2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第15讲-等腰三角形(含详解)

第13讲-等腰三角形

i.掌握等腰三角形的有关概念、性质以及等腰三角形“三线合一''性质的正确表述和运用；

2.”等角对等边”和“等边对等角，，的区别使用；灵活运用”等角对等边”及相关知识解决问题.

互动探索

1.等腰三角形的性质有哪些？

2.如何判定一个三角形是等腰三角形？

小练习:

1.等腰三角形的一个角是30。，它的顶角是°

2.等腰直角三角形的底边长是6厘米，那么它的高是厘米

3.等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角是30。，那么它的顶角是°

4.等腰三角形的两个角的度数之比是4：1,那么顶角的度数是。

5.如图，在448C中，AB=AC,。在AB上，ZA=ZDCB=36°,则图中共有个

等腰三角形

第5题图第6题图第8题图

6.如图，在zMBC中，ZC=90°,AC=BC,A。平分NC4B,DE1ABTE,且AB=6

厘米，则4。助的周长为厘米

7.等腰直角三角形底边上的中线长为4厘米，则三角形的面积等于平方厘米

8.如图，在中，已知AB=AC,。和E分别是AB和AC的中点，HDF//AC,

EF//AB,那么图中有个等腰三角形

9.如果等腰三角形的底边长为4厘米，顶角的外角为120。，那么它的周长为____厘米

10.如果在一个等腰三角形中，有两个角相差15。，则该等腰三角形的底角为°

11.已知等腰448。的周长为40,且AB的长是AC的2倍，则AB的长为

12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12厘米和9厘米两部分，则这个等

腰三角形的腰长

是厘米

:精讲提升

例1.如图，△ABC中，AB=AC,过点B作BE_LAC,垂足为£,过点作ED//BC交A8于

点D,若BD=DE,求NC的度数。

试一试：如图，已知AABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求/A的度数.

A

例2.如图，点8、E、。、C在一条直线上，AB=AC,AE^AD,证明：BE=CD。

A

DD

1.（2021.上海.七年级期中）等腰三角形的周长为16,且边长为整数，则腰与底边分别为

（）

A.5,6B.6,4

C.7,2D.以上三种情况都有可能

2.（2021•上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，A8C。是正方形，ACDE绕点、C

逆时针方向旋转90。后能与△CBF重合，那么△（：£：尸是（）

A..等腰三角形B.等边三角形

C..直角三角形D..等腰直角三角形

3.（2021•上海市上南中学南校七年级期末）下列说法正确的是（）

A.三角形的外角等于两个内角的和

B.等腰三角形的角平分线和中线重合

C.含60。的两个直角三角形全等

D.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

4.（2021.上海市风华初级中学七年级期末）已知等腰三角形ABC的周

长为18cm,BC-8cm,那么V4BC中一定有一条底边的长等于cm.

5.（2021•上海市徐汇中学七年级期末）如图，已知在中，AB=AC,AO是N84C

的平分线，如果△ABO的周长为12,△ABC的周长为14,那么的长是.

6.（2021・上海嘉定•七年级期末）在AABC中，ZA2C=48,点。在BC边上，且满足

NBAD=18,DC=AD,则ZCAD=度.

7.（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知AABC中，AC=BC,448=100。，

将△A3C绕着点B逆时针旋转，使点C落在A8边上的点。处，点A落在点E处，那么NAEO

的度数为度，

8.（2021・上海金山•七年级期末）在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样

的三角形我们称之为“黄金三角形如图，已知点A在NMON的边OM上，点B在射线ON

上，且NOAB=100。，以点A为端点作射线AD,交线段。8于点C（点C不与点0、点、B

重合），当△ABC为“黄金三角形"时，那么NOAC的度数等于一.

B

D

9.（2021•上海浦东新•七年级期中）已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角

形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2,则三角形的腰长是.

10.（2021•上海市培佳双语学校七年级期中）如图，△ABC中，AB=AC,Z1=Z2,BC=

6cm,那么8。的长cm.

11.（2021・上海奉贤•七年级期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=80°,ADLBC,

AD=AB,联结80并延长，交4c的延长线干点E,求N4DE的度数.

