新人教版九年级(下)数学全册教案

26.1二次函数(1)

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长,

进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积yGn)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个

函数的关系式，

对于L,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表

格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答

能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm,BC的长为10m时，

围成的矩形面积最大：最大面积为50m'«

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，

有限定范围，其范围是0<x<10。

对于3,教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20

-2x)(0<x<10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低

售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量

可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润=(售价一进价)X销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多少元？

[10—8=2(元)，(10-8)X100=200(元)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品？

[(10-8-x)；(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0WxW2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0(xW2)]

将函数关系式y=x(20—2x)(0<x<10=化为：

y=-2x2+20x(0<x<10)......................(1)

将函数关系式y=(10—8—x)(lOO+lOOx)(0WxW2)化为:

y=-100x2+100x+20D(0WxW2)................(2)

三、观察；概括

1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2),提出以下问题让学生思考回答；

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有儿个？

(各有1个)

(2)多项式-2x2+20和一lOOx,+100x4-200分别是儿次多项式？

(分别是二次多项式)

(3)函数关系式⑴和(2)有什么共同特点？

(都是用自变量的二次多项式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=a(+bx+c(a、b、、c是常数，aWO)的函数叫做x的二次函数，a

叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项.

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y=5x+l(2)y=4x2—1

(3)y=2xa-3x2(4)y=5x'-3x+l

2.P3练习第1,2题。

五、小结

1.请叙述二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并

写出函数关系式。

六、作业：略

26.1二次函数(2)

教学目标：

1、使学生会用描点法画出丫=2*2的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯

重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=a(的图象是教学的重点。难

点：用描点法画出二次函数y=ax?的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1,同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么？

(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、范例小

例1、画二次函数y=ax?的图象。[9'/

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：\/

X・・・-3-2-10123・・・

y.・・941()149・・・

X

4-3-2-1|0234

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x?的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？

让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

三、做一做

1.在同一直角坐标系中，画出函数y=Y与y=-x?的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么

共同点？又有什么区别？

2.在同一直角坐标系中，画出函数y=2(与y=-2x?的图象，观察并比较这两个函数的图象，你

能发现什么？

3.将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？

对于1,在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几

个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生

发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0,0),

区别在于函数y=x?的图象开口向上，函数y=-六的图象开口向下。

对于2,教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类

比1得出。

对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，

都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0,0).

四、归纳、概括

函数y=x;y=-x\y=2x\y=-2x?是函数y=ax?的特例,由函数y=x2、y=-x2>y=2x\y=-2x?的图

象的共同特点，可猜想：

函数y=ax，的图象是一条,它关于对称，它的顶点坐标是o

如果要更细致地研究函数y=ax?图象的特点和性质，应如何分类？为什么？

让学生观察y=x\y=2(的图象，填空；

当a>0时，抛物线y=ax?开口,在对称轴的左边，曲线自左向右；在对称轴的右边，

曲线自左向右,是抛物线上位置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质？上,

先让学生观察下图，回答以下问题；6[

(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0?5f

(2)yA>yu大小关系如何？

(3)Xc、XD大小关系如何?是否都大于0?M2

(4)yc、皿大小关系如何？X,£

1

(XMXB,且XA<0,XB<0；yA>yB；XWX»,且Xc>0,XD>0,yc<y»),,，.x

其次，让学生填空。-4-3-2-111234

当X<0时，函数值y随着x的增大而,当X>0时，函数值y随X的增大而_____；当X

—时，函数值y=ax?(a>0)取得最小值，最小值y=

以上结论就是当a>0时，函数y=ax，的性质。

思考以下问题：

观察函数y=-x\y=-2x，的图象，试作出类似的概括，当水0时，抛物线y=ax?有些什么特点？

它反映了当a<0时，函数y=ax?具有哪些性质？

让学生讨论、交流，达成共识，当a<0时，抛物线y=a/开口向上，在对称轴的左边，曲线自左

向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。图象的这些特点，

反映了当a〈0时，函数y=ax?的性质；当x〈0时，函数值y随x的增大而增大；与x>0时，函数值y

随x的增大而减小，当x=0时，函数值y=ax?取得最大值，最大值是y=0。

五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。

六、作业：1.如何画出函数y=a（的图象？

2.函数y=ax?具有哪些性质？

3.谈谈你对本节课学习的体会。

26.1二次函数（3）

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程，理解二次函数y=ax?+b的性质及它与函

数丫=a/的关系。

重点难点：

会用描点法画出二次函数y=ax'+b的图象，理解二次函数y=ax'+b的性质，理解函数y=ax?

