《空间向量基本定理》示范课教学设计【高中数学人教】

《空间向量基本定理》教学设计【类比猜想】问题1：你还记得平面向量基本定理的内容吗？答案：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．问题2：类比平面向量基本定理，空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？答案：能．追问1：为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？答案：由向量共面的充要条件可知，至少需要三个向量．追问2：任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？答案：当三个向量共面时无法表示与其不共面的向量，因而三个基向量必须要求不共面.【操作确认】问题3：给定三个不共面的向量，是否可以通过线性运算表示空间中的任意向量呢？答案：可以.追问1：给定三个两两垂直的向量i，j，k，显然它们是不共面的，对于给定的空间向量p，如何用向量i，j，k的线性组合来表示向量p呢？答案：由于向量具有可平移性，我们令表示向量i，j，k的有向线段都以点O作为起点.记以O为起点的向量i，j所确定的平面为α.作等于向量p，过点P作平面α的垂线PQ，垂足为Q，就是向量p在平面α内的投影向量，根据向量加法的三角形法则，=+，其中与向量i和向量j共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得=xi+yj；而与向量k共线，由向量共线的充要条件可知，存在唯一的实数z，使得=zk.从而，=xi+yj+zk.这样向量p就用向量i，j，k的线性运算表示了，而且这种表示方式是唯一的.定义：我们称xi，yj，zk分别为向量p在向量i，j，k上的分向量．我们也可以进一步将图形补成一个长方体，将z倍的向量k平移至以O为起点，则三个分向量分别对应从同一个顶点O出发的长方体的三条棱，向量p对应这个长方体从顶点O出发的一条体对角线．追问2：空间中的任意向量都可以用向量i，j，k的线性组合表示吗？答案：GGB软件验证任意存在唯一性．追问3：当给定的三个不共面向量a，b，c不两两垂直时，对于给定的空间向量p，如何用向量i，j，k的线性组合来表示向量p呢？答案：由向量的可平移性，我们以O为起点，作=p，=a，=b，=c，记平面OAB为平面α.过点P作直线OC的平行线，交平面α于点Q；连接OQ，根据向量加法的三角形法则，=+，其中与向量a，向量b共面，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得=xa+yb；而与向量c是共线的，由空间向量共线的充要条件可知，存在唯一的实数z，使得=zc.从而，=xa+yb+zc.这样，就把向量p表示成了不共面向量a，b，c的线性组合，这种表示方式也是唯一的．我们也可以进一步将图形补成一个平行六面体，将z倍的向量c平移至以O为起点，则三个分向量分别对应从同一个顶点O出发的平行六面体的三条棱，向量p对应这个平行六面体从顶点O出发的一条体对角线．追问４：空间中的任意向量都可以用向量a，b，c的线性组合表示吗？答案：GGB软件验证任意存在唯一性．【形成定理】问题4：你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？答案：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．那么，所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．定义：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors)．问题5：空间的基底有多少个，需要满足什么条件？答案：空间的基底有无穷多个．{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面．定义：特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．定义：像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【总结提升】问题6：平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？答案：向量共线充要条件平面向量基本定理空间向量基本定理向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使