《抛物线及其标准方程（1）》示范课教学设计【高中数学人教】

《抛物线及其标准方程（1）》教学设计引入新课思考：通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k．当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆；当k>1时，点M的轨迹为双曲线．当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题．探索抛物线的概念问题1：如何画出平面内任意一点到定点F的距离及其到定直线l（不过定点）的距离？答案：取平面内任意一点M，连接MF，过M作MH⊥l于H，得到线段MF与MH．线段MF为点M到定点F的距离，线段MH为点M到定直线l的距离．追问1：如何取点M，才能使|MF|=|MH|？答案：从“等腰三角形三线合一”这一角度或者从“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一角度都可以得到结论,点M应为线段HF垂直平分线上的点．利用信息技术作图，并进行动态演示．F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M．拖动点H，点M随之运动．追问2：在演示过程中，随着点M的位置变化，是否存在不变的关系？点M的轨迹是什么形状呢？答案：MF和MH的大小随着点M的变化而变化，但始终有|MF|＝|MH|．点M的轨迹形状与二次函数的图象相似．我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（不过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．追问３：定义中的需要注意的要点有什么？答案：定义中的要点,一为抛物线的几何特征，二为“l不过点F”.若“点F在直线l上”，动点的轨迹是过点F且垂直于l的一条直线.抛物线标准方程的建立问题2：观察抛物线，我们应如何选择坐标系，能使所建立的抛物线方程更简单？答案：通过观察抛物线的形状，直观发现抛物线的对称性，确定x轴所在位置.而y轴（原点）所在位置，想到三种方案：方案（一）方案（二）方案（三）追问1：我们知道二次函数的图象就是抛物线，我们对二次函数的知识进行迁移，当二次函数的顶点在坐标系什么位置的时候，二次函数的解析式最简单？我们应该选择以上哪种方案呢？答案：二次函数的顶点在原点时，二次函数的解析式最简单，因而方案（三）的曲线方程应最简单.我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系xOy.设|KF|=p（p>0）,那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线是点的集合．因为所以．将上式两边平方并化简，得①追问2：抛物线上的点的坐标与方程①的解之间是否是一一对应关系？答案：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x，y)都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点(x，y)，到抛物线的焦点的距离和准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．因此曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．抛物线上的点的坐标与方程①的解之间是一一对应的关系．我们把方程①叫做抛物线的标准方程．它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线，p的几何意义是焦点到准线的距离．问题3：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程还会有哪些形式呢?请探究并完成表格．图形标准方程焦点坐标