高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题习题与讲解

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈以下各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？yx与y=x33yx与y=x2是同一函数〔2〕〔1〕是同一函数x12不是同一函数〔4〕y2lnx与y=lnx2不是同一函数〔3〕yx1与y=x1⒉指出以下函数的定义域.〔1〕f(x)3x4的定义域是[4,)〔2〕f(x)ln1的定义域是(,1)31x〔3〕f(x)ln(x21)的定义域是(,2][2,)〔4〕f(x)arcsin(lxn)的定义域是[1,e]e〔5〕假设f(x)的定义域是[4,4]，那么f(x2)的定义域是[2,2]〔6〕假设f(x)的定义域是[0,3a]，那么f(xa)f(xa)的定义域是[a,2a]3.判别以下函数的奇偶性.〔1〕fxxsinx是奇函数〔2〕fxxcosx是奇函数〔3〕fxx2x是非奇非偶函数〔4〕1x是奇函数1xfxlg〔5〕fxcos(sin)x是偶函数〔6〕sinxfx是偶函数xcosx是奇函数〔8〕fxfxln(x21x)〔7〕是偶函数1x2⒋以下函数哪些在其定义域内是单调的.〔1〕ysinx在其定义域内不是单调的〔2〕yarcsinx在其定义域内是单调递增的〔3〕yx2x在其定义域内不是单调的〔4〕时，yeax在其定义域内是单调的，其中a0时，yeax在其定义域内是单调递减的，a0时，yeax在其定义域内是单调递增的a05.以下函数在给定区间中哪个区间上有界.〔1〕y1在区间(1,)上有界x〔2〕yln(2x1)在区间(1,10)上有界〔3〕yx3在区间(3,4)上有界〔4〕ysinx在区间(,0),(,),(1,1)上分别有界6.以下函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.2〔1〕ysin3x是周期函数，最小正周期是3〔2〕ycosx是周期函数，最小正周期是〔3〕ytan2x是周期函数，最小正周期是2〔4〕yln(cosx2)是周期函数，最小正周期是7.以下各对函数中，哪些可以构成复合函数.f(u)arcsin2(u),ux2〔1〕不可以构成复合函数〔2〕f(u)ln(1u),usin2x不可以构成复合函数1〔3〕f(u)u,uln不可以构成复合函数2x2〔4〕f(u)arccous,u2x可以构成复合函数1x28.将以下复合函数进展分解.〔1〕对复合函数f(x)x23x4的分解结果是：f(x)u,ux23x4f(x)e2x3的分解结果是：f(x)eu,u2x3〔2〕对复合函数〔3〕对复合函数f(x)ln(2x3)的分解结果是：f(x)lnu,u2x3〔4〕对复合函数f(x)arcsin(x1)的分解结果是：f(x)accsinu,ux19.求函数值或表达式.x22x21x2〔1〕函数f(x),则f(2)0,f(2)-4,f(0)2,f(x2)x1.sinx,x12,则f(1)0,f(),f()0.42〔2〕函数f(x)0,x1〔3〕函数f(x)sinx,则f(arcsin1)-1.22〔4〕函数f(sinx)cos2x，那么f(x)12x2,x1,1习题1.21.用观察法判断以下数列是否有极限，假设有，求其极限.31517x:1,,,,,,没有极限〔2〕x1有极限，lim10〔1〕23456nnnnnxsinnx(1)n没有极限〔4〕nn有极限，lim[(1)n]0n〔3〕2n31n1n3n2.分析以下函数的变化趋势，求极限〔1〕lim10〔2〕lim10xx1x2x2x3〔3〕limln(x2)〔4〕lim2x2xx3.图略，limf(x)不存在x04.以下变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？2是无穷大量xx0100x2时，x0时，〔1〕是无穷小量〔2〕〔3〕x时，x1是无穷小量〔4〕x时，ex是无穷大量x12n2sinxn(1)n时，是无穷大量〔6〕x时，是无穷小量〔5〕n3x1时，是无穷小量〔8〕〔7〕xsinx0时，2x1是无穷小量x5.函数f(x)x1，那么f(x)在x或x或x的过程中是无穷(x3)2小量，在x3或x3或x3的过程中是无穷大量？1x6.当x1时，无穷小与以下无穷小是否同阶？是否等价？〔１〕当x1时，无穷小1x与无穷小1x3同阶，但不等价1〔２〕当x1时，无穷小1x与无穷小(1x2)同阶，而且等价2习题1.3f(x)xlimf(xt)f(x)11.设函数，那么t2xt0x21,x2，那么limf(x)5,limf(x)5,limf(x)5.2.设函数f(x)2x1,x2x2x2x23.