12.（2021・上海普陀•七年级期末）解答下列各题

（1）小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平

行线，如图1所示，小明的作图依据是：____________.

图2

(2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线.如图2,已知

直线。，点P为直线a外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线PO平行于直线亿以下

是小丽的作图方法：

①在直线。上取一点A,作直线PA(/M与直线a不垂直)；

②在AP的延长线上取一点B,以3为圆心54长为半径作弧，交直线a于点C；

③联结BC,以B为圆心3P长为半径作弧，交BC于点。，作直线尸£)

这样，就得到直线尸。//〃.你能说明PO〃a的理由吗？

13.(2019・上海•七年级期中)如图，在AABC中，AB=AC=8,BC=12,点D从B出发以每

秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个

单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE,设D、E两点运动时间为

秒.

⑴运动秒时，CD=3AE.

(2)运动多少秒时，△ABDg^DCE能成立，并说明理由；

(3)若AABD丝ADCE,/BAC=a，贝叱ADE=(用含a的式子表示).

BDC

课后作业

14.（2021•上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在A4?C中，43=AC,过点A作AD//BC,

若NBAQ=110。，则4MC的大小为（）

C.50°D.70°

15.（2020・上海嘉定•七年级期末）下列说法中，正确的是（）

A.腰对应相等的两个等腰三角形全等；B.等腰三角形角平分线与中线重合；

C.底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等；D.形状相同的两个三角形全等.

16.（2018•上海金山•七年级期末）如图，AABCmAAfD,点。在BC边上，BC//AE,

A.35°B.30C.25。D.20°

17.（2021.上海普陀.七年级期末）已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是15。，那么这

个等腰三角形顶角的度数是

18.（2021・上海市风华初级中学七年级期中）如图，在等腰三角形A8C中，AB=AC,BD

是4c边上的中线，已知AABC的周长是36,△A3。的周长比△38的周长多6,则AB的

长是.

A

BC

19.（2021•上海市市西初级中学七年级期末）如果等腰三角形的顶角为a,那么这个等腰三

角形一条腰上的高与底边的夹角为.

20.（2021•上海市徐汇中学七年级期末）在△ABC中，ZACB=9O,ZABC=30°,将△A8C

绕点4顺时针旋转到AAOE,点C与点E对应，直线CE交边AB于点F,旋转角为

«（00<a<180°）,如果ABC尸为等腰三角形，则&=.

21.（2021・上海杨浦•七年级期末）如图，在AABC中，AB=AD=DC,AE±BD,如果

的面积是12,那么AABE的面积是.

22.（2021.上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AHLBC,BC

=6,。为直线BC上一动点（不与点8、点C重合），向A8的右侧作△AOE,使得AE=A£>,

ZDAE=ZBAC,连接CE.

AA

备用图

(1)当点。在线段8c上时，求证：

(2)在(1)的条件下，当ACLOE时，求的长；

(3)当CE〃A8时，若△48。中有最小的内角为23。，试求NAEC的度数.(直接写结果，无

需写出求解过程)

23.(2020•上海嘉定.七年级期末)如图，在等腰AMC中，AB=AC,点。是AABC内一点,

且O3=OC.联结AO并延长，交边BC于点、D.如果80=3,那么BC的值为.

BD

24.（2021・上海松江・七年级期末）如图，已知在“ABC中，点。在边AC上，DA=DB,过

点D作〃/W交边BC于点E,请说明/胡9£：=NCDE的理由.

25.（2021.上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，AB=4C,点。是BC的

中点，点E在A8上，BE=BD,N8AC=80。，求/ADE的大小.

BD

26.（2021•上海金山•七年级期末）阅读并填空：如图，已知在AABC中，AB=AC,点。、

E在边8c上，HAD=AE,说明80=CE的理由.

解：因为AB=AC,

所以（等边对等角）.

因为,（已知）

所以（等边对等角）.

因为NAEO=NE4C+NC

ZADE=-ZBAD+ZB（）

所以NBAO=NE4C（等式性质）

在△ABO与△ACE中，

lAB=AC

所以△ABDg/XACE（ASA）

所以.（全等三角形的对应边相等）

27.把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角

顶点叠合”.

