2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）模拟测试卷(六)（解析版）

2022年广东高中学业水平合格性考试(数学)

模拟测试卷(六)

(时间：90分钟满分：150分)

一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足z=l+2i,则万在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

D因为z=l+2i,所以0=1一方，

则或在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),位于第四象限.

故选D.

2.已知集合4={-3,-1,0,2,3,4},CRB={X|X<0或X>3},

则403=()

A.0B.{-3,-1,0,4)

C.{2,3}D.{0,2,3}

C因为或%>3},则集合3={x[0<xW3},

又集合4={-3,-1,0,2,3,4},则ADb={2,3}.

故选C.

3.函数的定义域为()

A.(0,2]B.(0,2)

C.(0,1)U(1,2)D.(0,1)U(1,2]

D由于要使得原式有意义，则根据分式分母不为零和偶次根式

x—1#=0

根号下是非负数，以及对数的真数要大于零可知，要满足，2—工，0,

、x>0

故解得x的取值范围是(0,1)U(1,2],故选D.

4.如图，正六边形ABC。加'中，放+6+防=()

A.5B.^E

C.AbD.次

D正六边形ABCDEF中，

因为曲=万方，丽=建；

所以旗+曲+丽=旗+丘+仍=油+旗+油=次.

故选D.

5.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

9189909294879396918589938898

93

则这组数据的60%分位数、90%分位数分别为()

A.92,96B.93,96

C.92.5,95D.92.5,96

D将数据从小到大依次排列如下：

85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,

98,

而15X60%=9,15X90%=13.5,

故这组数据的60%分位数是:X(92+93)=92.5,

这组数据的90%分位数是96,

故选D.

6.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形

旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）

A.271B.7T

C.2D.1

A边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几

何体为圆柱，

则所得几何体的侧面积为：1X27TX1=27T.

故选A.

7.已知，£（0,5且〃的终边与单位圆交点的纵坐标为;，则

411（20+目的值为（）

77

A・9B・一9

「建_空

J9un・9

A因为局0,g，且〃的终边与单位圆交点的纵坐标为;，

所以sinO=y

所以sin（2e+1）=cos20=1—2sin2^=1—

故选A.

8.平面向量a与b的夹角为60。,|0=2,网=1,则|“+2。|=（）

A.5B.12

C.4D.2小

D由题意可得|a+2"=\!(a+2Z>)2=y]a2+4b2+4a'b=

,2+4加+4⑷网cos60。={22+4Xl2+4X2XlX；=25.

故选D.

9.在△ABC中，已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形

状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

C因为sin2A4-2sin2B=sin2C,

所以根据正弦定理得，«24-2Z>2=C2,

所以a2-\~b2—c2=~b2<0,

所以cosCVO,且C£(0,rt),

所以C需，J,

所以。为钝角，△A3C为钝角三角形.

故选C.

10.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一

个球的球面上，则该圆柱的体积为()

c37r

A.nB.7

n_n

C,2D,4

B因为圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一

个球的球面上，

所以该圆柱底面圆周半径r=\M-⑸=学,

所以该圆柱的体积：V=S/i=7rX^2Xl=y.

故选B.

11.我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡

八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人

若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽出

人数为（）

A.60B.70

C.80D.90

A由题意知，抽样比为&100+9OOO+54000=公;

所以北乡应抽8100Xjr=180,

南乡应抽5400X点=120,

所以180-120=60,

即北乡比南乡多抽60人.

故选A.

12.在△A3C中，有正弦定理：告=&=17=定值，这

sinAsinBsinC

个定值就是△ABC的外接圆的直径.如图所示，△£）£不中，已知。£=

DF,点M在直线Eb上从左到右运动（点M不与E、b重合），对于

M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMb的外接圆面积

的比值为九那么（）

A.幺先变小再变大

B.仅当M为线段£户的中点时，7取得最大值

C.2先变大再变小

D.2是一个定值

A设△OEM的外接圆半径为Ri,ADMF的外接圆半径为尺,

则由题意，黑=人

点M在直线上从左到右运动（点M不与E、尸重合），

对于M的每一个位置，由正弦定理可得品=；X.啾皿,&=

2sinNDME'

IDF

2sinNOW

又DE=DF,sinNDME=sinZDMF,

可得用=电,

可得2=1.

故选D.

13.函数/（x）="a—l〉inx的部分图象大致形状是（）

(2e*+2-2)心23(2、

11+e，T尸11x=-12-rTJsinx=~\l-^^nx=

^^-ijsinx^x),

所以Ax)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除选项B、D;

当x>0时，令人幻=11+^_1}加x=0可得，x=0或x=kit(k

£Z),

所以X>0时，两个相邻的零点为X=0和X=7t,

2(2)

_

当0<x<7t时，］+e*—1<0,sinx>0,/(x)=^_1_eX1sinx<0,

故排除选项A,

故选C.

