2021-2022学年云南省昆明市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

202L2022学年云南省昆明市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.()分)

1.若全集U={1,2,3,456},集合力={2,3,4},B={1,3,5},则4n(QB)=()

A.[1,2,3,4,5)B.{3,5}C.{2,4}D.{2,3,4,5,6}

2.设复数z满足(2+i)z=5,贝以=()

A.2-iB.2+iC.D.-+|i

3333

3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔

(尸ZorenceNig/itinga加1820-1910)设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半

径长短表示数量大小.某机构统计了近几年中国知识付费用户数量(单位：亿人次),

并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，下列说法错误的是()

A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加

B.2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多

C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

D.2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

4.已知向量为=(一1,3),b=(fc,6)，若行=4石(46R)，则k的值为()

A.-2B.2C.-18D.18

5.已知函数=尸，则Hf。。羽3)]=()

2

[log3x,x>0

A.：B.-1C.1D.3

8

6.“函数=在(0,+8)上单调递减”是“函数g(x)=/一(a+i)x为偶函数”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知sin。=2，。为第二象限角，则tan20=（）

3

A.-逗B,逗C.-延D,延

7777

8.已知球。的半径为5,平面a、/?截球。所得的截面圆。1、。2的半径均为4,若|。1。2|=

2甚，则平面a与/?的夹角的余弦值为（）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.从小到大排列的一组样本数据久1，x2，…，xn_i，xn,将第1个数据减3,最后1个

数据加3,其余数据不变，得到另一组数据/-3,x2,%3，…，x„_vx„+3,则

（）

A.两组数据的极差相同B.两组数据的中位数相同

C.两组数据的平均数相同D.两组数据的方差相同

10.记函数/（x）=sin（3X+0）（3>0,0<w<》的最小正周期为T,若/（T）=%且

/（X）在（0,自上单调递增，则3的值可以是（）

A.IB.1C.|D.1

11.如图，在长方体力BCDGQ中，E、F、G、H分别是DA、

SB〉AB,4。的中点，则下列说法正确的是（）

A.点4在平面EFCi内

B.EH//CF

C.平面EFG。平面ABCD=HG

D.直线与直线FG相交

12.已知函数f(x)=llogM-a|-a(a>0,且a41)有两个零点，则()

A.当a>l时，xr+x2>2B.当0<a<1时，xr+x2<2

C.当a>1时，|%2—/I>1D.当0<a<1时，］&—%|<1

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数f（x）=ln（-/+5x-6）的定义域是.

14.已知，是平面a,0外的直线，给出下列三个论断，①〃/a：②a10：③，_L0.以其

中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：.（用序号表示

)

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15.全国新高考数学试卷中多选题规定：每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分，现有一道多选题，其中三

个选项符合题目要求，若甲同学从给出的四个选项中任选一项作答，则甲得2分的

概率为;若乙同学从给出的四个选项中任选两项作答，则乙得2分的概率为

16.某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值x€[50,500](单位：万元)的小微企

业进行奖励，奖励方案为：奖金y(单位：万元)随企业年产值x的增加而增加，且奖

金不低于7万元，同时奖金不超过企业年产值的15%.若函数y=则m的取值

范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.2022年5月，受东北冷涡的影响，云南省气象呈现气温波动大、降水偏多的特征.统

计5月1日至30日的日均气温t(单位：。C),绘制频率分布直方图如图所示：

(1)根据上估计这30天的日均气温的平均数£(同一组数据用该组区间中点值作为代

表)；

(2)去年同期日均气温平均数[恰为上图中日均气温的第85百分位数，求£-to.

18.AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a?—廿=四四一c?.

⑴求B；

(2)若b=5,cosC=求c.

19.已知函数/'(X)=a*,g(x)=bx,若/(l)+g(l)=5,/⑴—g⑴=1.

(1)求/'(x),g(x)的解析式；

(2)若f(m)=g(n),试比较m,zi的大小.

20.如图，一块扇形绿地。MN中，乙M0N=%半径为20米，平行四边形4BCD顶点C在

O

扇形的弧须上，且不与M,N重合，。在半径ON上,4B在半径0M上,记=6.

现需在平行四边形4BCD上种植花卉，美化绿地.

(1)用/(。)表示线段CO的长度，求/(。);

(2)当。角取何值时，可使种植花卉的平行四边形4BCD面积最大，并求出最大面积.