（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，联结EC.请

找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；

（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、。在同一条直线上，联结

联结EC并延长与BD交于点F.请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由;

图2

第13讲-等腰三角形

学习目标

i.掌握等腰三角形的有关概念、性质以及等腰三角形“三线合一''性质的正确表述和运用;

2.”等角对等边”和“等边对等角，，的区别使用；灵活运用”等角对等边”及相关知识解决问题.

动探索

（以提问的形式回顾）

1.等腰三角形的性质有哪些？

（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（等腰三角形的三线

合一）

2.如何判定一个三角形是等腰三角形？

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三

角形（等角对等边）

小练习:

1.等腰三角形的一个角是30。，它的顶角是°

2.等腰直角三角形的底边长是6厘米，那么它的高是厘米

3.等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角是30。，那么它的顶角是°

4.等腰三角形的两个角的度数之比是4：1,那么顶角的度数是°

5.如图，在448。中，AB=AC,。在A8上，ZA=ZDCB=36°,则图中共有个

等腰三角形

第5题图第6题图第8题图

6.如图，在//BC中，ZC=90°,AC=BC,AQ平分NC4B,DE±ABE,且AB=6

厘米，则的周长为厘米

7.等腰直角三角形底边上的中线长为4厘米，则三角形的面积等于平方厘米

8.如图，在//BC中，已知4B=4C,。和E分别是A8和AC的中点，KDF//AC,

EF//AB,那么图中有个等腰三角形

9.如果等腰三角形的底边长为4厘米，顶角的外角为120。，那么它的周长为____厘米

10.如果在一个等腰三角形中，有两个角相差15。，则该等腰三角形的底角为°

11.己知等腰448C的周长为40,且AB的长是AC的2倍，则48的长为

12.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12厘米和9厘米两部分，则这个等

腰三角形的腰长

是厘米

参考答案：1、30。或120。2、33、60或1204、120或205、3

6、67,168、59、1210、55或65II、1612、8或6

精讲提升

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1.如图，△ABC中，AB=AC,过点8作BE_LAC,垂足为E,过点作EQ//BC交AB于

点。，若BD=DE,求/C的度数。

A

BC

参考答案：60°

试一试：如图，已知△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,求NA的度数.

参考答案：45°

例2.如图，点8、E、。、C在一条直线上，AB=AC,AE^AD,证明：BE=CD。

A

8EDC

解：过点A作AFLSC,垂足为尸A

'：AB=AC,AE=AD（已知），，

：./\ABC,是等腰三角形

又是底边8c上的高，AF是底边OE上的高

:.BF=CF,EF=DF（等腰三角形三线合一）bEFDL

...BE-EF=CF-OF（等式性质）KP：BE=CD

另解：证明△48C丝/MCE（AAS）,得到8£>=CE即可

&T如图，"BC中，g2AC,

试说明AC1.OC的理由.

AA

;

DD

解析：取AB中点E,证明△ACOg△AEO（SA5）

八达标PK

1.（2021・上海•七年级期中）等腰三角形的周长为16,且边长为整数，则腰与底边分别为

（）

A.5,6B.6,4

C.7,2D.以上三种情况都有可能

【答案】D

【解析】

【分析】

设腰长为x,则底边为16-2x,根据三角形三边关系可得到腰长可取的值，从而求得底边的

长.

【详解】

解：设腰长为x,则底边为16-2x,

vl6-2x-x<x<16-2x+x,

.,.4<x<8,

••・三边长均为整数，

\x可取的值为：5或6或7,

・・・当腰长为5时，底边为6；当腰长为6时，底边为4,当腰长为7时，底边为2；

综上所述，以上三种情况都有可能.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用.此题是借用不等式来求等腰

三角形的底边的长度.

2.（2021•上海民办浦东交中初级中学七年级期末）如图，A8CC是正方形，△CDE绕点、C

逆时针方向旋转90。后能与△重合，那么△CE/是（）

D

J

ABF

A..等腰三角形B.等边三角形

C..直角三角形D..等腰直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据旋转的性质推出相等的边CE=CF,旋转角推出/ECT=90。，即可得到ACEF为等腰

直角三角形.

