2022年高考数学强基计划讲义专题5：函数与方程【解析版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题5函数与方程

一、真题特点分析：

1.［2021年北大13］方程x2-2肛+3y2_4x+5=0的整数解的组数为

答案：2

2.【2020年清华29】已知函数f(x)=e，+a(x-l)+b在区间［1,3］上存在零

点，则标+廿的最小值为()

A.-B.eC.—D.e*2

22

参考答案：D.

解析：设函数/(*)的零点为(,则叩-l)+b=Y.

点(儡8)在直线

表示2与到原点的距离,因而病科

和一丁+1

构造函数KK3.求导数可得，门产―：3)

「-"+2(广-2/+2)

可得g(,)在区间［L3］递增.因而/的最小值为g(1)=/.

3【2020武大2】已知方程2，sinx=l,则下列判断:

(1)方程没有正数解；

(2)方程有数多个解；

(3)方程有一个正数解；

(4)方程的实根小于1.

其中错误的判断有.

答案：A根据对称性可选A

二、知识要点拓展

一,一元二次方程OX24-&X4-C=0(«W0)有关公式

1.一元二次方程的根：x=—""j竺

2a

2.根与系数的关系：x,+x9,玉丹=£(韦达定理)

aa

3.判别式：△=)2-4ac.

二.函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题

1.函数不等式的恒成立问题：

(1)不等式在集合。上恒成立。在集合。上/(x)min>m.

(2)不等式/(X)4〃在集合。上恒成立=在集合。上/(X)max

2,函数不等式的能成立问题：

(1)在集合。上存在实数x使不等式/(x)N/n成立=在集合。上

/(X)max之m•

(2)在集合。上存在实数X使不等式成立=在集合。上/(XU”

3.函数不等式的恰成立问题：

不等式在集合。上恰成立o该不等式的解集为0.

三.几个常见的函数方程

1.正比例函数/(x)=cx,具有性质：f(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

2.指数函数/(幻=/，具有性质：/(x+y)=/(I)=a#0.

3.对数函数/(x)=logax，具有性质：

/(盯)=/(x)+=1(。>0,a#1).

方程的根与函数的零点：

1.对于函数y=/(x),我们把使/(x)=0的实数叫做函数丁=/(x)的零点.

2.方程/(x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点=函数y=/(x)

有零点

3.零点存在定理：设函数/(x)在闭区间［a,句上连续，且/(a>/S)<(),那么在

开区间(a,Z?)内至少存在一点c,使/(c)=0。

»函数零点的理解：

(1)函数y=/(x)的零点、方程/(x)=0的根、函数y=/(x)的图像与x轴交点

的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程/(x)=0根的个数就是

函数y=fW的零点的个数，亦即函数丁=/(x)的图像与x轴交点的个数

(2)函数的零点不是点，而是函数函数y=/(x)的图像与x轴交点的横坐标，

即零点是一个实数。

(3)若函数/(幻在区间出,以上的图象是一条连续的曲线，则/⑷./0)<0是

/(x)在区间3加内有零点的充分不必要条件。

二.高次方程韦达定理

①三次方程韦达定理

设三次方程以3+乐2+CX+4=0的三个根为西,々,工3>那么

b

Xj+x2+X3=—

a

XjX2+x,x3+x9x3=—,

a

d

xf=——

a

②如果一元n次多项式/(X)=4卢"之+…+ClyX+%的根为%,％2,…，X”

那么

a.

%1+九2+・••+=-----------

a„

*

中2+中3+…+X",=a

4

无声2尤3+XWZ+•••+与_2%,1%=--

%

玉々工3…x“=(T)”包

以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元n次方程可直接求

方程的根。

3.整系数多项式

设/(X)GK[X],£GC,若〃e)=0,则称a为/(X)的根(或零点)；又若x—a是/(%)

的左重因式，则称a为/(x)的k重根，当左=1时，称a为的单根。

代数基本定理：任意一个次数不小于1的多项式至少有一个复数根。

根的个数定理：任意一个〃(〃21)次多项式的复数根的个数(依重数累加)恰有〃个，依

n

次定理可知任何一个f(x)=anx+---+a^C[x]可以分解为

J.(x)=a“(x—大户…(x—4广，其中玉•马…小，为两两不同的复数，,且

这是多项式/(x)在复数范围内的标准分解式。

Z=1

虚根成对定理：设/(引6火[426+沅为/(力的复根，即/(z)=0,则

7(I)=/(z)=0,于是W=a-万也是/(x)的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出

现。

实系数多项式分解定理：设f(x)=anx"+---+aneR[x],则/(x)可分解为

/'(X)=玉)…(x—+2/j]X+q)...(x2+2/?3+£),其中

X1,…,X,"GR,hj,cieR,且b：<4c,.,l<i<N,m+2l=n0

整系数多项式的有理根：设/(x)=。/〃+…+4wZ[x],£(p，4sz,pq手O,(p,q)=1)