+b与函数y=ax?的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y=ax?+b的性质，理解抛物线y-ax2+b与抛物线y=ax?的关系是教学的难

点。

教学过程：

一、提出问题

1.二次函数y=2x，的图象是一，它的开口向，顶点坐标是__；对称轴是一，在对称

轴的左侧,y随x的增大而_在对称轴的右侧,y随x的增大而_函数y=ax?与x=

时，取最______值，其最______值是。

2.二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=2x?的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？

（画出函数y=2x?和函数y=2x?的图象，并加以比较）

问题2,你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x，与y=2x?+l的图象吗？

教学要点

1.先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y=2x,的图象。

2.教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y=2x?+l的

对应值表，并让学生画出函数y=2x'+l的图象.

3.教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。

解：⑴列表：

X…-3-2-10123…

y=x2•・・188202818・・・

y=x2+l…199313919・・・

（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

⑶连线：用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=2x，和y=2x?+l的图象。

（图象略）

问题3：当自变量x取同-数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象匕相应

的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当X依次取一3,-2,-1,0,1,2,3时一，两个函数的函数值

之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同数值时，函数y=2x2+l的函数值都比

函数y=2x2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y=2x?+l和y=2x?的图象，先研究点(一1,2)和点(—1,3)、点(0,

0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y=2x2+l

的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了•个单位。

问题4：函数¥=2x^+1和y=2x3的图象有什么联系？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向上

平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x?+l与y=2x?的图象开口方向、对称轴相同，但顶

点坐标不同，函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x?+l的图象的顶点坐标是(0,

Do

问题6：你能由函数y=2x,的性质，得到函数y=2x?+l的一些性质吗？

完成填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大，当

x时，函数取得最______值，最______值丫=.

以上就是函数y=2/+l的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y=2x?—2与函数y=2x?的图象，再作比较，说说它们有什

么联系和区别？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时.，教师巡视指导；

2.让学生发表意见，归纳为：函数y=2x?-2与函数y=2x?的图象的开口方向、对称轴相同，

但顶点坐标不同。函数y=2x2-2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y=2x?-2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质

吗？

教学要点

1.让学生口答，函数y=2x?-2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,-2)；

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当xVO时，函数

值y随x的增大而减小；当x>0时;函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得

最小值，最小值y=-2。

问题9：在同一直角坐标系中。函数y=—42+2图象与函数y=—的图象有什么关系？

要求学生能够画出函数y=-$2与函数丫=—家+2的草图，由草图观察得出结论：函数y=一

91/3/+2的图象与函数y=—lx?的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y=—

J*5o

+2的图象可以看成将函数y=—42的图象向上平移两个单位得到的。

O

问题10：你能说出函数y=—J/+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

[函数y=—《2+2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,2)]

O

问题H：这个函数图象有哪些性质？

让学生观察函数y=-52+2的图象得出性质：当xVO时，函数值y随x的增大而增大；当x

>0时，函数值y随x的增大而减小；当x=0时，函数取得最大值，最大值y=2。

四、练习：P9练习1、2、3。

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数y=ax?+k的图象与函数y=ax?的图象具有什么关系？

2.你能说出函数丫=2/+卜具有哪些性质？

六、作业：1.P19习题26.21.(1)

2.选用课时作业优化设计.

第一课时作业优化设计

1.分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(l)y=-2x?与y=-2x2—2；

(2)y=3x2+l与y=3x2—lo

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，

y=*,丫=呆+2,丫=呆-2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。

你能说出抛物线y=1x2+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

3.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=%2得到抛

物线y=*+2和y=1x'—2?

4.试说出函数y=a2,y=$2+2,y=$2—2的图象所具有的共同性质。

26.1二次函数(4)

教学目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—hT的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x—h)2性质探究的过程，理解函数y=a(x-h)2的性质，理解二

次函数y=a(x—h)?的图象与二次函数y=ax?的图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象，理解二次函数y=a(x—h)2的性质，理解

二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax?的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y=a(x—h)?的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax?

的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=一表2,y=-$2-1的图象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系。

(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。

(3)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—l)2的图象与二次函数y=2x，的图象的开U方向、对称轴以及顶点坐标相同

吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x-l)2和二次函数y=2x?的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x?与y=2(x—的图象吗?

