高考数学一轮复习专题九平面解析几何3椭圆综合集训含解析新人教A版

PAGEPAGE11椭圆基础篇【基础集训】考点一椭圆的定义及标准方程1.已知椭圆y2m+x22=1的一个焦点为0,12A.1B.2C.3D.9答案D2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为43A.x23+y22=1B.xC.x212+y28=1D.答案A3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交,且弦长为3A.y28+x24=1B.C.y216+x212=1D.答案B4.(多选题)设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的动点,则下列结论正确的是 (A.|PF1|+|PF2|=22B.离心率e=6C.△PF1F2面积的最大值为2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-2=0相切答案AD5.过点P1,-12作圆x2+y2=1的切线l,已知A,B分别为切点,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点,则直线AB的方程为;答案2x-y-2=0;x25+考点二椭圆的几何性质6.设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,右焦点为F,B为椭圆在第二象限上的点,直线BO交椭圆E于点C,若直线BF平分线段AC于M,A.12B.23C.13答案C7.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1b≥32a>0,右焦点为F(c,0)(c>0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1A.0,32B.1,32答案D考点三直线与椭圆的位置关系8.与椭圆x22+y2=1有相同的焦点且与直线l:x-y+3=0相切的椭圆的离心率为 (A.22B.55C.12答案B9.(多选题)已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F、E,直线x=m(-1<m<1)与椭圆相交于点A、B,A.当m=0时,△FAB的面积为3B.不存在m,使△FAB为直角三角形C.存在m,使四边形FBEA面积最大D.存在m,使△FAB的周长最大答案AC10.已知P(1,1)为椭圆x24+y22=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,且弦与椭圆交于A、B两点答案x+2y-3=011.设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.[教师专用题组]【基础集训】考点一椭圆的定义及标准方程(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,14)已知椭圆的方程为x29+y24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长的最小值为,△ABF答案10;25解析设F1为椭圆左焦点,连接AF1,BF1,则由椭圆的中心对称性可得C△ABF2=AF2+BF2+AB=AF1+AF2+AB=6+AB≥6+4=10,S△ABF2=考点二椭圆的几何性质(2018甘肃酒泉中学月考,9)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为M,上顶点为N,右焦点为F,若NM·A.32B.2-C.3-12答案D椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为M(-a,0),上顶点为N(0,b∵NM·NF=0,∴NM⊥NF,∴a2+b2+b2+c2=(a+c)2,又a2=b2+c2,所以a2-c2=ac,即e2+e-1=0,∵e∈(0,1),∴e=5-故选D.方法总结求椭圆离心率的方法有两种:一是直接法,即e=ca=1-b2a考点三直线与椭圆的位置关系1.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、t∈R+,m+n=3,ms+nt=1,其中m、n是常数且m<n,若s+t的最小值是3+22,满足条件的点(m,n)是椭圆x24+y216=1A.x-2y+3=0B.4x-2y-3=0C.x+y-3=0D.2x+y-4=0答案D∵m、n、s、t为正数,m+n=3,ms+nt=1,s+t的最小值是3+2∴(s+t)ms+nt∴(s+t)ms+nt=m+n+mts+nst≥当且仅当mts=nst此时m+n+2mn=3+22,解得mn=2,又m+n=3,m<n,∴m=1,n=2.设以(1,2)为中点的弦交椭圆x24+y216=1于A(x1,y1),B(x2由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=4,把A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入4x2+y2=16,得4两式相减得2(x1-x2)+(y1-y2)=0,∴k=y2-y1x2即2x+y-4=0.故选D.2.(2019吉林实验中学高三第四次月考,10)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2、点M为椭圆上不同于A1,A2的一点,若直线MA1与直线MA2的斜率之积等于-A.12B.13C.22答案C由已知得A1(-a,0),A2(a,0),设M(x0,y0),则kMA1=y0x∵kMA1·kMA2=-又∵x02a2+y02b2=1,∴y02由①②可得b2a2∴e=ca=a2-b2a2=综合篇【综合集训】考法一与椭圆定义相关的问题1.(2020北京师范大学附属实验中学月考,6)△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(4,0),它的周长是18,则顶点C的轨迹方程是 ()A.x225+y29=1B.y225C.x216+y29=1(y≠0)D.x225答案D2.(2019豫东豫北十校4月联考,8)椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为23,则△PF1F2的周长是A.2(2+3)B.4+23C.2+3D.2+23答案A3.(2020湖南长沙长郡中学月考,7)设P,Q分别是圆x2+(y-6)2=2和椭圆x210+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 (A.52B.46+2C.62D.7+2答案C4.(2020浙江杭州4月模拟,10)已知方程(k-1)x2+(9-k)y2=1,若该方程表示椭圆的方程,则k的取值范围是.