【详解】

解：•.•△CCE绕点C逆时针方向旋转90。后能与△CB尸重合，

AZ£CF=90°,CE=CF,

...△CEF是等腰直角三角形，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键.

3.（2021.上海市上南中学南校七年级期末）下列说法正确的是（）

A.三角形的外角等于两个内角的和

B.等腰三角形的角平分线和中线重合

C.含60。的两个直角三角形全等

D.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定方法以及等

边三角形的判定方法逐项判断即可.

【详解】

解：4、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故本选项说法不正确；

氏等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线重合，故本选项说法不正确；

C、含有60。的两个直角三角形的对应边不一定相等，则这两个直角三角形不一定全等，故

本选项说法不正确；

有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形，故本选项说法正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质、等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形全等的判定、

等边三角形的判定等知识点，灵活应用相关判定和性质是解答本题的关键.

4.（2021・上海市风华初级中学七年级期末）己知等腰三角形A8C的周

长为18cm,BC=8cm,那么中•一定有■—条底边的长等于cm.

【答案】8或2##2或8

【解析】

【分析】

根据全等的性质可得等腰VAEC的周长为18cm,=8cm,分情况讨论即可：①当&C

为底边时；②当夕。为腰时.

【详解】

解：：△ABC四△A'8'C',

•*.AB^AB-BC=B'C,AC=AC,

分为两种情况：

①当BC是底边时，腰AB=AC,A'B'=A'C,

△ABC四△A'QC',

AB=AC=Aff=AC,

♦.•等腰A"C的周长为18cm,BC=8cm,

VAEC中一定有一条底边B'C’的长是8cm；

②当3c是腰时，腰是8cm,

;等腰AABC的周长为18cm,

VAFC*中一定有一条底边的长是18cm-8cm-8cm=2cm,即底边长是8cm或2cm.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的定义，掌握全等三角形的性质是解题的关键.

5.（2021•上海市徐汇中学七年级期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC,AO是N3AC

的平分线，如果AABO的周长为12,△ABC的周长为14,那么AO的长是.

【答案】5

【解析】

【分析】

由等腰三角形“三线合一''的性质即可得出即=CD,再根据△A3。的周长为12,即得出

2AB+2BD+2AD=24,从而可得出AB+AC+3C+2AO=24.又由△ABC的周长为14,

即/W+AC+BC=14,从而即可求出AZ）的长.

【详解】

：△ABC中，AB=AC,AQ是NBAC的平分线，

BD=CD.

「△ABO的周长为12,

，AB+BD+AD=12,

/-2AB+2BD+2AD=24,

：.AB+AC+BC+2AD=24,

「△ABC的周长为14,

，A8+AC+BC=14,

14+2/V）=24,

AD=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题考查等腰三角形“三线合一''的性质.利用数形结合的思想是解题关键.

6.（2021・上海嘉定•七年级期末）在AABC中，Z/WC=48,点。在边上，且满足

ZBAD=18,DC=AD,则NCW=度.

【答案】57

【解析】

【分析】

根据外角的性质得出NADC=66。，然后再所等腰三角形的性质可得结论.

【详解】

解：如图所示:

ZABC=481NBAD=18.

ZADC=ZABC+ABAD

=48+18

=66、

y.-.DC=AD,

丫=57。

故答案为：57

【点睛】

本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是本题的关键.

7.（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知AABC中，AC=BC,44c8=100。,

将AMC绕着点B逆时针旋转，使点C落在AB边上的点。处，点A落在点E处,那么ZAED

的度数为度.

【答案】30

【解析】

【分析】

由旋转的性质得到，NDBE=NCBA,AB=EB,ZCAB=ZDEB,再利用等腰三角形的性质,

求得454与的度数，再利用等腰三角形的性质求得NEAE的度数，进一步得到

44EO的度数.