求以下各式的极限：x232〔1〕lim(2x2x5)15〔2〕limx4x213x1x225〔4〕lim2x2x2x〔3〕lim(1)x33x0x42〔5〕lim11x21x0lim(12)n12〔6〕x2nnn2n222x22x211〔8〕limx313x1〔7〕limxxx1〔9〕limx(9x213x)1〔10〕lim2xx11x6xx1〔11〕lim(x1)10(2x3)10210(3x5)20320xx2ax65a7，那么.x14.limx15.lim(x2kxx)2，那么k4.x6.求以下极限：〔1〕limsin5x5〔2〕limtan2xsinx1sin2x2xx0x0〔3〕limcosxcos3x4〔4〕limtan(2xx3)2x2sin(xx)2x0x0〔5〕limxsin11〔6〕limxsinx0xsinxxxx0〔7〕lim2arcsinx2〔8〕limtanxsinx13x3x32x0x07.求以下极限：〔1〕lim(14)2xe8〔2〕lim(12)x1e2xxxx3x3〔4〕lim(x1)x1e22x12〔3〕lim()xe3x0x5〔5〕lim(1lnx)e5〔6〕lim(1cosx)secxelnxx1x28.用等价无穷小替换计算以下各极限：〔1〕limarcta6nx2〔2〕lim24x3xe12xx0x0〔3〕lim1cos2x2〔4〕limln(12x)2x2e1xx0x0习题1.4x21x1,x1，那么f(x)1.设函数f(x)x1在处不连续．3,x12.指出以下函数的连续点，并指明是哪一类连续点？1〔1〕函数f(x)的连续点有点x1和点x1，它们都是第二类连续点中的x21无穷连续点1x0x的连续点有点，它是第二类连续点〔2〕函数f(x)e〔3〕函数f(x)x21的连续点有点x0x1x0和点，其中点是第二类连续(x1)xx1点中的无穷连续点，点是第一类连续点x21x1〔4〕函数f(x),x1的连续点有点x1，它是第一类连续点中的0,x1可去连续点x22,x0〔5〕函数f(x)x0的连续点有点，它是第一类连续点中的跳2x,x0跃连续点x24x2,x2〔6〕函数f(x)x2的连续点有点，它是第一类连续点中的可3,x2去连续点sinx,x0x3.设函数f(x)k,x0k1f(x)，当时，函数在其定义域内是连续xsin11,x0x的.4.求以下极限：〔1〕limarccosx2x〔2〕limlgsinx0x224x1〔3〕limesinx10〔4〕e2cosxx0limln(1x)lnxln2xx1x4x211〔6〕limxx1x1〔5〕limx2x22x1〔7〕limlnx1〔8〕limarctanxxe4xex15.〔略〕6.〔略〕复习题1一、单项选择题1.以下函数中〔C〕是初等函数.0xQ〔A〕yarcsinx(22)〔B〕f(x)1xQx20x1〔C〕yx21〔D〕f(x)x1x12.以下极限存在的是〔B〕.〔A〕lim4x〔B〕limx313x1〔C〕limlnx〔D〕limsin1x1x13xxx03.当x0时，tan2x与以下〔D〕不是等价无穷小.〔A〕tanx2〔B〕x2〔C〕sin2x〔D〕cos2x4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的〔B〕.〔A〕必要条件〔B〕充分条件〔C〕充分必要条件〔D〕无关条件sinax5.lim2,那么常数a〔C〕.x0x〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕46.闭区间[a,b]上的连续函数yf(x)在[a,b]上一定是〔C〕.〔A〕单调函数〔B〕奇函数或偶函数〔C〕有界函数〔D〕周期函数二、填空题1xx01.设f(x)，那么f(2)4.2x0x2.函数ycos53x是由简单函数yu3,ucosv,v3x复合而成的.x1,x1x1f(x)3.点是函数3x,x1的第一类连续点中的跳跃连续点.x4.当时，函数y3x是无穷小.2x5.极限=e2xlim1.x1,46.函数yln(4x)x1的连续区间为.三、计算以下极限x23x32x2不存在1.lim=02.limx2x3x4x21x2114.limx25x6x28x153.limx12x2x12x3x2x116.limx48x15.lim不存在(x2)2x25xxx233x16x127.limx18.lim(3cosx)=0x13xxcosx9.lim1cos110.lim1sinx120x11.limln(1x)1121)lim(12.sin2x2x2x382x0x2lim(12)2x1e132xe314.13.lim(12x)x0xxx1x1e16.lim(x1)xe2x1xlim15.x0x四、综合题x210x11.函数f(x)x1x2在点处不连续，在点处连续，函数的图像x1x1略。exx02.设函数那么limf(x)=1,f(x)在点x0处连续。x0f(x)1x0sinxxx0sinkx,x0，当k2,a为任意实数时，f(x)在x0处连续。5x3.设函数f(x)52ax,x04.〔略〕第2章导数与微分习题2.11.质点作直线运动方程为st23，那么该质点在时的瞬时速度为10.t5f(x)xf(x)表示以下极限:02.