则下列说法正确的是（）A. B.存在实数，使得为实数C.若为纯虚数，则 D.【答案】AC【解析】【分析】根据复数的模长计算判断A选项，应用实数和纯虚数定义判断B,C选项，根据模长及乘方运算判断D选项.【详解】因为所以，A正确；因为,无实数解，B选项错误；因为纯虚数，则，即，C选项正确；当时，，则，D选项错误.故选：AC.10.如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形是边长为2的正方形，则（）A.异面直线与所成角的大小为B.二面角的平面角的余弦值为C.平面平面D.此八面体的外接球表面积为【答案】ACD【解析】【分析】通过可判断A项正确，作出二面角的平面角根据余弦定理求解，可知B项错误，使用面面垂直的判定定理即可得到C正确；证明为外接球球心，即可判断D.【详解】由题可知四点共面，又，所以四边形为菱形，所以，故异面直线与所成角即为异面直线与所成角,又每个面都是正三角形，故异面直线与所成角的大小为，故A项正确；对于B项，连接，为BE中点,又每个面都是正三角形，所以，所以为二面角的平面角，所以，由余弦定理得，所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误；由于三点共线，在直线上，故四点共面.又由于两两垂直，且在平面内交于点，故平面.而在平面内，故平面平面，C正确；由于该八面体的每个面都是边长为的正三角形，故,所以点为几何体外接球的球心，且外接球的半径为，从而外接球的表面积为，D正确.故答案为：ACD.11.已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（）A.若为的垂心，且，则B.若，则的面积与的面积之比为C.若，则动点的轨迹经过的外心D.若E，F，G分别为，，的中点，且，，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】A将转化为，然后求数量积；B将拆成，然后根据线性运算得到，然后求面积比即可；C由题意得，然后根据得到，即可得到动点的轨迹经过的外心；D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值.【详解】A选项，，故A正确；B选项，设中点为，中点为，，即，所以点为中位线靠近点的三等分点，所以，故B错；C选项，设中点为，则，结合题设所以，所以，又的中点为，所以在的中垂线上，所以动点的轨迹经过的外心，故C正确；D选项，设中点为，因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，结合上图，,当为直径时最大，最大为，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：数量积的计算方法（1）定义法；（2）坐标法；（3）转化法；（4）几何意义法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______.【答案】0.7##【解析】【分析】根据概率的加法公式代入求解即可.【详解】因为事件与事件发生的概率分别为，，且，所以.故答案为：0.7.13.已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，利用轴截面面积求得圆台得底面半径和高，然后根据圆台体积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆台的上下底面中心分别为,为其轴截面.由题意得，设，则，在轴截面中过点作⊥于点，则，故，由勾股定理，轴截面的面积为，解得，故圆台上底面半径，下底面半径，高，故该圆台的体积为.故答案为：14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】由明确边上的高等于边的一半，做出边上的高，设，用表示出，再结合换元法和基本不等式，求的最大值.【详解】如图：过作于.因为，所以.设，则设，则若，则；若，则；当时，（当且仅当即时取“”）.所以故答案为：【点睛】方法点睛：求取值范围得问题，常用的方法有：（1）结合二次函数的单调性，求二次函数在给定区间上的最值；（2）利用基本不等式，求最值；（3）利用三角函数的有界性求最值；（4）判断函数的单调性，求最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生的成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.（1）求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；（2）估计该市高一年级学生成绩的分位数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据频率之和等于即可求出，求出及格的频率，再乘以即可；（2）根据频率分布直方图中百分位数的求法求解即可.【小问1详解】由题意，，解得，高一年级的及格的频率为，则估计该市高一年级的及格（60分以上）人数为人；小问2详解】因为，，所以高一年级学生成绩的分位数在区间上，设为，则，解得，所以估计该市高一年级学生成绩的分位数为.16.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先分别求出，得坐标，再根据向量垂直得坐标表示即可得解；（2）根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可得解.【小问1详解】由，，得，因为，所以，即，解得；【小问2详解】，则，当时，取得最小值.17.甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.（1）用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；（2）若选择方案一，求甲获胜的概率.【答案】（1）方案二被选择的可能性更大，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）列举出向上的点数所有情况和点数之差的绝对值不大于1的情况，求出概率，得到结论；（2）分三种情况，求出相应概率相加即可.【小问1详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下：，，，其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有：，共16种情况，故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，因为，所以方案二被选择的可能性更大；【小问2详解】若甲在前两局获胜，概率为，若第一局，第三局获胜，概率为，若第二局，第三局获胜，概率为，三种情况互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为.18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E，F分别为棱，的中点.（1）若平面平面，①求证：；②求三棱锥的体积；（2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长.【答案】（1）①证明见解析.②（2）【解析】【分析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可.②利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高.（2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长.【小问1详解】①因为平面平面平面平面又因为底面为直角梯形，其中所以又因为面所以面又因为面所以②由①知面取的中点设为连结则则面则点到面的距离为又因为在直角梯形中，，解得所以在等腰三角形中三棱锥的体积【小问2详解】取线段的中点，连接，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又分别为线段，所以，所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面，则，，，在中，，，所以，则，所以截面周长为.19.当的三个内角均小于时，使得的点为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”.已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是的“费马点”.（1）若，，.①求；②设的周长为，求的值；（2）若，，求实数的最小值.【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】（1）①利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角的值，再利用副助角公式求解出；②在中，由余弦定理得到的关系，再结合等面积法建立的另外一个等式关系，进而求解出所要求的等量关系.（2）先利用角的三角函数的关系，判断出三角形是直角三角形，接