【详解】

解：；.BED由ABAC绕点、B旋转而得，

:,NDBE=NCBA,AB=EB,NCAB=NDEB,

VZACB=100°,AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA,

180°-NACB180°-100°

NCBA=

~2―

...ZDBE=ZCBA=40°,

；.AB=EB,

180°-ZDBE1800-40°

/BAE=/BEA==70°

22

/.ZAED=ZAEB-Z.DEB=70°-40°=30°.

故答案为：30.

【点睛】

本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.

8.（2021・上海金山•七年级期末）在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样

的三角形我们称之为“黄金三角形如图，已知点A在NMON的边OM上，点B在射线ON

上，且/。48=100。，以点A为端点作射线AD,交线段。2于点C（点C不与点。、点2

重合），当AABC为“黄金三角形"时，那么/OAC的度数等于一.

【答案】64。或28。

【解析】

【分析】

分三种情况：①A8=AC时；②BA=BC时；③C4=C8时；分别由等腰三角形的性质和“黄金

三角形”的定义求出/8AC的度数，即可求解.

【详解】

解：当△A8c为“黄金三角形”时，分三种情况：

①A8=AC时，NAC8=NA8C=2NB4C,

ZACB+ZABC+ZBAC=\80°,

.".ZBAC=1xl80°=36°,

/OAC=/048-NB4C=1OO°-36°=64°；

②寸，NB4C=/8CA=2NA8C,

ZACB+ZABC+ZBAC=\80°,

.•.ZBAC=-xl80°=72°,

5

ZOAC=ZOAB-ZBAC=100°-72°=28°；

③C4=CB时，ZBAC=ZABC=2ZACB,

,：ZACB+ZAHC+ZBAC^\80°,

.,.N8AC=2X180°=72°,

5

，ZOAC^ZOAB-ZBAC^\00°-72°=28°；

综上所述，NOAC的度数等于64。或28。，

故答案为:64。或28。.

【点睛】

本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌

握黄金三角形的定义、等腰三角形的性质，求出/BAC的度数是解题的关犍，注意分类讨

论.

9.（2021•上海浦东新•七年级期中）已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角

形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2,则三角形的腰长是.

【答案】8或4

【解析】

【分析】

根据中线的定义，知道两部分的差实际上是腰与底的差的绝对值，计算即可.

【详解】

解：如图，：8。是△ABC腰AC的中线，

：.AD=DC,

：.AB+AD-CBC+DC)=2或8C+OC-(AB+AD)=2,

"：BC=6,

.•.AB=8或

故答案为：8或4.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，中线的定义即三角形的顶点与对边中点的连线，分类思想,

正确进行分类计算是解题的关键.

10.(2021•上海市培佳双语学校七年级期中)如图，AABC中，AB=AC,Z1=Z2,BC=

6cm,那么BO的长cm.

【答案】3

【解析】

【分析】

由A8=AC,得出△ABC是等腰三角形，由N1=N2,得出A。

是顶角平分线，再由等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合求解即可.

【详解】

解：'：AB^AC,

...△ABC是等腰三角形，

VZ1=Z2,

BD=CD=-BC,

2

,.•8C=6cm,

BD=—x6=3(cm).

2

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了等腰三角形，比较简单，解题的关键是掌握等腰三角形的性质.

11.(2021•上海奉贤•七年级期末)如图，已知I在中，AB=AC,ZBAC=S0°,ADrBC,

AD=AB,联结B。并延长，交4c的延长线干点E,求N4DE的度数.

【答案】110°

【解析】

【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质可求/氏4。=/。4。=3/54。=40。，根据等腰二角形的

性质可求再根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】

解：N84C=80°,AD1BC,

：.NBAD=NCAD=gZBAC=40°,

"：AD=AB,

(180°-40°)=70°,

NADE=180°-NBDA=180°-70°=110°.

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，等腰三角形的

三线合一”是解本题的关键.

12.(2021・上海普陀•七年级期末)解答下列各题

(1)小明在学习了平行线的判定方法后，会利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平

行线，如图1所示，小明的作图依据是：____________.