用函数在的导数0〔1〕limf(x2x)f(x)2f(x)limf(xx)f(x)f(x)〔2〕000002x2x0x0x0〔3〕limf(xt)f(xt)2f(x)limf(x)f(x)f(x)〔4〕00000xx0t000t00xx0xx3.利用根本公式1，求以下函数的导数:〔1〕yxe,则yexe1〔2〕yx3,则y1x4331〔3〕y那么y1xx6〔4〕yx，那么yx1578683x4.求以下曲线在指定点处的切线方程和法线方程：〔1〕yx31,1在点处的切线方程3xy20，法线方程为x3y40〔2〕ylnxe,1在点处的切线方程xey0，法线方程为exy1e203〔3〕ycosx在点(,)处的切线方程6x12y630，法线方程为6212x6y332011yx2上点〔6，36〕处的切线平行于直线y12x1，(,)5.在曲线处的法线636垂直于直线3xy10x2,0x16.函数f(x)x1在点处不可导，因为不存在f(1)3x1,x1习题2.21.求以下函数的导数:〔1〕yxaaxlnxcosxe2的导数yaxa1axlna1sinxx〔2〕y2x1xx的导数yxx312x2x122111122232〔3〕y(x1)(1)的导数yxxx〔4〕y2tanxsecx2的导数y2sec2xsecxtanx的导数yexxex3xlna〔5〕yxex3logx3〔6〕yxsinxlnx的导数ysinxlnxxcosxlnxsinx〔7〕y5sinx的导数y1cosx51cosx2*10xln10〔8〕y10x1的导数y(10x1)210x12.求以下函数在指定点的导数：〔1〕f(x)lnx3cosx2x，那么f()25，f()12.2〔2〕f(x)x2sinx，求f(0)，f().f(x)x2sinx，那么f(0)0，2f().263xx2x2在横坐标x3处的切线方程为x9y90，法线方程为3.曲线y27x3y790。习题2.31.求以下函数的导数：〔1〕y2cos(45x)的导数y10sin(45x)y(2x3)4y8(2x3)3的导数〔2〕〔3〕exy1ex的导数y21ex2〔4〕ylntanx的导数ysin2x〔5〕ysec22x的导数y4sec22xtan2x〔6〕yarccos11x的导数yxx21x4〔7〕y的导数y4x2(4x2)4x2〔8〕ye2xsin3x的导数ye2x(2sin2x3cos3x)2.求以下函数在指定点的导数：x1〔1〕y343x，在点处的导数是-1〔2〕f(x)ln2x2，在x1处的导数是-1x231〔3〕y1ln2x，在xe处的导数是2e3.设函数f(x)可导，求以下函数的导数:〔1〕yf(2x1)的导数y2f(2x1)〔2〕yxf(x2)的导数yf(x2)2x2f(x2)习题2.4dy1.求由以下方程所确定的隐函数yy(x)的导数.dxdy2xy〔1〕x2y2xy1所确定的隐函数yy(x)的导数dxx2ydyy(exyy)〔2〕xy2exy20所确定的隐函数yy(x)的导数dxx(2yexy)dyyyxlny所确定的隐函数yy(x)的导数〔3〕dxy1yy(x)的导数dyey〔4〕y1xey所确定的隐函数dx1xey2.用对数求导法求以下函数的导数:y(xlnyy)yxyx〔1〕所确定的隐函数yy(x)的导数dydxx(ylnxx)dydx〔2〕y(cosx)sinx的导数(cosx)sinx(cosxlncosx)sinxtanx)dy1x的导数x1x2(1lnx)〔3〕yxdx〔4〕yx2(3x)4(x1)5dy(3x)3(x232x73)的导数dxx2(x1)63.〔略〕x2y21在点(x,y)处的切线方程为xxyy100ab224.曲线a2b200习题2.51.求以下函数的二阶导数:〔1〕yx42x34x1的二阶导数y12x212x〔2〕ysin(32x)的二阶导数y4sin(32x)2(1lnx)〔3〕yxln2x的二阶导数y的二阶导数y4sin(32x)xx〔4〕y4x212x的二阶导数y4x2(4x2)22.求以下函数在指定点处的导数：〔1〕yxcosx，那么y(0)0〔2〕yarctanx，那么y(0)0n3.求以下函数的阶导数:〔1〕yxex的n阶导数y(n)(xn)ex，xN*〔2〕ylnx的n阶导数y(n)(1)n1(n1)!xN*，xn4.函数的(n2)阶导数y(n2)x，那么y的n阶导数y(n)2lnxlnxxln3x5.〔略〕习题2.61.求以下函数的微分：〔1〕yx2sin2x3x4的微分dy(2xsin2x3)dxdy(lnx2xln21)dx〔2〕yxlnx2x的微分〔3〕yln1x的微分dy2dx1x1x2的微分dy2xcosxsin2xdxsin2x〔4〕yxx2x的微分dysdxinx〔5〕ylntan2exyarctanex的微分dydx1e2x〔6〕x〔7〕yxarccosx的微分dy(arccosx)dx1x2〔8〕y(exex)3的微分dy3(e3xe3xexex)dx1eyxyxeyyy(x)的微分dydx〔9〕所确定的隐函数1xey〔10〕xy1所确定的隐函数yy(x)的微分dy1dxx22.