天津市某中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021八年级数学学科期中学情调研试卷

一、选择题

1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.2>/2B.C.Jo.5D.J12

【答案】A

【解析】

【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式.进行解答即可.

【详解】A、2也是最简二次根式；

B、昌也,不是最简二次根式；

V22

C、，不是最简二次根式；

2

D、百，不是最简二次根式；

故选A.

【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不

含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

2.若4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>-3

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，求出答案即可.

【详解】解：在实数范围内有意义，

3-x>0,

烂3,

故选：A

【点睛】本题考查二次根式有意义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型.

3.以下各组线段为边，能组成直角三角形的是（）

A.6cm,12cm,13cmB.—cm,1cm,—cm

43

C.8cm,6cm,9cmD.1.5cm,2cm,2.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】本题可根据选项中的三个数看是否满足“斗炉=/,若满足则为答案.

【详解】解：A.62+12V132,根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B.（；）2+124-）2,根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

C.不能，因为62+82切2,故不能构成直角三角形，故错误；

D.能，因为1.52+22=2.52,故能构成直角三角形，

故选D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，比较简单，勾股定理的逆定理，即。2+〃=/.

4.下列运算错误的是（）

A.A/2+V3=V5B.6.忑=瓜C.瓜;0D.（-V2）'=2

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的

除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断.

【详解】解：A、血与也不是同类二次根式，不能合并，所以A选项的计算错误；

B、.所以B选项计算正确；

C、遥+0==所以C选项的计算正确；

D、（—0『=2,所以D选项的计算正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.熟练掌握法则是解题的关键

5.一个直角三角形两条直角边边长分别为3和4,则斜边上的高为（）.

A.2B,2.2C.2.4D,2.5

【答案】C

【解析】

【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高.

【详解】解：设斜边长为C,高为九

由勾股定理可得：C2=32+42,则C=5,

直角三角形面积S=LX3X4='XCX〃，可得〃=2.4,

22

故选：C.

【点睛】本题考察了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决

此类题的关键.

6.已知J而是整数，则正整数〃的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】因为J诟是整数，且J砺=2疯，则6"是完全平方数，满足条件的最小正整数〃为6.

【详解】解：而=2疯，且J赤是整数，

二2陆是整数，即6〃是完全平方数；

的最小正整数值为6.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意

义的条件时被开方数是非负数进行解答

7.已知点。、E、F分别为AABC各边的中点，若AABC的周长为24cm,则△/）防的周长为（）.

A.6cmB.12cmC.24cmD.48cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形中位线的判定和性质解题即可.

【详解】解：•••>E、F分别为AABC三边的中点，

：.DE.OF、E尸都是AABC的中位线,

DF=-AC,DE=-BC,EF=-AC,

222

故ADE/的周长=DE+Db+EF=g（BC+AB+AC）=gx24=12cm.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形中位线的判定和性质.掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解

题关键.

8.菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的度数之比为1：2,则较短的对角线长度是（）

A.2（）GcmB.5百cmC.1-\/3cmD.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，得出较短的对角线与菱形两边围成的三角形是等边

三角形，即可得出结果.

如图所示：

•.•菱形的周长为20cm,

菱形的边长为5cm,

•••两邻角之比为1:2,

•••较小角为60。,

ZABC=6O°,

\'AB=5cm,AB=BC»

AABC为等边三角形，

AC-AB=5cm,

...较短的对角线为5cm,

故选D.

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识;熟练掌握菱形的性质与等边三角形的判

定是解题的关键.

9若垂）=a,-^30=b<则Jo.9=（）.

ahaba+b

---B.——D.

10。10aTo10

【答案】c

【解析】

990

【分析】先将被开方数0.9化成分数形式观察四个选项，在变为工.利用积的算术平方根的性质,

10100

写成含质的形式.本题是把质变为6x而，代入可解.

叵—l~90V9073x730

【详解】解：网

V10-V100-7100~一W——记

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，注意被开方数是小数的要化为分数计算，且保证分母是完全

平方数，根据必=同进行化简.积的算术平方根的性质：J^=Gx扬（a>0,b>0）.

10.下列判断正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.对角线相等的菱形是正方形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】B

【解析】

【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定方法，对选项逐个判断即可.

【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；

B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；

D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；

故选：B

【点睛】此题考查了菱形、正方形、矩形的判定方法，掌握它们的判定方法是解题的关键.

