2023版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点、直线、平面之间的位置关系模拟演练文

PAGEPAGE102022版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.3空间点、直线、平面之间的位置关系模拟演练文[A级根底达标](时间：40分钟)1．[2022·福州质检]命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，那么p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析假设直线a，b不相交，那么a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，应选A.2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是()A．假设AC与BD共面，那么AD与BC共面B．假设AC与BD是异面直线，那么AD与BC是异面直线C．假设AB＝AC，DB＝DC，那么AD⊥BCD．假设AB＝AC，DB＝DC，那么AD＝BC答案D解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，故D不成立．3．[2022·泉州模拟]设a，b是互不垂直的两条异面直线，那么以下命题成立的是()A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案C解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，故D不正确，应选C.4．[2022·温州模拟]如下图的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是()答案D解析A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，故共面．5．[2022·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，那么m，n所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m、n所成的角为60°，其正弦值为eq\f(\r(3),2).选A.6．[2022·福建六校联考]设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①假设a∥b，b∥c，那么a∥c；②假设a⊥b，b⊥c，那么a∥c；③假设a与b相交，b与c相交，那么a与c相交；④假设a⊂平面α，b⊂平面β，那么a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．答案①解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不在任何一个平面内〞，故④错．7.如图，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，假设CD＝2AB＝4，EF⊥AB，那么EF与CD所成的角是________．答案30°解析取CB的中点G，连接EG，FG，∵EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG，又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt△EFG，EG＝eq\f(1,2)AB＝1，FG＝eq\f(1,2)CD＝2，∴sin∠EFG＝eq\f(1,2)，∴∠EFG＝30°，∴EF与CD所成的角为30°.8．如下图，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案③④解析如下图，把正方体的平面展开图复原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱锥P－ABC的体积为V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，那么ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).10．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明(1)如下图，连接CD1、EF、A1B，∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴FE∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，∴EF与CD1可确定一个平面，即E、C、D1、F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，那么P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．[B级知能提升](时间：20分钟)11．[2022·大连模拟]a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.①假设a与b是异面直线，那么c至少与a，b中的一条相交；②假设a不垂直于c，那么a与b一定不垂直；③假设a∥b，那么必有a∥c；④假设a⊥b，a⊥c，那么必有α⊥β.其中正确的命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①中假设a与b是异面直线，那么c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，假设b⊥c，那么b⊥平面α，此时不管a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，那么a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中假设b∥c，那么a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误，所以正确命题的个数是2.12.如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，那么异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，那么∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，那么A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).那么异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq\f(4,5).13．如以下图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．14．如下图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，∴AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF、AF，那么EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，cos∠AEF＝eq\