以下各括号中填入一个函数，使各等式成立.1〔1〕3x2dxd(x3)〔2〕dxd(arctaxn)dxd(lnx1)1x21〔3〕2cos2xdxd(sin2x)〔4〕x13lnx〔5〕lnx1dxd()〔6〕abxdxd(2(abx)2)2x23b1〔7〕x21e2x2dxd()x〔8〕2xe2x2dxd()23.求以下近似值：〔1〕ln0.90.1〔2〕cos610.47〔3〕arcta1n.021.58〔4〕e1.012.754.一正方体的棱长x10米，如果棱长增长0.1米，那么此正方体体积增加的准确值为30.3立方米，近似值为30立方米.复习题2一、单项选择题1.函数yf(x)xx0在点处可导是它在处可微的〔C〕.0〔A〕充分条件〔B〕必要条件〔C〕充分必要条件〔D〕无关条件2.设f/(0)2，那么limf(x)f(x)的值为〔D〕.xx0〔A〕1〔B〕2〔C〕0〔D〕4k3.以下各式中〔为常数〕正确的选项是〔D〕.d(xx)xxx1xx〔B〕d(k)kkk〔A〕〔C〕dxdxd(kx)xkx1〔D〕d(xk)kxk1dxdxlnx4.设函数fxx1fx，那么在点x=1处〔B〕.x1x1〔A〕连续但不可导〔B〕连续且f11〔C〕连续且f10〔D〕不连续5.过曲线yxlnxM上点的切线平行直线0y2xM，那么切点的坐标是〔D〕.0〔A〕〔1，0〕〔B〕(e,0)〔C〕(e,1)〔D〕(e,e)y(0)6.假设y=x(x–1)(x–2)(x–3)，那么=〔D〕.〔A〕0〔B〕-1〔C〕3〔D〕-67.ycosx，那么y8=〔B〕.sinxcosxsinx〔D〕cosx〔A〕〔B〕〔C〕8.设函数yf(x)可微，那么当x0时，ydy与x相比是〔C〕.〔A〕等价无穷小〔B〕同阶无穷小〔C〕高阶无穷小〔D〕低阶无穷小二、填空题y1.假设函数yln3，那么=0.2.设函数yx1，那么不存在.y(1)3.变速直线运动的运动方程为s(t)t22t，那么其加速度为a(t)2.4.曲线yx在点〔4,2〕处的切线方程是x4y40.5.d(cosx)=sinxdx.6.设fxxlnxfx2fxe=.0，且，那么0三、计算题1.求以下函数的导数：1〔1〕y2xx2x的导数y8x312x22x232x〔2〕yxlnxsinxcosx的导数ylnxsinxcosx1y3x2的导数y34x3x2(x1)22〔3〕x12〔4〕ye2x1的导数y2e2x1〔5〕ylncosx的导数ytanx12x(1x)〔6〕yarctanx的导数y〔7〕yx2sin1y2xsin1cos1xxx的导数1x的导数yx2(1lnx)1〔8〕yxxdy2.求由以下方程所确定的隐函数yy(x)的导数：dxdyyxya0所确定的隐函数yy(x)的导数〔1〕dxx所确定的隐函数yy(x)的导数dy1ysin(xy)dxxsin(xy)〔2〕cosxyxyy(x)的导数dyylny〔3〕yxlny所确定的隐函数dxyx〔4〕eyexxy0，那么f(0)03.求以下函数的二阶导数：〔1〕ysinaxcosbx的二阶导数ya2sinaxb2cosbxyxexy(x2)ex的二阶导数〔2〕〔3〕ysinx2的二阶导数y2cosx24x2sinx22的二阶导数y2(x22)〔4〕ylnx2(x2)224.求以下函数的微分：x〔1〕yx21的微分dydxx21〔2〕ysinx1x2的微分dy(1x2)cosx2xsinxdx(1x)22ysinlnxdycos(lnx)〔3〕的微分dxx〔4〕yexcosx的微分dy(sinxcosx)exdx四、应用题1.有一批半径为1cm的球，为减少外表粗糙度，要镀上一层钢，厚度为0.01cm，那么每只球大约需要用铜0.28克x22.某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部售出，收入函数为R36x,其中x20为公司一天的产量，如果公司每天的产量从250增加到260，那么估计公司每天收入的增加量大约是110.第3章微分中值定理与导数的应用习题3.11.函数f(x)cosx在[0,2]上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的2.函数f(x)ln(x1)在[0，1]上，验证满足拉格朗日中值定理的条件〔略〕，满足拉11ln2格朗日中值定理结论中的3．f(x)2x1,g(x)x2在区间[-1，2]上满足柯西中值定理结论中的12y2xx24.A(1,1)与B(3,3)是曲线上的两点，那么该曲线上点〔2，0〕处的切线平行于弦AB.5.〔略〕6.〔略〕习题3.21.求以下极限：(1)limx32x11limexex不存在4x412(2)x23x1x0lnxx2(3)lim0(4)lim0xe3xxxlnxlnsinx1(5)limsinxsinaxa(6)limx0cosaxax11(7)lim()(8)lim()x1lnx2xe12111xx1x0limxx1(9)limxcotx1(10)x0x02．