11.如图为等边三角形ABC与正方形OEFG的重叠情形，其中。，E两点分别在A8,BC上，且

BD=BE.若AC=18,GF=6,则点F到AC的距离为（）.

G

D,

BEC

A.60—6B.66-6C.2A/5D.3百

【答案】B

【解析】

【分析】过点6作3"_LAC于”，交DE于N,交GF于K,延长£尸交AC于M,根据等边三角形的性

质求出/A=NABC=60。，然后判定△BCE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出NBDE=60。，然后

根据同位角相等，两直线平行求出AC〃。区利用平行线的性质得出NEMC=90°，再利用勾股定理求出

EM=6日从而求出线段的长，即可得解.

【详解】解：如图，过点B作用/_LAC于"，交DE于N,交GF于K,延长EF交AC于M

AABC是等边三角形,

ZA=ZABC=60°,

,/BD=BE，

:•ABDE是等边三角形,

：.NE8N=30°,

BE=GF=6,

NBDE=60。,

二ZA=ZBDE,

：.AC//DE,

：.NEMC=90。,

NMEC=3()0,

EC=2MC,EM=6cM，

•/CE=BC—BE=18-6=12,

MC=6,EM=65

，FM=EM-EF=66-6,

.••F点到AC的距离为66-6.

故选:B.

【点睛】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，通

过作辅助线构造直角三角形求线段长是解题的关键.

12.如图，矩形48C。中，他=3,点E、尸分别在边4B、CD上，点。是E尸与AC的交点，且点。是

线段EF的中点，沿AF、CE折叠，使A。、CB都落在AC上，且。、B恰与点O重合.下列结论：①

NDC4=30°;②点E是A8的中点；③四边形AECF是菱形；④AO的长是其中正确的结论有

().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】由四边形ABC。是矩形，。是E广的平分点C9〃AE,可得OF=OE,可知。是AC的平分

点，可证AAOE丝ACOE(SAS),OE=OF,AO^AO,可得NAOE=NCOE=90°,则AAOE丝

AAOE(SAS),可知NZMF=NQ4E=NQAF=』x90°=30°,则①正确；因为

3

ZDC4=3O0=NQAE,可得AE=2OE,由ABCE^ACOE,所以OE=BE,则E是AB的三等分

点，则②错误；因为AC、E/相互垂直平分，AE=AF,四边形AECF是菱形，则③正确；由

DF=BE=^AB=\,NZMF=30°可得A尸=2，由此可知A。=6故④正确.

【详解】解：根据题意得：OA^AD,OC=BC,

•••四边形ABC。是矩形，

CF//AE,AD=BC,

OA=OC,

•・・。是EE的平分点,

•••OF=OE,

^AOFACOE(SAS),

OE=OF,AO—AO,

ZAOF=NCOE=90。,

^AOF/\AOE(SAS),

/.NDAF=ZOAE=ZOAF=k90。=30°,

3

.•.①正确；

；•NOG4=N(ME=30°,

AE=2OE,

,/△*>£是由△£(加翻折的，

；.ABCE丝△COE,

OE—BE,

...E是AB的三等分点，

.•.②错误；

「AC、EF相互垂直平分，AE=AF,

四边形AECF是菱形，

.•.③正确；

VDF=BE=-AB=l,ZZMF=30。，

3

；•AF=2,

AD=6，

...④正确，

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形性质和判定，直角三角形的特殊角的性质，熟练运用全等三角形的性质是解

决本题的关键.

二、填空题

13.化简：7200=.

【答案】1072

【解析】

【分析】直接根据二次根式的性质进行化简即可得到答案.

【详解】解：A/200=Vl00x2=10V2.

故答案为：10及.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质：值=同=|"是解答本

'1[-a（a<0）

题的关键.

14.如图，在RtZXABC中，8。是斜边AC上的中线，若AC=8,则8。的长=

【答案】4

【解析】

【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.

【详解】解：•.•在中，80是斜边AC上的中线，AC=8,

BD=-AC=4.

2

故答案为：4.

【点睛】本题考查直角三角形的性质.掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键.

15.命题“对顶角相等”的逆命题是一个命题（填“真''或"假"）.

【答案】假

【解析】

【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断.

【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题.

故答案为：假.

【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组

成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命

题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.

16.在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，若NAOB=80。，则N0A8的大小为一（度）.