q

是的有理根，则并且可写/(x)=x-£]g(x)=("-p)〃(x),其

中g,〃eZ[x]。

依上述定理可知，若〃X)GZ[X],/(x)的首项系数为1,则/(x)的有理根都是整数根。

三、典例精讲

例1.(复旦)设三次方程V+px+quO的3个根互异，且可成等比数列，则它

们的公比是o

(A)--+—i(B)-±—/(C)—±-z(D)

222222

百上1.

---±—z

22

>分析与解答：

设这三个根为％,4/,则由三次方程根的韦达定理有

=0，/=_g±

乌故选Ao

&+q'无1+q%—0=>]+g'+gTz

例2.(北大)求Jx+11—6VT^+Jx+27—1OV?77=1的实数根的个数。

►分析与解答：原方程即________________________

7（VX+2）2-6VX+2+9+7（VX+2）2-10VX+2+25=1。

|Vx+2-3|+|77+2-51=1o令Jx+2=/n|r-3|+|f-5|=l。由于

|r-3|+|r-5|>

|(r-3)-(r-5)|=2o所以原方程无实根。

例3.(复旦)设£(-co,+8),bwO,。,/?,/是三次方程了3+以+匕=。的3

个根，则总以工+工,工+!」+工为根的三次方程是()

a/3/3yya

(A)a2^+2abx2+b2x-a=0(B)b2x3+2abx2+a2x-b=0

(C)crx14-lakrx1+bx-a=Q(D)b2x3+2a2hx2+ox-Z?=0

»分析与解答：由三次方程的韦达定理：

a+£+/=0,

<a0+ay+%=a.

apy=-b.

一十一—+——十—+—

a[3BY1/aa/3y

对选项逐个用韦达定理检验，只有选项B适合。

例4.（清华）请证明：方程1+工+土+与+…+土=0在〃为偶数的时候没有实

2!3!〃！

数根，在“为奇数的时候，有且仅有一个实数根。

►分析与解答：

用归纳法证明：〃为奇数时，£,（X）单调递增，且值域为（-8,+8）；〃为偶数时，

,r2r3x"

力（x）>0恒成立。这里/；,（x）=l+x+—+—+.­.+—»

2!3!n\

x2炉-1

对力（幻求导有/'„（X）=1+X+—+.•-+-~—=/,.1（%）O

2!（n-1）!

〃=1时，力（x）=l+x,它在R上单调递增，且值域为R。

2

y111

枕=2时，于2（X）=1+X+=1+X4--%2=—（X+1）~+—>0o

故〃=1,2时结论成立。

设拉=左一1时结论成立。则〃=攵时，

fYk

①当女为偶数时，£（x）=i+x+L+・・・+j,=因为Z—1为

奇数，由归纳假设力T（X）在H上单调递增，且值域为R。故方程AT（X）=0有且

仅有一个实根，设为尤0，当x<Xo时，AT（X）<0；当x>Xo时，£T（X）>0,所

以对/l（x）而言，只有尸"（玉））=。，且当x<x（）时，/7.（x）<0,当X>Xo时，

400。

所以天是AU）的最小值，于是

A（xo）=1+%0+^7+•••+-T-=A-1（^0）+~T7=~77>0（因为左为偶数）。

2!k\k\k\

fk（x）>fk（x0）>Oo即〃为偶数时力（x）>0恒成立。

②女为奇数时，―1为偶数，由归纳假设加（x）>0,所以/危）=九（幻>0,

所以fk（x）在R上单调递增。再注意到人为奇数时，多项式

2k

xx

f（X）=1+XH-----F•"H-----。当X—>-+CO时，f（X）—>+8；当X->—8时,于卜（X）—>一8°

k2!k\k

即当〃为奇数时，力（X）单调递增，且值域为（-8,+8）。

综上，当〃为偶数时，力（x）>0恒成立，故力（x）=0没有实数根；〃为奇数

时，工,（幻单调递增，且值域为（-8,+00）,故<（X）=0有且只有一个实数根。

例5.(复旦)方程3k一/=0的实根是()