21.如图，某组合体是由正方体ABCO—4B1GD1与正四棱锥P-AiBiGDi组成，且

=^-AB.

(1)若该组合体的表面积为36(5+V2).求其体积;

(2)证明：〃平面P8iC「

22.向量是解决数学问题的有力工具，我们可以利用向量探究A48C的面积问题：

(1)已知|4B|=2,MC|=5,AB-AC=6,求△ABC的面积;

(2)已知不共线的两个向量而=(/,%)，AC=(x2,y2)＞探究△力BC的面积表达式;

(3)已知4(1,2),若抛物线y=/上两点一(%2，")满足必=%+1，求4

ABC积的最小值.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•♦•全集［/={1,2,3,4,5,6},8={1,3,5},

•••CyB={2,4,6},•集合4={2,3,4},

••An（C（jB）={2,4},

故选：C.

根据集合的基本运算即可求解.

本题主要考查集合的基本运算，比较基础.

2.【答案】B

【解析】解：,；（2+i）z=5,

_5_5（27）_

“Z-布一（2+i）（2-i）-Z11

二z=2+i.

故选：B.

根据已知条件，结合共辗复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了共期复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：2015年至2022年，知识付费用户数量分别为:

20152016201720182019202020212022

付费用户量0.480.961.882.953.564.154.775.27

增加量0.480.921.070.610.590.620.5

2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确，

2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，最多为1.07,故B正确，

5.27+0.48»10.979,即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10

倍，故C正确，

2016年至2018年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增，2018年到2022年逐年增

量减少，故力错误，

故选：D.

计算出每年的增加量，然后进行判断即可.

本题主要考查推理与证明，根据数据，计算出每年的增加量进行判断是解决本题的关键,

是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由于向量4=(一1,3),b=(k,6).若方=4石QeR)，

整理得：(-1,3)=4(包6),整理得，

解得卜=2

U=-2

故选：A.

直接利用向量的坐标运算建立方程组，进一步求出结果.

本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：bgf<0,.../(logp)=(3°缗=3.

则/[/。。史

3)]=/(3)=log33=1.

2

故选：C.

先求内层函数，再求外层函数即可.

本题主要考查求函数的值，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：,函数/(x)=久。在(0,+8)上单调递减，a<0.

••・函数g(x)=X?-(a+l)x为偶函数，.•.g(-x)=g(x),解得：a=-1.

va=—1可以推出a<0,但是a<0推不出a=-1.

二函数/(x)=X。在(0,+8)上单调递减"是"函数g(x)=x2-(a+l)x为偶函数的必要

不充分条件.

故选：B.

分别判断充分性和必要性即可.

本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题.

7.【答案】D

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【解析】解：•一讥”落。为第二象限角,

cosd=71-s*=/则tan。=翳=-2或,

2tan0-4>/2_4\/2

・•・tan20=

l-tan20l-(-2V2)2—7

故选：D.

由已知求得tan。，再由二倍角的正切求解.

本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基

础题.

8.【答案】A

【解析】解：・•・球。的半径为5,平面%/?截球。所得的截面圆0八G的半径均为4,

•••。。1=002=3,\0102\=2跖

在4。。1。2中，由余弦定理可得COSNOi。。？=

设平面a与口的夹角为。，则COS。=C0S（7T-/_。1。。2）=-cosz.O1OO2=

故选：A.

利用球体的性质，可得。。1=002=3,\0102\=2-76,利用余弦定理可求cosz_0i002，

从而可求平面a与S的夹角的余弦值.

本题考查面面角的求法，属中档题.

9.【答案】BC

【解析】解：小到大排列的一组样本数据%,x2，…，如.rxn,将第1个数据减3,最

后1个数据加3,其余数据不变，

则极差比原数据极差大6,平均数、中位数不变，故A错误，BC正确,

・•・第1个和最后一个数发生变化，2口1（%-幻2变大，数据个数n不变，

二方差变大，故。错误.

故选：BC.

根据已知条件，结合极差、中位数、平均数的定义，以及方差公式，即可求解.

本题主要考查极差、中位数、平均数的定义，以及方差公式，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解:由已知7=三，

0)

所以/(T)=sin®-—+</?)=sincp=

co2

又。<0<壬

所以0=£

O

所以/(%)=sin(3K+£),

O

因为0<xW》

所以0<3XW^0),

UU［、［兀,冗兀

所以［工a<,MX+-<-0)।+-,

OOZO

因为/(%)在(0,§上单调递增，

所以］3+£W枭解得3-I，

Z043

所以3的取值范围是0<3W|.