14.已知函数/(x)是偶函数，且/(幻在［0,+8)上是增函数，若

f@=0,则不等式Alog4X)>0的解集为()

A.{x|x>2}B.lx0<x<|r

；；或j1ic

Cx0<x<x>2D.lx铲x<l或x>2

C依题意，不等式Ak>g4X)>oe川10g4M)>/日

又Ax)在［0,+8)上是增函数，所以|Iog4X|>|,

即IOg4X<-5或IOg4X>

故选c.

15.给出下列命题，其中错误的选项是()

A.非零向量。、方满足⑷=叫=心一口，则。与。+方的夹角为

30°

B.若(助+R)•(血一•=0,则△A3C为等腰三角形

C.若单位向量的。、方的夹角为120。，则当|2"+动|(x£R)取最

小值时，x=l

D.若以=(3,-4),南=(6,—3),0>C=(5~m,一3一机)，

NA5C为锐角，则实数，〃的取值范围是机〉一:

D对于A:非零向量“、分满足|3=步|=|°一加

令：次=4,油=瓦

则诙="+。，B\=a-b,

由于⑷=网=|。一"，

如图所示：

所以四边形04c3为菱形，且△AOB为等边三角形；

所以NAOB=60°,NAOC=30。，

则a与a+方的夹角为30。，故A正确.

对于B:由于(血+元>(3方一曲=0,

所以0方产=|四|2,

所以△ABC为等腰三角形，故B正确.

对于C:若单位向量的a、b的夹角为120°,则当|2a+动|(x£

R)取最小值时,

即\2a+xb\=-\/x2—2x+4=(x—1)2+3,

当x=l时，|2a+动|的最小值为由，故C正确;

对于D:0/L=(3,-4),0^=(6,—3),员7=(5一机，一3一机)，

茄=次一须=(3,-4)-(6,-3)=(—3,-1),

^C—^C-0^=(5-m,-3-m)一(6,-3)=(-1-in,-zw).

由于NA3C为锐角，

所以旗前＞0且放与血不同向,

3+4机＞0,

即$

13机手1+机,

31

则机＞一1且m=彳,故D不正确.

故选D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.

16.设a、6£R*,a+2A=3,贝(+"的最小值是______.

解析：由已知可得:+为如+2郎+3=扣++3*

b+2腐)=】+孚

当且仅当。=也力时，等号成立.

因此，+2的最小值为1+斗今

答案：1+乎

17.某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选.1班30人,

优秀率30%,2班35人，优秀率60%,三班35人，优秀率40%,

则全年级优秀率为.

解析：某学校高一年级共有三个班，按优秀率进行评选：

1班30人，优秀率30%,2班35人，优秀率60%,三班35人，

优秀率40%,

30X30%+35X60%+35X40%

则全年级优秀率为:=44%.

30+35+35

答案：44%

18.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率兀，

理论上能把n的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,

将元的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”

的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，3内=.

解析：单位圆内接正六边形的面积，

可以看成是6个边长为1的等边三角形面积的和，

故S内=6乂坐义12=乎.

答案：

19.已知函数八")=*2+4,g(x)=ax,当4]时，Ax)的图

象总在g(x)图象的上方，则a的取值范围为.

4

解析：由题意可得Vx£[l,4],则*2+4>"，从而有

由基本不等式可得x+：22#|=4,当且仅当x=2时，等号

成立，所以a<4.

因此实数。的取值范围是(一8,4).

答案：(一8,4)

三'解答题：本大题共3小题，第20小题12分,第21题12

分，第22题12分，共36分.解答须写出文字说明、证明过程和演

算步骤.

20.在△A3C中，三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,

A7

机=(4,—1),n=(cos2cos2A),且

⑴求角A的大小；

(2)若”=小，求3c面积的最大值.

解：(1)由机=(4,—1),n=fcos2j,cos2A\,

,A1+cosA..,

zn*n=4cos2y-cos2A=4-------------(2cosA_1)=_2cosA-r

2cos4+3,

77

又因为所以一2cos2A+2cosA+3=3,

解得cosA=1.

jr

因为0<4<兀，所以4=亍

(2)在△A3。中，a2=Z>2+c2_2bccosA,且a=小,

所以(由)2=。2+。2—2。。］=。2+。2—Ac.

因为〃+。222儿，所以322，c一儿，所以bcW3,

所以Szubc=3>csin

等号当且仅当力=c=小时成立.

所以aABC面积的最大值为手.

21.某机械生产厂家每生产产品x(百台),其总成本为G(x)(万元),

其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总

成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(万元)满足R(x)=

L,6假定生产的产品都能卖掉，请完成下列

111(x>5)，

问题：

(1)写出利润函数y=/U)的解析式；

(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？

解：(1)由题意得G(x)=2.8+x,所以f(x)=R(x)-G(x)=

1-0.4x2+3.2x—2.8(0WxW5),

[8.2—x(x>5),

(2)当x>5时，因为函数式幻递减，所以｛x)V_A5)=3.2(万元).

当0Wx<5时，函数八*)=一0.4(工一4)2+3.6,

当x=4时，Ax)有最大值为3.6(万元).

所以当工厂生产400台时，可使盈利最大为3.6万元.

22.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AD_L平