教学要点

1.让学生完成下表填空。

X・・・-3-2-10123・・・

y=2x2

y=2(x—I)2

2.让学生在直角坐标系中画出图来：3.教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？

教学要点

1.教师引导学生观察画出的两个函数图象.根据所画出的图象，完成以下填空:

开口方向对称轴顶点坐标

y=2x2

丫=2&一1尸

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y=2(x—与y=

2(的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y=2(x—1产的图象可以看作是函数丫=

2/的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x=l,顶点坐标是(1,0)。

问题4：你可以由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x—l)，的性质吗？

教学要点

1.教师引导学生回顾二次函数y=2x，的性质，并观察二次函数y=2(x—l)2的图象；

2.让学生完成以下填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x

=时，函数取得最_____值丫=。

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+l)z与函数y=2x?的图象，并比较它们的联系和

区别吗？

教学要点

1.在学生画函数图象的同时.，教师巡视、指导；

2.请两位同学上台板演，教师讲评：

3.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l)2与函数y=2x，的图象开口方向相同，但

顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+l)2的图象可以看作是将函数y=2x2的图象向左平移1个单

位得到的。它的对称轴是直线x=-l,顶点坐标是(一1,0)。

问题6；你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2(x+l)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当xV-1时，函数值y随x的增大而减小；当x>

一1时.，函数值y随x的增大而增大；当x=-l时;函数取得最小值，最小值y=0。

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=-；(x+2)2图象与函数丫=一卜2的图象有何关系？

JJ

(函数y=-；(x+2)2的图象可以看作是将函数y=-；x2的图象向左平移2个单位得到的。)

OO

问题8：你能说出函数y=-；(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=一〈(x十2)2的图象开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(—2,0))。

•J

问题9：你能得到函数y=；(x+2)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当xV—2时，函数值y随x的增大而增大；

当x>一2时;函数值y随工的增大而减小；当x=-2时;函数取得最大值，最大值y=0。

四、课堂练习：P11练习1、2、3。

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—Ji》的图象与函数y=ax，的图象有什么联系和区别？

2.你能说出函数y=a(x—h)2图象的性质吗？

3.谈谈本节课的收获和体会。

六、作业

1.P19习题26.21(2).

2.选用课时作业优化设计。

第二课时作业优化设计

1.在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(l)y=4x?与y=4(x—3尸

(2)y=g(x+l)2与y=1(x-1)'

2.已知函数y=—y=-](x+2)2和y=—"(x—2)1

(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y=-l/4x2的图象得到函数y=-[(x+2)2和函

数y=—"(x—2尸的图象？

(4)分别说出各个函数的性质。

3.已知函数y=4x2,y=4(x+l)z和y=4(x—I)?。

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；

⑶试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x，的图象得到函数y=4(x+l)2和函数y=4(x

一1尸的图象，

(4)分别说出各个函数的性质.

4.二次函数y=a(x—h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系？

26.1二次函数(5)

教学目标：

2

1.使学生理解函数y=a(x-h)+k的图象与函数y=a(的图象之间的关系。

2.会确定函数y=a(x—h>+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数y=a(x—h¥+k性质的探索过程，理解函数y=a(x—h)?+k的性质。

重点难点：

重点：确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x-h)2

+k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系，理解函数y=a(x-h)2+k的性质是教学的重点。

难点:正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2

+k的性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.函数y=2x?+l的图象与函数y=2x，的图象有什么关系？

(函数y=2x2+l的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向上平移一个单位得到的)

2.函数y=2(x—l)2的图象与函数y=2x?的.图象有什么关系？

(函数y=2(x—1尸的图象可以看成是将函数y=2xZ的图象向右平移1个单位得到的，见P10图

26.2.3)

3.函数y=2(x—1尸+1图象与函数y=2(x—图象有什么关系?函数y=2(x—1尸+1有哪些性质？

二、试一试

你能填写下表吗？

y=2x2向右平移_2(向上平移y=2(x-l)2+l的图

的图象1个单位)1个单位象

开口方向向上

对称轴y轴

顶点(0,0)

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x—1尸+1与函数y=2(x—1尸、y=2x，图象的关系吗?