故选：ABC.

由已知可知/⑶=sin(3x+5利用正弦型函数的单调性可知3三即可求解.

oZoZ

本题考查了正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：选项4,因为E、尸分别是。。1、BBi的中点，所以DiE=BF,

又NCiDi。=NABBI，GDi=4B,所以△GZ\E三△4BF,所以GE=4F，

同理可得4E=QF,

所以四边形AECiF为平行四边形，所以点4在平面EFC］内，即选项A正确；

选项8,E"与CF是异面直线，即B错误；

选项C,因为从E，G，F四点共面，所以平面EFG与平面4BCD的交线经过点4而4gHG,

即C错误；

选项。，由三棱柱的性质知，EF"AB,EF=AB,

因为G,H分别为AB、4。的中点，所以GH〃/IB,GH=：AB,

所以GH〃EF,GH=3EF,即四边形EFGH为梯形，且EH与FG均是腰，

所以直线EH与直线FG相交，即。正确.

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故选：AD.

选项4,由全等三角形，可证得C1E=4F,AE=C,F,从而知四边形4EC/为平行四

边形，得解；

选项B,EH与CF是异面直线；

选项C,平面EFG与平面2BCD的交线经过点4,而A£HG；

选项。，证明四边形EFGH为梯形，即可.

本题考查空间中直线与平面的位置关系，理解异面直线的概念，掌握四点共面的判定方

法等是解题的关键，考查空间立体感，推理论证能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：令/'(X)=|logax一可-a=0,则logaX=0或logM=2a,

所以与=1、右=a2a为/(x)的两个零点；

当0<a<l时，a?。e(0,1),则与+犯<2,|%2—%|<1，B、。正确；

当a>l时，+8),,则+%2>2,但|刀2—与1>1不一定成立，A正确，C

错误；

故选：ABD.

令/'(%)=。可得与=1、x2=a2a为/(x)的两个零点，讨论0<a<1、a>1,结合指数

的性质判断各项的正误.

本题考查了函数的零点、对数函数的性质及分类讨论思想，属于中档题.

13.【答案】(2,3)

【解析】解：要使原函数有意义，则—/+5x—6>0,即久2—5%+6<0,

解得2<x<3.

二函数/(x)=ln(-x2+5x-6)的定义域是(2,3).

故答案为：(2,3).

由对数式的真数大于0,求解一元二次不等式得答案.

本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题.

14.【答案】若①③，则②；若②③，则①（写出一个即可）

【解析】解：过2作平面y交a于a,则l〃a,

又110,二a1£,而aua,可得a10.

故一个正确的命题是：若①③，则②；

若21夕，al/?,则/〃a或/ua,

,”是平面a外的直线，，//a.

故一个正确的命题是：若②③，则①.

故答案为：若①③，则②或若②③，则①（写出一个即可）.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析可得：若①③，则②；

若②③，则①,则答案可求.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查

空间想象能力与思维能力，是中档题.

15.【答案】粤

【解析】解：由三个选项符合题目要求，甲同学从给出的四个选项中任选一项作答，

所以得0分的概率为右得2分的概率为得5分的概论为0,

若乙同学从给出的四个选项中任选两项作答，

得0分的概率为萼=3得2分的概率为会=：,得5分的概率为0.

故答案为：：；"

42

根据题设直接给出甲同学不同得分的概率，利用古典概型的概率求法求乙同学任选两项

作答，不同得分的概率.

本题考查古典概型的概率计算，属基础题.

16.【答案】[8,8.55]

mx-155?n+15

【解析】解:y=/(x)==m—

x+5x+5

函数在[50,500]递增，则=/(50)>7,即m-手一>7,解得小>8；

要使y=<0.15x对xe[50,500]恒成立，即zn<0.75+0.15x+当对xG[50,500]

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恒成立,

•:0.75+0.15丫+当在［50,500］上单调递增，二(0.75+0.15x+y)min=8.55,

・•・m<8.55.

综上可知，m的取值范围为［8,8.55］.

故答案为：［8,8.55］.

奖金y随年产值x的增加而增加，求出y的最小值，由最小值大于等于7求得m的范围；再

由奖金不超过年产值的15%,利用分离参数法结合函数的单调性求m的范围，取交集得

答案.