(2)小丽发现如果利用直尺和圆规，也可以过直线外一点作已知直线的平行线.如图2,已知

直线〃，点P为直线。外一点，小丽利用直尺和圆规过点P作直线尸。平行于直线/以下

是小丽的作图方法：

①在直线。上取一点A,作直线抬(以与直线“不垂直)；

②在AP的延长线上取一点8,以8为圆心54长为半径作弧，交直线。于点C；

③联结BC,以8为圆心8P长为半径作弧，交BC于点。，作直线PO

这样，就得到直线P£>//a.你能说明的理由吗？

【答案】(1)同位角相等，两直线平行；

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)将三角板沿直尺移动的时候，三角板各个角度大小不变，由此得同位角相等，所以两

直线平行；

(2)由于大三角形和小三角形都是等腰三角形，且共有N8,所以四个底角都相等，从而

得出同位角相等，两直线平行.

【详解】

(1)由小明的作图方法可知，小明的作图依据是：同位角相等，两直线平行.

故答案为：同位角相等，两直线平行.

(2)由小丽的作图方法可知：BP=BD，BA=BC

：.ZBPD=NBDP,ZBAC^ZBCA

ZB+NBPD+NBDP=180。，

ZB+ZBAC+NBCA=180°.

ABPD=ZBAC

：.PD//AC,

即PD//a(同位角相等，两直线平行).

【点睛】

本题考查平行线与直线相交中的平行线的判定，掌握他们的判定和性质是解题关键.

13.(2019・上海・七年级期中)如图，在AABC中，AB=AC=8,BC=12,点D从B出发以每

秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个

单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE,设D、E两点运动时间为《0<f<4)

秒.

(1)运动秒时，CD=3AE.

(2)运动多少秒时，△ABDWZ\DCE能成立，并说明理由；

(3)若AABD丝ADCE,NBAC=a，贝IJ/ADE=(用含a的式子表示).

BD

【答案】(I)3秒；(2)当t=2时，Z\ABD与ADCE全等；理由见解析；(3)90°-0.5a.

【解析】

【分析】

(1)依据BD=CE=2t,可得CD=12-2t,AE=8-2t,再根据当DC=3AE时，12-2t=3(8-2t),

可得t的值：

(2)当AABDgaDCE成立时，AB=CD=8,根据12-2t=8,可得t的值；

(3)依据/CDE=/BAD,ZADE=180°-ZCDE-ZADB,ZB=Z180°-ZBAD-ZADB,即

可得至l」NADE=/B,再根据/BAC=a,AB=AC,即可得出/ADE.

【详解】

(1)由题可得，BD=CE=2t,

.,.CD=12-2t,AE=8-2t,

，当DC=3AE时，12-2t=3(8-2t),

解得t=3,

故答案为3；

(2)当AABD丝Z\DCE成立时，AB=CD=8,

/.12-2t=8,

解得t=2,

运动2秒时，AABD丝4DCE能成立；

(3)当^ABD<Z\DCE时，ZCDE=ZBAD,

又：ZADE=I8O0-ZCDE-ZADB,ZB=Z1800-ZBAD-ZADB,

.•.ZADE=ZB,

又：NBAC=a,AB=AC,

.,.ZADE=ZB=1(180°-a)=90°-1a.

故答案为90"?a.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的

综合运用.利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键.

Q课后作业

14.(2021.上海市培佳双语学校七年级期中)如图，在AABC中，=AC,过点A作AD//BC,

若NRW=110。，则N8AC的大小为()

I

D

A.30°B.40°C.50°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出NC,根据等腰一角形的性质得出NB=NC=70。，根据三角形内角和

定理求出即可.

【详解】

,/AD//BC,

/.N1=NC,

AB=AC,

：.ZB=NC,

Z1=ZC=ZB

/.ZBAC=180o-ZB-ZC=180°-2Zl,

"?ZBAD=110°,

ZfiAC+Nl=110°,

g|Jl80°-2Z1+Z1=110°,Z1=70°,

ABAC=ABAD-Z1=110°-70°=40°.

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是

求出/C的度数和得出N8=NC,注意：三角形内角和等于180。，两直线平行，内错角相等.

