专题4.4 正弦定理和余弦定理及其应用（原卷版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第四章三角函数、解三角形专题4.4正弦定理和余弦定理及其应用1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形考点二正弦定理、余弦定理的简单应用知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).第一部分核心典例题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．2．在中，已知，则角为（

）A． B． C． D．3．在中，边长，，，则边长（

）A． B． C． D．4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（

）.A． B． C． D．35．在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．题型二正弦定理、余弦定理的简单应用6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.7．如图，在中，的垂直平分线交边于点．（1）求的长；（2）若，求的值．8．在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.9．在中，，，．(1)求；(2)若角为钝角，求的周长．10．已知，，分别为内角，，的对边，且．(1)求的值；(2)若面积为，求边上的高的最大值．第二部分课堂达标一、单选题1．中，，则b等于（

）A． B． C． D．2．在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．4．的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（

）

A． B． C． D．6．在平行四边形ABCD中，，，则该平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．7．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知中，若，，的面积为，为边的中点，则的长度是（

）A． B． C．1 D．2二、多选题9．平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（

）A． B．锐角三角形C．的面积为 D．的外接圆半径大于210．已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（

）A．或 B．C． D．该三角形的面积为三、填空题11．正四面体中，O为的重心，则．12．在中，，，则的形状为