【答案】50

【解析】

【分析】根据矩形的性质求出。4=08,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.

【详解】解：如图所示:

•.•四边形ABC。是矩形,

:.AC=BD,OA^OC，OB=OD,

:.OA=OB,

NOAB=NOBA=-(l80°-ZAOB)=-(180°-80°)=50°；

22

故答案为：50.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理；解题的关键是熟练掌握

矩形的性质，证出。4=03.

17.如图，在矩形488中，AB=2，AD=3,E、F分别是边AB、CQ的中点，点P是上一点，

/PFB=3/FBC,则AP的长为_.

52

【答案】-##1-

33

【解析】

【分析】连接AF,由四边形ABCO是矩形可知，NC=NO=90°,AD//BC,AB//CD,

由E、F分别是边AB、CQ的中点，可知AE=£B,DF=FC,进而可知=BE=CF,所以四

边形AEF。、四边形BCFE是平行四边形，由此可证四边形AEF£＞、四边形BCFE都是矩形，所以

EF//AD//BC,ZAEF=9O°,进而可知防_LAB，FA=FB,/AFE=/EFR,由

所〃可知，ZEFB=NFBC,ZDAF=ZAFE,由NPFB=3NFBC，得

NPFA=/PAE，所以可得PA=PE，设24=尸产=%,在R^PDF中,由勾股定理可列方程从而可

算出AP的长为;.

【详解】解：如图，连接AF，

•.,四边形A8CO是矩形，

，NC=ZD=90。，AD//BC,AB//CD,

；E、F分别是边AB、CD的中点，

AAE=EB,DF=FC,

：.AE=DF,BE=CF,

：.四边形AEFD、四边形BCFE是平行四边形，

•/NC=N£>=90°,

四边形AEFD、四边形8CFE都是矩形，

AEF//AD//BC,ZAEF=90。,

EF±AB,

,/AE=EB,

:.FA=FB，ZAFE^ZEFB,

EF//BC//AD，

：.NEFB=ZFBC,ZDAF=ZAFE,

•••匕PFB=34FBC,

ZPFA^ZPAE，

PA=PF，

设Q4=P9=x,

在尸中，由勾股定理得：PF2^PD2+DF2>

,55

即f=(3—x)-+F,解得：x=_,即AP的长为一，

'，33

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查平行的性质以及判定，矩形的性质及判定，勾股定理，能够构造适合的辅助线是解决本

题的关键.

三、解答题

18.在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图.

（2）在图①中画出以AM为一边的正方形MABC；

（3）如图②，N,F分别为小正方形边的中点，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（RVPQ不是正方

形）.

【答案】（1）J15

（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理求出AM的长即可；

（2）根据正方形四条边都相等，四个角都为直角画出图形即可；

（3）根据菱形的四条边都相等，取正方形的中点P,Q,连接尸/V、PQ、FQ,画出图形即可.

【小问1详解】

AM=+3?=屈.

故答案为：■

【小问2详解】

解：根据题意得：AM是长为3,宽为2的长方形的对角线，然后把AM绕点M逆时针旋转90°到CM的

位置，绕点A顺时针旋转90°到AB的位置，连接BC,则正方形AM8C为所作，如图①;

【小问3详解】

解：取正方形中点尸，Q,连接PN、PQ、FQ,则菱形FNPQ为所作.如图②，

过点EQLOF交OF延长线于点E,过点F作FG±NQ于点G,则FG=3,

■:N,尸分别为小正方形边的中点，

：.NG=2,

■-FN=M+W=而'

同理PN=屈,PQ=FQ=J15,

：.FN=NP=PQ=FQ,

四边形FNPQ是菱形.

【点睛】本题考查作图一复杂作图和勾股定理.掌握正方形的判定和性质，菱形的判定和性质是解题的关

键.

19.计算:

（1）V18->/32+>/2：

4

【答案】（1）0（2）逑

10

【解析】

【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可;

（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可.

【小问1详解】

解：原式=3夜-4夜+夜

=0.

【小问2详解】

原式=2x2gx立+5正

解:

4

=3+50

3&

一记,

【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算.解题的关键在于正确的化简计算.

20.如图，直角三角形纸片OAB,ZAOB=90°,OA=l,OB=2,折叠该纸片，折痕与边08交于点C,

与边AB交于点。，折叠后点8与点A重合，求OC的长.

k

0A

3

【答案】OC=一.

