高考数学一轮复习专题十一概率与统计5变量间的相关关系统计案例综合篇课件新人教A版

考点一变量间的相关关系1.变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系.

与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.(2)在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相

关关系称为①正相关

,点散布在从左上角到右下角的区域内,两个变

量的相关关系称为②负相关

.2.两个变量的线性相关(1)从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.考点清单(2)回归直线方程(i)最小二乘法:通过求Q=

(yi-bxi-a)2的最小值而得到回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做③最小二乘法

.(ii)回归方程:方程

=

x+

是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中

,

是待定参数.

(3)相关系数r

(ii)当r>0时,表明两个变量④正相关

;当r<0时,表明两个变量⑤负相关

.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强;r的绝对值越接近

于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.当r的绝对值大于或等

于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关关系.(4)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方

法.在线性回归模型y=bx+a+e中,因变量y的值由自变量x和随机误差e共同

确定,即自变量x只能解释部分y的变化,在统计中,我们把自变量x称为解释变量,因变量y称为预报变量.考点二独立性检验1.分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的

变量称为分类变量.2.列联表:列出两个分类变量的⑥频数表

,称为列联表.假设有两个分

类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表

(称为2×2列联表)为:

y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d可构造一个随机变量K2=

,其中n=a+b+c+d为样本容量.3.独立性检验利用独立性假设、随机变量⑦

K2

来确定是否有一定把握认为“两个

分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准:统计学研究表明:当K2≤3.841时,认为X与Y无关;当K2>3.841时,有95%的把握说X与Y有关;当K2>6.635时,有99%的把握说X与Y有关;当K2>10.828时,有99.9%的把握说X与Y有关.考法一线性回归分析的应用知能拓展例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的

折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无

害化处理量.附:参考数据:

yi=9.32,

tiyi=40.17,

=0.55,

≈2.646.参考公式:相关系数r=

,回归方程

=

+

t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

=

,

=

-

.解题导引解析(1)由折线图中数据和附注中参考数据得

=4,

(ti-

)2=28,

=0.55,

(ti-

)(yi-

)=

tiyi-

yi=40.17-4×9.32=2.89,r≈

≈0.99.

(4分)因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可

以用线性回归模型拟合y与t的关系.

(6分)(2)由

=

≈1.331及(1)得

=

=

≈0.10,

=

-

=1.331-0.10×4≈0.93.所以,y关于t的回归方程为

=0.93+0.10t.

(10分)将2016年对应的t=9代入回归方程得

=0.93+0.10×9=1.83.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.(12分)方法总结求线性回归方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系;(2)利用公式

=

,

=

-

求得回归系数;(3)写出回归直线方程.经典例题以下为教师用书专用例

(2019广东深圳第二次调研,18)某网店经销某商品,为了解该商品的

月销量y(单位:千件)与当月售价x(单位:元/件)之间的关系,收集了5组数据

进行了初步处理,得到下表:x56789y864.53.53(1)统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱,

若|r|∈[0.75,1],则认为相关性很强;若|r|∈(0.25,0.75),则认为相关性一般;

若|r|∈[0,0.25],则认为相关性较弱.请计算相关系数r,并说明y与x之间的线

性相关关系的强弱(精确到0.01);(2)求y关于x的线性回归方程;(3)根据(2)中的线性回归方程,估计当售价x定为多少时,月销售额最大?

(月销售额=月销售量×当月售价)参考数据:

≈12.85.参考公式:相关系数r=

,线性回归方程

=

x+

中,

=

,

=

-

.解析(1)由表中数据和附注中的参考数据得,

=7,

=5,

(1分)

(xi-

)2=10,

(yi-

)2=16.5.

(2分)

(xi-

)(yi-

)=-12.5,r=

≈-0.97.

(3分)因为|r|≈|-0.97|∈[0.75,1],所以说明y与x的线性相关关系很强.

(5分)(2)由(1)可知

=

=

=-1.25,

(7分)∴

=

-

=5-(-1.25)×7=13.75,

(8分)∴

=-1.25x+13.75.

(9分)(3)由题意可知,月销售额的预估值

=1000·

·x=-1250x2+13750x(元)或者

=

·x=-1.25x2+13.75x(千元).

(10分)则当x=5.5时,

取到最大值,即该店主将售价定为5.5元/件时,可使网店的月销售额最大.(12分)考法二独立性检验的应用例2

(2019湘东六校联考,19)市教育部门为研究高中学生的身体素质与

课外体育锻炼时间的关系,对该市某校200名高中学生平均每天的课外体

育锻炼时间进行了调查,数据如下表:平均每天锻炼的时间(分钟)[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]总人数203644504010将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育

达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断

是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性

别有关;

课外体育不达标课外体育达标合计男

女

20110合计

(2)从上述课外体育不达标的学生中,按性别用分层抽样的方法抽取10名学生,再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因,

记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望;(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况,现在从该市所

有高中学生中抽取4名学生,求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.参考公式:K2=

,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828附:解题导引(1)把数据代入公式计算K2;(2)求出X=0,1,2,3时的概率,列分布列并求数学期望;(3)设4名学生中课外体育达标的人数为ξ,由ξ~B

求P(ξ=2).解析(1)

课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200K2=

≈6.061<6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与

性别有关.

(4分)(2)易知,所抽取的10名学生中,男生有10×

=4名,女生有10×

=6名.X可取0,1,2,3.P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

.∴X的分布列为X0123P

E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.

(9分)(3)设所抽取的4名学生中,课外体育达标的人数为ξ,由(1)中表格可知学生

课外体育达标的频率为

=

,将频率视为概率,∴ξ~B

,∴P(ξ=2)=

×

×

=

.∴恰好有2名学生课外体育达标的概率为

.

(12分)方法总结独立性检验的一般步骤:(1)独立性检验原理只能解决两个对象,每个对象有两类属性的问题,所以

对于一个实际问题,我们要首先确定能否用独立性检验的思想加以解决;(2)如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太

小;(3)根据数据列出2×2列联表;(4)提出假设H0:所研究的两类对象(X,Y)无关;(5)根据公式计算K2=

(n=a+b+c+d)的值;(6)比较观测值k与临界值表中相应的检验水平,根据小概率原理肯定或者

否定假设,即判断X、Y是否相关.经典例题以下为教师用书专用例

(2018河南开封一模,19)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新

机遇,2017年双十一期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿元人民币.

与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从

评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行了统计,其中对商品的

好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,对商品和服务都作出好评的交易为

80次.(1)完成下面的2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务

好评有关;

对服务好评对服务不满意合计对商品好评

对商品不满意

合计

200(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对

商品和服务全好评的次数为随机变量X.①求对商品和服务全好评的次数X的分布列;②求X的数学期望和方差.附:P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K2=

,其中n=a+b+c+d.解析(1)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下:

对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200

K2