15.（2020•上海嘉定•七年级期末）下列说法中，正确的是（)

A.腰对应相等的两个等腰三角形全等;B.等腰三角形角平分线与中线重合;

C.底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等；D.形状相同的两个三角形全等.

【答案】c

【解析】

【分析】

根据全等三角形和等腰三角形的性质对各项进行判断即可.

【详解】

A.腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，错误；

B.等腰三角形顶角的角平分线与底边中线重合，底角的角平分线与腰上的中线不一定重合,

错误；

C.底边和顶角分别对应相等的两个等腰三角形全等，正确；

D.形状相同的两个三角形不一定全等，错误；

故答案为：C.

【点睛】

本题考查了全等三角形和等腰三角形的问题，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题的

关键.

16.（2018•上海金山•七年级期末）如图，AABC三AAED,点。在8c边上，BC//AE,

ZCAB=80.则NZME的度数是（）

E

A.35°B.30C.25°D.20

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全等三角形的性质得到由平行可知可得NCD4=80。，利用等腰三角形

性质可知/C=NCDA=80°，推出NCAD=20°即可解决问题.

【详解】

:△ABC丝△AEO,/.ZCAB=ZDAE=S0°.

,JBC//AE,，NC£>A=NOAE=80°.

\'AC=AD,：.ZC=ZADC=S0°,：.ZCAD=20°.

:ZCAB=ZDAE,：.ZCAD=ZBAE=20°.

故选D.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题

的关键.

17.（2021•上海普陀•七年级期末）已知等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是15、那么这

个等腰三角形顶角的度数是

【答案】30

【解析】

【分析】

画出图形，根据FLN£>BC=15,求出NC的度数，根据=AC求出NABC的度

数，再利用三角形内角和定理求出答案.

【详解】

解：如图,

VAB=AC,8。，4（7且/。8。=15,

ZC=90-15=75",

ZA8C=NC=75。，

•*.ZA=180-ZABC-NC=180"-75°-75°=30°.

故答案为：30.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的等边对等角的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，数据等腰三

角形的性质是解题的关键.

18.（2021・上海市风华初级中学七年级期中）如图，在等腰三角形A8C中，AB=AC,BD

是AC边上的中线，已知IBC的周长是36,的周长比△88的周长多6,则的

长是.

A

【答案】14

【解析】

【分析】

设腰为x,底为y,根据三角形的周长关系列方程组；解方程;

【详解】

解：设腰长==底边长BC=y.

。是AC边上的中线，：.AD=CD=；x,

x+x+y=36

由题意得：

x+—x4-BD^x+y+BD\=6'

(2x+y=36x=14

解得

[x-y=6y=8

故：AB=\4.

【点睛】

此题考查二元一次方程组的儿何运用，找出题中的等量关系列出方程是解题关键.

19.(2021•上海市市西初级中学七年级期末)如果等腰三角形的顶角为a,那么这个等腰三

角形一条腰上的高与底边的夹角为.

Ia

【答案】：a##[

22

【解析】

【分析】

首先对该等腰三角形进行分类，当0<a490°时，底角为9()o-ga,在RtzMBD中，

4480=90。-。，底角减去NAB£>即可得解；当90°<a<180°时，底角为90。-^£,

ZHGE=90°-(180°-a)=a-90°,ZHGE+NEGF即为所求.

【详解】

当0<aW90。时，作8OLAC于点。,

如图，

,/ZBAC=a,

NC=N43C=g(1800-a)=90°-ga

•/BDLAC,

：.ZABD=90°-a,

ZDBC=90°-1a-(90°-<z)=^a

当90。<0<180。时、作G""L"F于点H,ZWGF为所求.

如图

GH工HF,

：.ZHGE=90°-(180°-a)=a-90°,

ZHGF=NHGE+NEGF=a-90°+90°--a=-a.

22

故答案为：5a.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180。，熟悉等腰三角形的性质并分类讨论

是解题的关键.