以下极限可否用洛必塔法那么去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限.〔1〕limexex不可用洛必塔法那么去求，否那么会总是出现的情形，用常规方xexexexex法求得lim1eexxxxsinx〔2〕limx不可用洛必塔法那么去求，否那么会出现等式右端无极限的情形，xxsinx但并不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得limx1x3.当a3,b9sin3xalimb0时,极限2x3x2x0xcx4.当cln2时,极限xlim4xc习题3.31.求以下函数的单调区间：〔1〕yln(1x2)在区间(,0)内单调递减，在区间(0,)内单调递增〔2〕yx4x在区间(,2)与区间(2,)内单调递增，在区间(2,2)内单调递减x〔3〕y在区间(0,100)内单调递增，在区间(100,)内单调递减x100(4)yx在区间(,2)与区间(0,)内单调递增，在区间(2,1)与区间1x2(1,0)内单调递减〔5〕yxln(1x)在区间(1,0)内单调递减，在区间(0,)内单调递增(6)yx2lnx在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)内单调递增ee〔7〕yarctanxx在区间(,)内单调递减(8)y2x2lnx在区间(0,12)内单调递减，在区间(1,)内单调递增2〔9〕4y3x4x3在区间(,1)内单调递减，在区间(1,)内单调递增y2xx3在区间(2,6)与区间(2,)内单调递减，在区间〔10〕3(6,0)内单调递增32.〔略〕3.〔略〕4.求以下函数的极值：23320，极大值有y(0)0〔1〕y(x1)3x2的极小值有y()525y2xx2的极大值有y(1)1，无极小值〔2〕22〔3〕y2x3x的极小值有y()，无极大值433〔4〕非零常数c0时，yc(x21)2的极大值有y(0)c，无极小值非零常数c0时，yc(x21)2的极小值有y(0)c，无极大值〔5〕yx1x的极大值有y(3)5，无极小值44〔6〕yxe的极小值有y(0)0，极大值有y(2)42xe213y2xx2的极大值有y()〔7〕22，无极小值〔8〕y32x113无极小值，也无极大值(x2)(3x)x2的极大值有y(12)1，无极小值524〔9〕y2〔10〕y32xx的极小值有y(0)0与y(2)0，极大值有y(1)125．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米.底面为正方形，设底面与四壁的单位造价一样，那么底取10米高取5米时，才能使所用材料最省.a6．将边长为的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形〔如图3.9所示〕，然后将其沿虚线折起，做成一个无盖正三棱柱盒子.那么当图中的xx2aa3取时，该盒子容积最大，求出的最大容积为.354图3.97.某厂生产某种产品，其固定本钱为100元，每多生产一件产品本钱增加6元，又知该产品的需求函数为Q1000100p.那么产量为200件时可使利润最大，最大利润是300元8．某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为Q40p那么该个体户将销售价定为每条30元时，才能获得最大利润习题3.4yxxax5bx121.根据函数f(x)的图像〔1〕fx()在点xx、点xx12与点xx1处改变符号〔2〕fx()在点xx处有极大值，在点xx处有极小值42〔3〕〔略〕图3.142.讨论以下曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：〔1〕曲线yxlnx在区间(0,)内是凹的，无拐点〔2〕曲线y2x3x在区间(,0)3(0,0)内是凸的，在区间(0,)内是凹的，点是曲线y2x3x的拐点3〔3〕曲线yx35x23x5在区间(,53)内是凸的，在区间(5,)内是凹的，35250点(,)是曲线yx35x23x5的拐点3275〔4〕曲线yxx3在区间(,0)内是凸的，在区间(0,)内是凹的，点(0,0)是曲53的拐点线yxx22216〔5〕曲线y2x2x3在区间(,)内是凹的，在区间(,)内是凸的，点(,)32733是曲线y2x2x3的拐点〔6〕曲线yln(1x2)在区间(,1)与区间(1,)内是凸的，在区间内是凹的，点(1,ln2)与点(1,ln2)都是曲线yln(1x2)的拐点(1,1)yxex在区间(,2)内是凸的，在区间(2,)内是凹的，点(2,2)是曲〔7〕曲线e2yxex线的拐点〔8〕曲线y13x在区间(,0)(0,1)内是凹的，在区间(0,)内是凸的，点是曲线y13x的拐点1在区间(,3)与区间(3,)内都是凹的，在区间〔9〕曲线y1x233(3,3)内是凸的，点(3,3)与点(,)都是曲线y的拐点1x2331333434yxex1在区间(,2)内是凸的，在区间(2,)内是凹的，点(2,2)〔10〕曲线eyxex1是曲线的拐点3(1,3)ab3923.