(A)不存在(B)有一个(C)有两个(D)有三个

,分析与解答：

此方程属于超越方程，没有精确解，只能用数形结合法来解决，画出y=3d与

y=，的函数图象草图，显然方程有且只有一个小于0的解，那么有多少个大于

0的解呢？许多同学误认为只有一个。事实上，认真分析后就可以发现有两个大

于0的解。理由如下：令f(x)=3x2-ex,则

/(0)=-l<0,/(l)=3-e>0,/(5)=75-^5<0,由于/(0)./(1)<0,/(1)-/(5)<0,

由零值定理，知开区间(()』)和(1,5)内各有一根。故方程有两正根一负根，本题

应选D。

练习1：函数y=logix与它的反函数的交点个数为()

16

(B)1个(B)2个(C)3个(D)4个

»答案C

»分析与解答：§，；)、,，；)、还有一个交点在直线y=x上，共3个。

练习2：关于工的方程(炉―1『一卜2一』+%=0,给出下列四个命题：

①存在实数%,使得方程恰有2个不同的实根

②存在实数%,使得方程恰有4个不同的实根

③存在实数4，使得方程恰有5个不同的实根

④存在实数%,使得方程恰有8个不同的实根

其中假命题的个数是()

AOB1C2D3

〉分析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一

题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.

►解答：.=,2一1|

方法一：根据题意可令卜2T=/«“)，则方程化为产一1+左=0,(*)

作出函数r=N一”的图象，结合函数的图象可知：①当7=0或A1时，原方程有

两个不等的根，②当0V/V1时，原方程有4个根，③当「=1时，原方程有3个

根.

(1)当攵=-2时，方程(*)有一个正根f=2,相应的原方程的解有2个；

(2)当k=,时，方程(*)有两个相等正根『=」，相应的原方程的解有4个；

42

(3)当左=0时，此时方程(*)有两个不等根f=()或，=1,故此时原方程有5

个根；

(4)当OVZvL时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均

4

小于1,故相应的满足方程,2_1卜/的解有8个，故选A./(X)=(X2-1)2-|?-1|

方法二：由函数/。)=(炉-1,_卜2T的图象(如下图)及动直线g0)=k可得

出答案为A.

3.设产一1卜r_/+%=(),方程的判别式为△=1—4Z,由左的

取值依据△>()、△=()、△<()从而得出解的个数.

，/、\x-l)(x+l)(x-V2)(x+V2)(x<-1nJU>1)

/(X)=

x2(x-l)(x+1)(-1<X<1)

4.设函数/(尤)=卜1)("+1)*一0)0+扬如21),利用

x2(x_l)(x+1)(-1<X<1)

数轴标根法得出函数与X轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画

出函数的图象，从而得出答案A.

a点评：方法一、方法二、方法四都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有

别，方法二利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数

学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；方法三利用方程的根的个数问题

去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严

谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.

例6.(交大)设/(幻=(1+砂/+/-(3a+2)V一4a,试证明对任意实数a：

(1)方程/(x)=0总有相同的实根；

(2)存在尤0,恒有/(XO)HO。

-分析与解答：

本题若看成关于x的四次多项式，则很难因式分解，若展开重新整理成关于a的

一次多项式：

(x4-3x2-4)«+(x4+x3-2x2)=(x2-4)(x2+1)-a+x2(x+2)(x-1)

=(x+2)(x-2)(x2+1)«+x2(x+2)(x-1)=(x+2)[(x-2)(x2+1)<7+X2(X-1)]

显然/(x)=0总有相同实根x=—2；当与=2时，/(2)=16工0。

注：本题从另一个角度，转换参数，将/(x)看成一个关于a的一次函数，值得回

昧！

例7.(复旦)在实数范围内求方程必加M+打i=3的实数根。

»分析与解答：

解法一：显然，移项后两边四次方是不可取的，不妨先作一个换元：令

U-A/10+X,V-yjl—x,贝!]