20.(2021•上海市徐汇中学七年级期末)在△48C中，Z4CB=9O,ZABC=30°,将△ABC

绕点力顺时针旋转到AAOE,点C与点E对应，直线C£交边A8于点片旋转角为

a(0o<a<180°),如果△BC尸为等腰三角形，则。=

【答案】60°或150°##150°或60°

【解析】

【分析】

由题意知a(0°<a<180。)，为等腰三角形时，分两种情况求解：①CF=5F,如图1,

此时区尸重合，为线段4B的中点，计算求解即可；②CB=BF,如图2,根据等边对等角,

三角形的内角和定理求解即可.

【详解】

解：由题意知a(0°<a<180。)，ABC尸为等腰上角形时,分两种情况求解:

①CF=BF,如图1,此时区产币;合，为线段AB的中点，

图1

：.a=ZBAC=f)0o

②CB=BF,如图2,

B

・・•ZB=30°

Z.ZBCF=NBFC=180°-30°=你

2

AC=AE

：.NE=ZACE=90°-NBCF=15°

，ZC4E=180°-Z£-ZACE=150°

故答案为：60。或150°.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.解题的关键在于分情况

求解.

21.（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，在AABC中，AB=AD=DC,AE1BD,如果AA3C

的面积是12,那么△回£的面积是.

【答案】3

【解析】

【分析】

由">=AC得到是AABC的中线，进而得到，S,AW>=gs,/）Bc=6，再由E是的中点得

至US.ABE=；S,ABO=gX6=3.

【详解】

解：-.-AB=AD=AC,

..08是的中线，

S.A3O=3$“时=5X12=6，

•.•△AM是等腰三角形，AE上BD，

，点E是8。的中点，

Sd.BE=5=5X6=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查三角形的面积，明确三角形的中线会平分三角形的面枳是解题关键.

22.(2021・上海市培佳双语学校七年级期中)如图，在AABC中，AB=AC,AHA,BC,BC

=6,0为直线BC上一动点(不与点8、点C重合)，向AB的右侧作^ADE,使得AE=AO,

ZDAE^ZBAC,连接CE.

备用图

(1)当点。在线段BC上时，求证：

(2)在(1)的条件下，当ACLOE时，求BZ)的长；

(3)当CE〃A8时，若△48。中有最小的内角为23。，试求NAEC的度数.(直接写结果，无

需写出求解过程)

【答案】(I)见解析

(2)3

(3)97。或37。或23°

【解析】

【分析】

(1)根据SAS即可证明484。丝△CAE；

(2)利用等腰三角形的三线合一可得出BQ=C£),则可得出答案；

(3)分。在线段BC上、当点。在C8的延长线上、点。在BC的延长线上三种情形根据

等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.

(1)

证明：①如图1,

图1

VZDAE=ZBAC,

：.ZBAD=ZCAE,

在A切。和4CAE中，

AB=AC

<NBAD=ZCAE,

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS)；

(2)

解：如图如

图2

U

：AE=AD,AC±DEf

：.ZDAC=ZEAC,

:・/BAD=/EAC,

：.ZDAC=ZBADf

9：AB=AC,

：.BD=DC

"：BC=6,

：.BD=^BC=3；

(3)

图1

\'CE//AB,

：.NACE=NBAC,

：△849丝△CAE,

NABD=ZACE,ZADB=/AEC,

：.ZABD=ZBAC,又/A8C=NAC8,

...△ABC为等边三角形，

NABC=60。，

:.ZAEC=ZADB=\SO0-60°-23°=97°；

如图3,当点。在CB的延长线上时，

ZAEC=^ADB=60°-23°=37°；

如图4,当点。在8c的延长线上时，只能NA£>8=23。,

；△340丝△CAE,

二/AEC=/A力8=23°.

ZAEC的度数为97。或37。或23°.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的

判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题.

23.（2020•上海嘉定七年级期末）如图，在等腰中，AB=AC,点。是内一点，

且O8=OC.联结A。并延长，交边BC于点O.如果8。=3,那么8c的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】

根据AB=AC,OB=OC,可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D,

BD=3,从而可以得到BC的长，本题得以解决.

【详解】

；AB=AC,OB=OC,

...点A,点O在线段BC的垂直平分线上,

直线AO是线段BC的垂直平分线，

VAO与BC交于点D,

，BD=CD,

VBD=3,