曲线3yaxbx2的一个拐点，那么的值为，的值为4.求以下曲线的渐近线：lnx〔1〕曲线yx没有水平渐近线，也没有铅直渐近线x1〔2〕曲线ye〔3〕曲线yy1有水平渐近线，有铅直渐近线x0x1y0有水平渐近线，有铅直渐近线x1与x5x24x51〔4〕曲线yex4有水平渐近线y3，有铅直渐近线x01(x3)2〔5〕曲线yy0有水平渐近线，有铅直渐近线x3lnxy0有水平渐近线，有铅直渐近线x0x(6)曲线y〔7〕曲线yexy0有水平渐近线，有铅直渐近线x11xx(8)曲线y2xarctan没有水平渐近线，也没有铅直渐近线25.〔略〕习题3.5x1.设某产品生产个单位的总收入为R(x)200x0.01x2，那么生产第100个单位产品时的总收入的变化率为1982.某产品的函数Cq7002q5q(单位：千元)，那么：〔1〕当产量为400台增加到484台时，总本钱的平均变化率约为2.12千元/台；〔2〕当产量为400台的边际本钱约为2.13千元/台。1P1.那么需求弹性为.假PQ3.某产品的销售量与价格之间的关系式为QPp11设销售价格为，那么的值为.2P2QP4.设某商品的需求量对价格的弹性为P2Pln2.那么销售收入RPQ对P价格的弹性为12Pln2.5.求以下曲线的弧微分〔1〕曲线yx2x的弧微分ds24x4x2dx〔2〕曲线ycosx的弧微分ds1sin2xdx〔3〕曲线yln(secx)的弧微分dssecxdxxat2dst4a29b2t2dt〔4〕曲线的弧微分ybt36.求以下各曲线在给定点处的曲率K和曲率半径：310510yx3在点〔1,1〕处的曲率K，曲率半径R3〔1〕50〔2〕ysinx在点(,1)处的曲率，曲率半径K1R12y4xx2在点〔－2，－4〕处的曲率K2，曲率半径R12〔3〕〔4〕4x2y24在〔0，2〕处的曲率K2，曲率半径R12复习题3一、单项选择题1.f(x)0，f(x)0是函数yf(x)x0在点处取得极值的〔B〕.00〔A〕必要条件〔B〕充分条件〔C〕充要条件〔D〕无关条件22.设函数f(x)(x1)x1f(x)3，那么点是的〔D〕.〔A〕连续点〔B〕可导点〔C〕驻点〔D〕极值点3.函数yxln(1x2)在定义域内〔A〕.〔A〕无极值〔B〕极大值为1ln2f(x)〔C〕极小值为1ln2〔D〕为单调减函数4.函数yax2b在区间(0,)内单调增加，那么应满足〔B〕.a,b〔A〕a0且b0〔B〕a0,b可为任意常数a，b〔C〕a0且b0〔D〕无法说清的规律5.以下曲线在其定义域内为上凹的是〔D〕.〔A〕yln(1x2)〔B〕ysin(x22)〔C〕yarctanx〔D〕yex6.设函数f(x)在[0,1]上f(x)0,那么f(1),f(0),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是〔B〕.〔A〕f(1)f(0)f(1)f(0)〔B〕f(1)f(1)f(0)f(0)〔C〕f(1)f(0)f(1)f(0)〔D〕f(1)f(0)f(1)f(0)二、填空题31.函数f(x)x32x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的＝.3x22.极限xlimxex＝0.3.函数y2xcosx的单调增加区间是(,).4.设yf(x)xyf(x)有极值f(x)，那么曲线yf(x)在0在点处可导，且0xf(x)〕处的切线方程为yf(x).〔，000limax2bx23ba,b5.为常数，，那么6.2x1x6.曲线y(x1)3的拐点是〔1，0〕.三、计算以下极限limsin2xex1sinx=02.21.limx0tan3x3x3.limtanxx=2.4.limsinxxcosx1x0x0xsinxsin3x3lnx6.limln(13x2)5.lim01xln(3x)2xx7.limexsinx08.lim(11)1xln(1x)2xx0x1219.limx(ex1)110.lim()x1x2xx四、综合题1.f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，那么方程f(x)0有3个实根，它们依次在区间(2,1)、区间(1,3)及区间(3,4)内.323在区间2.函数yxx(,0)与区间(1,)内单调递增，在区间(0,1)内单调递2减.3.函数y2x39x212x3在区间(,1)与区间(2,)内单调递增，在区间(1,2)内单调递减，该函数有极大值y(1)2，有极小值y(2)1.4.函数yex(x1)在区间[1,3]上的最大值y(1)2e，最小值y(3)4e.35.求函数yln(x21)的凹向区间和拐点.曲线yln(x21)在区间(,0)内是凸(0,0)的，在区间(0,)内是凸的，点该曲线的拐点.6.点(1,3)为曲线yx3ax2bx14ab的拐点,那么的值为-3，的值为-9.第4章不定积分习题4.11.〔略〕2.F(x)3x24x,且曲线yF(x)过点(1,1),那么函数F(x)的表达式为F(x)x32x22.3.