u+v=3

,u4+v4=17°

M4+v4=(M2+v2)2-2U2V2=[(w+v)2-2MV]2-2U2V2=(9-2wv)2-2M2V2

=81-36MV+2WV=17,KW(wv)2-18MV+32=0,解得：〃v=2或16(舍去)。

_、，、IM+V=3___[M=1„IM=2,,„

联立4,可得：或彳故x=6或-9。

uv=2v=2v=l

____3

“10+x=—+d

解法二：由师工+行7=2x3,联想到等差中项的概念。可设,2

2.___a

5H—d

2

则

10+1=(、3+1)4=屋+4,3\/+6.弓3)2/+4.(3$31+(3$4

22222①

7-x=(——I),=/_4・"+6・(一)2/_4.(_)3"㈠4②

22222

Q1

①+②得：17=2/+2712+J,即16d4+216/-55=0,(4/-1)(4/+55)=0,

8

解得：d=±—,

2

从而x=6或-9。

例8.(交大)已知函数/(x)=ar2+H+c(aH0),且/(x)=x没有实数根。问：

/(/(x))=x是否有实数根？并证明你的结论。

>分析与解答：此问题的解法较多，提供以下三种解法。

解法一：先介绍一个引理。

引理：若理={x"(x)=x},N={x"(/(x))=x},则M屋N。

引理的证明：V/eM,有/(%)=/，故/(/(入0))=N/GN,由毛的

任意性知M=N。

回到原题。/(/(x))=x即4"x)+/(x)+c=x,这是一个4次方程，由上述引理

知，/(/(x))-x一定可以分解出/(x)-x这样一个因式。

af2(x)+hf(x)+c-x=O=>af2(x)+bf(x)+(ax2+hx+c)-ax2-bx-x-0,即

a(f2(x)-x2)+h(f(x)-x)+f(x)-x=()

=>a(/(x)+x)(/(x)-x)+b(f(x)-x)+/(x)-x=。

=>(/(x)-x)[a(f(x)+x)+/>+1]=0

由于/(x)-x=()无实根。下面只要求出方程a(/(x)+%)+/?+1=()是否有实根即可。

a(f(x)+x)+人+1=a2x2+{ab+a)x+ac+h+i,其判另！]式

222222

A=(ah+a)-4a(ac+b+l)=a(b-2b+l-4ac-4)=«[(h-l)-4ac-4]o

又/(x)-x=O无实根，故△，=S-l)2-4ac<0,由此可知AcO。所以方程

a(/(x)+x)+b+l=O亦无实根。综上，/(/(x))=x也无实根。

解法二：数形结合，图像法。若。〉0,由于/(幻=彳无实根，则对任意实数》,

/(X)>X,从而

/(/(x))>/(x)>x,故/(/(x))=x无实根(如图4-1)；

^(x)=ax2+bx+c(a>0)

y=x

XX

-f(50=ax2+bx+c(a<0)

图4一1图

4~2

同理，若”0,则对任意实数X,f(x)<X,/(/(%))<f(x)<X,/(/(%))=X

也无实根(如图4-2)o

解法三：反证法。若存在/(/(>0))=/，令/(%))=/,则/⑺=%,即0,而)是

y=/(x)图像上的点；又/DG,即(事,£)也是y=/(x)图像上的点，显然这两

点不重合。且这两点关于直线y=x对称。而y=/(x)=ox2+bx+c与y=x必有

交点，从而/(x)=x必有实数解，矛盾！

注：从解法三可以看出，此题的结论不只针对二次函数/(x)是对的，对一般的

连续函数都有一样的结论。

例9.(交大)当/(x)=x时，x的取值称为不动点。证明：若/(/(x))有唯一不

动点,则/(x)也有唯一不动点。

»分析与解答：

不妨设尤0是/(/(x))的唯一不动点，即/(/(入0))=/。令/(/)=，，则/«)=%,

那么，/(/(?))=/(x0),而“Xo)=f,故/(/«))=/,这说明f也是/(/⑴)的不

动点。又/(/(X))只有唯一不动点知，x0=to从而”)=1,这说明f也是/(X)的

不动点，存在性得证。

下证唯一性：若/(X)还有另一个不动点〃，即/«')=，(〃工力，则

/(/(，'))=/(〃)=，'，这说明/(/(X))还有另一个不动点〃，与题设矛盾！

注：利用不动点原理可以解决某些问题，比如某类递推数列求通项问题，不动点

问题也是自主招生考试中的热点问题之一。

四、重点总结

1.掌握判断函数零点的常用方法：方程法，图像法，定理法。注意在给定区间内函数零点

个数可能大于1个。

2.对于解无理方程，需要注意利用配方法,换元法,倒数法以及根据函数单调性去解方程。

3.关于三次方程或者高次方程，巧妙利用韦达定理，不同方程可以利用换元将根转化，便

于解方程。

五、强化训练

(A组)

1.方程x+=4的实数解为

【解析】利用换元思想，设yx+->O^x=y2--代入原方程

44

I=4(y>0)ny=|nJx+：=|nx=2

y2--+=4=”

-4V4

Jx+y—3+Ix+——3

2.方程组《7Xy共有组实数解。

y2+2xy+l-8y-0

【解析】由Jx+y—3+Jx+，=3得y=0,且可以变形为（x+y—3）(1)