本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用函数的单调性求最值，考查化归与转化思

想，是中档题.

17.【答案】解：(1)由图可得日均气温平均数为£=(0.05x13.5+0.05x15.5+0.15x

17.5+0.17x19.5+0.08X21.5)X2=18.22℃；

(2)v(0.05+0.05+0.15+0.17)X2=0.84,20,5<t0<22.5>

则0.84+(^-20.5)x0.08x2=0.85-

解得to=20.5625℃>

则Z-t0=18.22-20.5625=-2.3423℃.

【解析】(1)根据直方图求平均数，计算相加即可；

(2)根据百分位数的定义计算即可.

本题考查频率分布直方图，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由于—炉=交内；一C?,整理得cosB=——=—;

由于0<B<兀；

故B=p

(2)由于b=5,cosC=

所以sinC=—>

利用正弦定理，z=—整理得c=^=7.

sinBsinB

【解析】(1)直接利用余弦定理关系式的变换求出cosB=，熄*=¥，进一步求出B的

值;

(2)利用正弦定理和同角三角函数的基本关系式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思

维能力，属于中档题.

19.【答案】解：⑴由匕火+吗?=?,解得：/⑴=3,g(l)=2,即a=3,b=2.

1/(1)-4g(i)=1

:./(%)=3X,g(x)=2X.

(2)由f(m)=g。),得3m=2九.

当?n=0时，2n=1,所以n=0,此时=ri.

当?n>0时，2m<3m,此时?n<n.

当m<0时，2nl>3m，此时?n>ri.

【解析】(1)由已知得/(l)=3,g(l)=2,代入即可求得a,b,进而得解.

(2)分类讨论当m=0,m>0和?n<0时，结合已知即可得解.

本题主要考查求函数的解析式以及判断参数的大小，属于基础题.

过点C作CE_LOM,垂足为E,在△OCE中，可得CE=20sin0,

CD20

在△OCD中，由正弦定理可得，sin/-。)=嬴亘，则CD=40s讥(公n一。)，

/(6))=4Osin(--0),0<6»<-；

66

(2)种植花卉的平行四边形4BCD面积S=CDCE=2Osin。•40sin。-。)

=8OOsin0(|cos0—当sin®)=4OOsin6cos0—4OOV3sin20

=200sin29-20073(1-cos2Q}=200sin29+20075cos2。-2008

=400GsiM2。+ycos26)-200V3=400s讥(2。+g)-200V3.

・••86(0,)28+g€©,空),

.•.当20+g=],即时，平行四边形ABC。面积最大，最大值为400-200收

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【解析】(1)过点C作CE10M,垂足为E,在AOCE中，可得CE=20sin。，在△OCD中，

由正弦定理可得C。=40s讥(*-0),由此得到”8)：

(2)种植花卉的平行四边形力BCD面积S=CD-CE=20sin9-4Osin(^-0),整理后再由

三角函数求最值即可.

本题考查函数模型的选择及应用，考查数形结合思想，训练了利用三角函数求最值，是

中档题.

21.【答案】解：(1)连接46，出口交于点0,连接P0,由正棱锥的性质可知P0，平

面力181。1。1,

2

设48=2a,则P4=Wa,AXO==V2a,PO=y/PA'i-ArO=a>

取BiG的中点E,连接PE,则PE_LBiG，且PE=JPB：一当勿=&a,

•••几何体的表面积为5x4a2+4x|x2axVia=(20+4V2)a2=36(5+V2),

解得Q=3,

该几何体的体积为(2a)3+|x4a2xa=8x27+ix33=252.

(2)证明：分别取&Di，BC的中点H,F,连接EH,EF,FH,

取EF的中点M,连接。M,

「POJ"平面4$1。也，BBi1平面4BiC也，PO//BBl,

•；且BiG=BC,E,F分别为Bi。1、BC的中点，

BrE//BF,S.BrE=BF,

•••四边形BBiEF为平行四边形，BB1//EF,且EF=BBX=6,

•••M是EF的中点，则EM〃PO,且EM=^EF=3=PO,

•••四边形POME为平行四边形，［PE〃OM,

设EHn4G=N,•••£■,H分别为&G、4D1的中点，•,•GE=ai”,

••・C1E//4H,.••/=胃=焉=1,

N为的中点，则N与。重合，

•••。为EH的中点，:OM//FH,

”