函数f(x)sinx(0,1)通过点的积分曲线方程为y2cosx.4.设曲线过点〔－1，2〕，并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，那么此曲线的方程为yx21.习题4.21.求以下不定积分：xxdx4x4C⑵1dx4x4Cx4371⑴⑶71021(2x4x3)dxxx3Cx10xdxCln10⑷5542332xx(23x32x)dxC⑹(sec2xcsc2x)dxtanxcotxC⑸ln3ln22.写出以下各式的结果：d(e2xsinx2)e2xsinx2C1xdx1x2⑵⑴⑶2eex[ex(sinxcosx)]dxex(sinxcosx)C⑷dx1cosx1cosxdxdx3.用直接积分法求以下不定积分：121aexxx(1x)2dxxxx4C(2)aedxC232341lnaxx(1)x12dxx22x2C(4)()dxx12lnxC1x231(3)(5)x3xxx7x1212(6)1dx1arctanxCx2(1x2)xdxx24xC2x34926xxxdxC(2x3x)2cot2xdxxcotxCcos2xsinxcosx(7)(8)ln4ln9ln6cos2x〔9〕dxtanxcotxC(10)dxcosxsinxCcos2xsin2x习题4.31.用第一类换元法求以下积分：(3x2)20dx1(3x2)21C(2)103xdxC103x(1)633ln10(3)1dx3(12x)C(4)sin4xdx1cos4xC2312x443ex23ex2dxln(ex2)C(6)2sinxcosxdx(2sinx)C(5)23sinxdxarctan(coxs)C(8)xdxx21(7)x21C1cos2xsinexC(10)tandx2lncosxCx(9)ecosexdxx22111cosdxsin1Cxx2sinxdx2cosxC(12)(11)(13)xxlnxlnx3arctanxdx1(arctaxn)2C1x222dxC(14)x32.用第二类换元法求以下不定积分：〔1〕dx13x2ln(13x)23xC(2)dxx3x2x33x66x6ln(16x)Cx1(3)dx2x12arctanx1Cxxx1dx2(x1)2(x1)2C253(4)531(5)x12dxCxx2x21(6)x24x2dx2arcsinx1x4x2C22习题4.41.用分部积分法求以下积分：xsinxdxsinxxcosxC(1)xexdx(x1)exC(2)(3)xsin2xdx1sin2x1xcos2xC42x2cosxdxx2sinx2xcosx2sinxC(4)(5)ln(x1)dx(x1)ln(x1)xC(lnx)2dxx(lnxlnx2)C(6)(7)2arcsinxdxxarcsinx1x2CsinxcosxCex2ecosxdx(8)x2.选用适当的方法求以下不定积分：(1)(2)cosxdx2xsinxcosxCexdx2(x1)exC1xexdx2exC(3)(4)1dx2arctanxCx(1x)复习题4一、单项选择题1.假设函数f(x)在a,b上满足条件〔C〕，那么其原函数一定存在.〔A〕单调〔B〕有界〔C〕连续〔D〕有有限个连续点2.假设F'()xf(x)，那么以下各式中正确的选项是〔B〕.F'()xdxf(x)C〔B〕f(x)dxF(x)C〔A〕〔C〕F(x)dxF(x)C〔D〕f'()xdxF(x)C3.函数sin4x的一个原函数是〔B〕.(A)cos4x(B)1cos4x(C)cos4x(D)1sin4x14444.以下各式正确的选项是〔D〕.1arctanxdxC〔B〕sin(x)dxcos(x)C2〔A〕(C)1xlnxdx1C(D)cos(x1)dxsin(x1)Cxf(x)lnx5.假设的一个原函数为，那么f(x)〔D〕.1〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕1x2xlnxcosxx6.f(x)2x且f(1)2，那么f(x)〔A〕.1x222〔A〕x21(B)x22(C)(D)x1117.积分f()dx〔D〕.xx2〔A〕f(1)C〔B〕f(1)C〔C〕f(1)C〔D〕f(1)Cxxxx8.假设f(x)dxF(x)C，那么f(2x)dx〔C〕.1〔A〕F(x)C(B)2F(2x)C(C)F(2x)C〔D〕F(2x)C2二、填空题f(x)f(x)1.函数的所有_原函数_，称为的不定积分.f(x)dx2sinxcf(x)cosx，那么=.2.假设223.dlnx2dxlnx2dxf(x)dxx2c，那么f(cosx)dcosx=cos2xc.4.设x1xdx时，为了化去被积函数中的根式，可作代换x1t35.在求积分.31xf(x2)dxf(x2)C.6.积分27.