+X4--=5,令

y)

w+v=3〃=1u=2[x=5

〃=Jx+y—3,u=Jx+—,则=><或<，进一步求得《

22

VVw+v=5v=2v=1〔y=T

x=3x=4+V10=4-Vio

X一所以方程组共有4组实数解。

y=ly=3-V10y=3+V10

3.已知方程2jl？-（2+4班）d+（4+班）X—1=0,其中两个a力满足条件,+L=4,

ab

则此方程的根为。

【解析】/（X）=2A/3X3-（2+4A/3）%2+（4+V3）x-l,则方程/（g）=0的根为原方程

各根的倒数，即方程V-（4+6卜2+（2+46卜一2豆=0有二根a,£满足条件

。+£=4。设其另一根为/,由根与系数的关系得a+/7+7=4+G，3/=26。由

a+6—4

此得7=6且，“o又由根与系数的关系知生尸为方程产一4，+2=0的根，解之

ap=2

得a,4的值为2土血。故原方程的根为J=,—^=,'7=°

V32+V22-V2

4.求一切实数P,使得三次方程5d—5（P+l）f+（71P-l）x+l=66P的三个根均为自

然数。

【解析】因为x=l为原方程的根，原问题等价于5/一5&+66P-1=0*的两个根均

u+v=P

为自然数。设〃,u是方程*的两个根，则〈\,、，消去参数P,得

»v=-(66P-l)

66"16643515“=66+1909。显然

5MV=66M+66V-1。u=-----=---1---------

5v-6655(5v-66)5v-66

5〃-66>0,5a-66是19x229的模5同余于4的正因子，即5吁66=19或229,即

«=59〃=17

或1,因此，P-u+v-16

v=17v=59

5.解方程：一2x+*4」+l==*T-

X2+1+^(X2+1)2+1

2

构造函数：/(x)=log2+\/x+l^+X

所以：,/(x)=/(x2+l)

易得〃x)是奇函数，且是R上的增函数，

所以：2x=d+i

解得：x=l

经检验，x=l为原方程的根。

此题较繁琐，既有无理式，又有指数式，但解题关键在于转化为对数方程的过程，构造函数

/(X)=10g2(x+Jx2+1)+x是关键。

总结：此题关键在于等式右端的处理，我们需要将自变量从指数位置上“搬下来”，所以两

边取对数，转化为对数方程，然后利用函数的单调性，转化为整式方程。

6.试求多项式/(x)=24x3+26f+9x+l①的有理根

【解析】利用换元法，令^=」，代入①得

X

11、

24-+261-+9-+1

6y)yjy)

现分析函数g(y)

g(N+9y2+26y+24

的有理根，得到g(y)没有正根。利用韦达定理可得：丁=-2,-3,-4是其全部有理根。所

以/(X)的有理根为—g,—；,—；。

7.已知a*,c为方程的根，则一二+―二+―二的值为

(«-1)(I)(3)

【解析】X3-7X+7=(X-1)3+3(X-1)2-4(X-1)+1O故方程Y+3/-4》+1=0的根

为。一1力一Lc-L因此方程元3—4/+3x+l=0的」—,」一,」一。运用此方程经简单

a-1b-1c-1

运算可得二二+尸二+广==42—2x3=10

(。-1)一。-1)一(。-1)一

8.解方程：(x+gyos+J^+Zx+gnO。

［解析】原方程化为(X+8)2g+V附+X+8+X=0,即(x+8)2°°|+X+8=(-x)2001+(-x),

构造函数f(x)=(x)200,+(x),原方程等价于/(x+8)=f(-x)o而依据函数的单调性，可

知/(x)是R上的单调递增函数，于是又x+8=—x,x=T为原方程的解。

(B组)

1.已知多项式/(%)=/+%3+/一4x—20的四个根中，有两个根的绝对值相等，符号相

反，试求“X)的有理数根。

【解析】设的四个根为a,-。4,7,以—x代x既得

g(x)=x4—x3+x2+4x—20

8(%)的根一々,£,一力,-/。于是/(x),g(x)有公共根±c。

因.f(x)-g(x)=2x(x2-4),

显然a=±2,再将4去除〃x)得

y(x)=x2+x+5

y(x)无实根，故多项式/(x)的有理根是±2。

2.在平面直角坐标系内，将适合x<y,国<3,|y|<3,且使关于t的方程

(V一y3/+(3x+y)产+1=()没有实数根的点*,历所成的集合记为$则由点集N

x-y

所成区域的面积为o

A81/4B83/4C81/5D83/5

【答案】C

【解析】令“=产，原方程化为(丁一,3)“2+(3%+,)〃+」_=o.①

A=(3x+»-4(x3-/)-----

x-y

=5x2+2xy-3>,2=(5x-3y)(x+y).

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

x<y,

x<y,|x|<3,

\x\<3,

或<|y|<3,

3