答案{k|1<k<5或5<k<9}考法二椭圆离心率问题的求法5.(2020福建龙岩质量检查,8)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若△AFB是直角三角形,A.22B.32C.3-答案D6.(2020湘赣皖十五校第二次联考,15)已知直线x+2y-3=0与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,且线段AB的中点在直线3x-4y答案27.(2020浙江温州中学3月模拟,19)已知直线l:y=kx+m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)恰有一个公共点P,l与圆x2+y2=a2(1)求k与m的关系式;(2)点Q与点P关于坐标原点O对称.当k=-12时,△QAB的面积取到最大值a2,求椭圆的离心率考法三直线与椭圆位置关系问题的解法8.(多选题)(2020山东潍坊6月模拟,11)已知椭圆C:x2a+y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0D.若PF1=F1Q,则椭圆C答案ACD9.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.[教师专用题组]【综合集训】考法一与椭圆定义相关的问题1.(2018山东青岛城阳期末,7)若椭圆x25+y2a=1的焦距为4,则实数aA.1B.21C.4D.1或9答案D当焦点在x轴上时,2=5-a,解得当焦点在y轴上时,2=a-5,解得a=9.故选2.(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为12,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若△F1A.x24+y23=1B.C.x22+y2=1D.x2答案A由椭圆的定义可知,△F1AB的周长为4a,∴4a=8,a=2,又离心率为12,即ca=12,∴c=1,则故椭圆方程为x24+y23.(2019江西五校协作体4月联考,11)已知点F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的动点,动点Q满足F1P·PQ=|F1P||PQ|且|PQ|=|PF2|,其中F1P≠0,PQA.x225+y29=1B.xC.x225+y216=1D.x答案A由F1P·PQ=|F1P||PQ|知点F1,P,Q共线,且F1P与PQ同向.由椭圆的定义知|F1P|+|PF2|=2a,又|PF2|=|PQ|,所以|F1P|+|PQ|=|F1Q|=2a,所以动点Q在以F1为圆心,2a为半径的圆上.由平面几何知识知当点P位于左顶点时,|PQ|取得最大值a+c,当点P位于右顶点时,|PQ|取得最小值a-c,所以a+c=9,考法二椭圆的离心率问题的求法1.(2018豫南九校3月联考,9)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为 ()A.55B.105C.25答案A不妨设椭圆方程为x2a2+y与直线l的方程联立得x消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0,由题意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,解得a≥5,所以e=ca=1a≤所以e的最大值为55.故选A2.(2019四川第一次诊断,6)设椭圆x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点相同,离心率为12,则A.23-4B.4-33C.43-8D.8-43答案A抛物线x2=8y的焦点为(0,2),∴椭圆的焦点在y轴上,由离心率e=12,可得2n=12,则n=4,∴m=23,故m-n=23-4.3.(2018湖南湘东五校联考,11)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120A.3-12C.12,1答案B由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·cos∠PF1F2,即|PF2|=22c·1-cos∠PF1F2,所以a=|PF1|+|PF2|2=c+2c·1-cos∠PF1F2,又60°<∠PF1F2<120°,∴-12<cos∠PF1F2<12,思路分析首先根据余弦定理求出等腰三角形底边PF2的长,进而根据椭圆的定义可得椭圆的长半轴长a=c+2c·1-cos∠PF1F2,结合60°<∠PF1F2<120°可得出4.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是 ()A.15B.25C.45答案Cx2+y2=4与x轴的交点为(±2,0),抛物线y2=10x的焦点为52即椭圆的焦点为(±2,0),椭圆的一个顶点为52则椭圆中c=2,a=52所以椭圆的离心率e=ca=252=455.(2020浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点,P为C上一点,O为坐标原点,若△POF为等边三角形答案3-1解析本题考查椭圆的概念其性质;考查学生数学运算的能力和数形结合的思想;考查了数学运算的核心素养.不妨令F为椭圆C的右焦点,P为椭圆C在第一象限内的点,由题意可知Pc2,3c2,即e2+3e21-e2=4⇒e2-4=-23考法三直线与椭圆位置关系问题的解法1.(2019浙江宁波期末,9)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e的取值范围为13,12,直线y=-x+1交椭圆于点M、N,A.[7,22]B.[6,7]C.[5,6]D.[22,3]答案C设M(x1,y1),N(x2,y2),由x2a2+y2b2=1,y=-x+1得(a2+b2)则x1+x2=2a2a2+b2,x由OM⊥ON得OM·ON=0,即x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,②将①代入②,化简得b2=a2又因为e=ca=1-b2a所以52≤a≤62⇒5≤2a≤6,故选小题巧解根据椭圆的性质,原点O到直线y=-x+1的距离d满足1d2=1a2+1b2,又d=1又e2=c2a2=1-b2a2=1-12a2-1,e2∈13,12,所以4a2知识拓展已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两点M,N满足OM⊥ON,且原点O到直线MN的距离为d,则椭圆有如下性质:证明:设M(r1cosθ,r1sinθ),Nr2cosθ+π2,r2sinθ+将两点坐标分别代入椭圆方程得r12cos2θa2+r12sin2θb2=1,r22sin根据几何意义可知,1r12+1r22.如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P7,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7答案35解析设椭圆的右焦点为F',由椭圆的对称性知,|P1F|=|P7F'|,|P2F|=|P6F'|,|P3F|=|P5F'|,∴原式=(|P7F|+|P7F'|)+(|P6F|+|P6F'|)+(|P5F|+|P5F'|)+|P4F|=7a=35.疑难突破椭圆中经常使用对称性转化线段,再搭配定义解决问题.3.