积分x1xdxxln1xC.exf(x)dx(x1)exC.8.x是的一个原函数，那么f(x)三、计算以下不定积分11(x)dxx32x1C1.2x3xex22e2Cdxx2.92xdx1(92x)11C3.4.5.6.1022sin2xcosxdx1sin3xC32lnxdx2lnx1ln2xC2x11sindxcos1Cxxx217.dxtanxcotxCsin2xcos2xe12xdxexexC8.exx1dxx2arctanxC2x219.x1dx1ln(x21)arctanxC10.x21211.xx1dx2x12(x1)3C312x1dx2x1C12.x1dx13.2x21arccos1Cxxxexdx(x1)exC14.15.xlnxdx1x3lnx1x3C239sinxcosxesinxdxexC16.x2四、应用题1.假设曲线通过点(e2,3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,那么该曲线的方程为ylnx1132.设作直线运动的某一物体的速度为v()tt2t2(m/s)，那么求该物体的位移3215s与时间t的函数关系式为stt22ts(m)，其中ss(0)2152第五章定积分及其应用00习题5.11.用定积分表示的由曲线yx22x3与直线x1,x4及x轴所围成的曲边梯形的面积A4(x22x3)dx.12.〔略〕3.不计算定积分,比拟以下各组积分值的大小.(2)1edxedx1xx21xdx1xdx(1)20000cosxdxsinxdx4lnxdx4ln2xdx(4)(3)4433004.利用定积分估值性质,估计以下积分值所在的X围.0(1)01edxe(2)22x(x2)dx0x0习题5.21.求以下函数的导数：(1〕F(x)xt21dt的导数F(x)x210sintsinx2x(2)F(x)x2dt的导数F(x)2t1x(3)F(x)1t2etdx的导数F(x)x2ex(4)F(x)x2cos2tdt的导数F(x)2xcos2x2cos2xx2.求以下函数的极限：xt(t1)dtxcos2tdt1(2)1(1)limx0lim01(x1)22xx10x(1t1t)dtxarctantdt1(4)limx022(3)limx00x22x24303.函数F(x)xt(t2)dt在区间[1,3]上的最大值为0，最小值为.4及轴所围成的曲边梯形的面积为.4.由曲线yx22x与直线x0,x2x35.物体作变速直线运动的速度为v(t)2t2t(m/s),那么该物体在前5秒内经过的路575程为(m).66.求以下定积分的值：(x2x1)dx176(2)111(2xx2)dx2(1)(3)(5)3ln210xln5212dx01x22dx222(4)x1e2edx2e3cosxdx2(6)1xx00习题5.31.用换元积分法计算以下定积分：e5e3e2x3dx=2121exdxee1(1)(2)1x201lnxdx313214edx22ln(3)(5)(7)2(4)11xxx1x2dx1(6)24x2dx1300dx301x132x1x2lndx62arctan3(8)1012.利用函数的奇偶性求得以下定积分：4cos313sinxdx3111(x23xsinxcos2x)dx(1)(2)331x213.用分部积分法计算出以下积分xexdx1(2)xcosxdx11(1)(3)2200e1ln(x1)dx1(4)x2sinxdx4001e21001xarctanxdx2excosxdx(5)42(6)2习题5.41.求以下曲线围成平面图形的面积.1围成平面图形的面积为(1)曲线yx2,yx3(2)曲线y1,yx,y2围成平面图形的面积为ln23x2(3)曲线ysinx,ycosx,x0,x2围成平面图形的面积为22216(4)曲线y4x2,y0围成平面图形的面积为3(5)曲线y24x,x2y4围成平面图形的面积为36434及它在点处的法线所围成图形的面积.〔6〕曲线yx2,y(x2)2,y0围成平面图形的面积为2.由直线y0与曲线xy(1,1)3xy3.求以下平面图形分别绕轴,轴旋转所产生的立体的体积.(1)曲线y2x1,x0及y0所围平面图形绕轴旋转所产生的立体的体积为x，绕轴旋转所产生的立体的体积为3y12(2)曲线y2x,x1,x2及y0所围平面图形绕x轴旋转所产生的立体的体积为，绕轴旋转所产生的立体的体积为32625y64.曲线r2acos所围成图形的面积为a2.5.某产品的的固定本钱为1万元，边际收益和边际本钱分别为〔单位：万元/百台〕MR(Q)8Q,MC(Q)4Q4.(1)那么产量由1百台增加到5百台时，总收益增加了20万元(2)那么产量由2百台增加到5百台时，总本钱增加了14.625万元？(3)那么产量为3.2台时，总利润最大；(4)那么总利润最大时的总收益为20.48元、总本钱15.08元为和总利润为5.4万元.习题5.51.求以下广义积分：1dx发散x10exdx1(2)(1)(3)(5)x0lnxxdx发散(4)dx发散1x2e11xexdx.1sindx1(6)x2x202.由曲线y1(x0),直线x1及x轴所围成图形的面积为1.x2复习题5一、单项选择题bf(t)dt]〔A〕