4

【解析】

【分析】由题意可得3C=AC,在RdACO中，根据勾股定理可列方程，可求出OC的长

【详解】由折叠后点8与点A重合，

得△ACO丝△8CO.

设0C=m,

则BC=O2-OC=2-，w.

于是AC=BC=2-m.

在RfAAOC中，由勾股定理，得AGMOK+OG.

即(2-m)2—\2+m2.

3

解得“一.

4

3

；.0C=-.

4

【点睛】本题考查了折叠问题，关键是通过勾股定理列出方程.

21.如图，在QABCD中，点E,尸分别在BC,上，KBE^FD,求证：四边形AECF是平行四边形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质可得A尸〃EC.AF=EC,然后根据平行四边形的定义即可证得.

【详解】证明：•••四边形ABCO是平行四边形，

：.AD//BC,AD^BC,

J.AF//EC,

,:BE=FD,

：.BC-BE=AD-FD,

：.AF=EC,

：.四边形AEC尸是平行四边形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的

关键.

22.在cABC。中，对角线AC平分NEW.求证：四边形ABC。是菱形.

D

B

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形性质得出N84C=NACD,再结合平分线即可得出AQ=CQ,进而得出结

论；

【详解】证明：•.•四边形A8CD是平行四边形,

，AB//CD.

：.ZBAC=ZACD.

•.•AC平分NSM),

/.ADACABAC.

：.ADAC^ZACD.

AD=CD.

四边形ABC。是菱形.

【点睛】此题考查平行四边形性质和菱形的判定定理，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

23.如图，在正方形ABCQ中，点尸为C。上一点，BF与AC交于点£

(1)NAC8的大小=°；

(2)求证：AABEWAADE;

(3)若NC5b=20°,则NAEO的大小=°.

【答案】(1)45(2)证明见解析

(3)65

【解析】

【分析】(1)由正方形的性质求解即可；

(2)由正方形ABCC可知，AB=AD，/EAB=/EAD,进而可证AEAB丝△&1£>(SAS)；

(3)由△EABGAEA。可知Z4E£>=NAEB，由三角形外角的性质可知NA£B=NEBC+NBCE,计

算求解即可.

【小问1详解】

解：•.•四边形ABC。是正方形，

:./BCD=90°,ZACB=-ZBCD=1x90°=45°

22

故答案为45.

【小问2详解】

证明：•.•四边形A8CD是正方形

AAB=AD，ZEAB=ZEAD

在和AEW中

EA^EA

JNEAB=NEAD

AB=AD

AE4BA£4D(SAS).

【小问3详解】

解：,/^EABAE4D

；•ZAED=ZAEB

•••ZAEB=ZEBC+/BCE=200+45°=65°

，ZAED=65°

故答案为65.

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等，三角形外角的性质.解题的关键在于对知识的灵活运

用.

24.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O,BE〃AC交DC的延长线于点E.

（1）求证：BD=BE；

（2）若NDBC=30。，BO=4,求四边形ABED的面积.

【答案】（1）见解析；（2）2473

【解析】

【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD,然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边

形的对边相等可得AC=BE,从而得证.

（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长

度，根据锐角三角函数求出BC的长（或用勾股定理求），并根据等腰三角形三线合一的性质求出DE的

长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABCD是矩形，

.\AC=BD,AB〃CD,

VBE/7AC,

.••四边形ABEC是平行四边形.

二•AC=BE.

.*.BD=BE,

(2)解：・・•在矩形ABCD中，BO=4,

.\BD=2BO=2x4=8.

VZDBC=30°,

.♦.CD=：BD二x8=4,BC=BDcosNDBC=8x走=46.

222

VBD=BE,BC±DE,

，CE=CD=4,，DE=8

四边形ABED面积(AB+DE)BC=1x(4+8)x4g=246.

25.已知：在AABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。为直线BC上一动点(点。不与8、C重

合).以A。为边作正方形AQEF,连接CF.

图①图②图③

(1)如图①，当点。在线段8C上时，

①求证：△ABO也AAC尸；

②NACE的大小=0；

③若BC=8,CD=2,则CF的长=一；

(2)如图②，当点。在线段BC的延长线上时，其它条件不变，则CRBC、C。三条线段之间的关系

是：CF=；

(3)如图③，当点。在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变:

①CF、B