问题3：你能发现函数y=2(x-l)2+l有哪些性质？

对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y=2(x—l)2+l的图象可以看成是将函数y=2(x—1尸的图象向上平称1个单位得到的，也

可以看成是将函数y=2xZ的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x<l时，函数值y随x的增大而减小，当x>l时，函数值y随x的增大而增大；当x=l时,

函数取得最小值，最小值y=l。

二、做一做

问题4：在图26.2.3中，你能再画出函数y=2(x—I)?-2的图象，并将它与函数y=2(x—1尸的图

象作比较吗？

教学要点

1.在学生画函数图象时，教师巡视指导；

2.对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。

问题5：你能说出函数y=-1(x-l)2+2的图象与函数y=-；x2的图象的关系，山此进一步说出

这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=-J(x—l)2+2的图象可以看成是将函数y=—9x2的图象向右平移一个单位再向上平移

2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=l,顶点坐标是(1,2)

四、课堂练习：P13练习1、2、3、4。

对于练习第4题，教师必须提示：将一3/-6X+8配方，化为练习第3题中的形式，即

y=-3x2—6x+8-—3(x~+2x)+8-—3(x2+2x+1—1)+8-—3(x+1)2+11

五、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

2.谈谈你的学习体会。

六、作业：

1.巳知函数丫=—#、y=—#—1和y=—/(x+l)。-1

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以山抛物线丫二一提？得到抛物线y=-p-1和抛物线丫

=1(x+l)--1；

(4)试讨论函数y=-/(x+l)2—l的性质。

2.已知函数y=6x3y=6(x—3尸+3和y=6(x+3)°—3。

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=6x2得到抛物线y=6(x—31+3和抛物线y

=6(X+3)2-3；

(4)试讨沦函数y=6(x+3尸一3的性质；

3.不画图象，直接说出函数y=-2/—5x+7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

4.函数y=2(x—l)?+k的图象与函数y=2x，的图象有什么关系？

26.1二次函数(6)

教学目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax?+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,

理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐

标是教学的重点。

难点:理解二次函数y=ax2+bx+c"。)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-*(-

b4ac—b；…、、,」「，、一

k，一~\---)是教学的难点。

2a4a

教学过程：

一、提出问题

1.你能说出函数y=—4(x—2产+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

(函数y=-4(x—2)2+l图象的开口向下，对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1)。

2.函数y=-4(x—2)2+l图象与函数y=-4/的图象有什么关系？

(函数y=-4(x-2)2+l的图象可以看成是将函数y=-4/的图象向右平移2个单位再向上平

移1个单位得到的)

3.函数y=—4(x—2尸+1具有哪些性质？

(当x<2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函数值y随x的增大而减小；当x=2

时，函数取得最大值，最大值y=l)

1耳

4.不画出图象，你能直接说出函数y=—5/+x—5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

151

［因为y=-5x2+x-5=-5(x-l)2-2,所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x=l,

顶点坐标为(1,-2)］

15

5.你能画出函数y=—/2+x-］的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗？

二、解决问题

15

由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y=-犷+x—万的图象的开口方向、对称轴和顶

15

点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y=-5x2+x-］的图象，进而观察得

到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

x…—2—101234

y•••——4——2——4—...

1111

62222?62

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=-^x'+x-宙的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x=l,以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的

函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。

所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当x<l时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时，函数值y随x的增大而减小；

当x=l时，函数取得最大值，最大值y=-2

三、做一做

1.请你按照上面的方法，画出函数y=1x2-4x+10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪

些性质吗？

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x?+8x—8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函

数有最大值还是最小值?这个值是多少？

教学要点

(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值

或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次

函数y=ad+bx+c(aWO),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来

吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

y=ax2+bx+c=a(x2+-x)+c=a[x2+1x+皮尸一(卷)1+c=a[x2+-x+

(x+Q4ac-b'

=a

4a

当a>0时，开口向上，当aVO时，开口向下。

对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(一h六上4Ac卜—一h

2a4a

四、课堂练习：P15练习第1、2、3题。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业：

1.填空：

(1)抛物线y=x,—2x+2的顶点坐标是；

5

(2)抛物线丫=2—-2*—5的开口,对称轴是；

(3)抛物线丫=-2—-4*+8的开口,顶点坐标是；

(4)抛物线y=-1x2+2x+4的对称轴是；

⑸二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=.

2.画出函数y=2x?-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x'+2x；(2)y=—xJ—2x

(3)y=-2x2+8x-8(4)y=1x2-4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质

26.1二次函数(7)

教学目标：

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学

生用数学的意识。

重点难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围，既是教学的重点又是

难点。

教学过程：

一、复习旧知

1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(l)y=6x2+12x；(2)y=-4x2+8x-10

[y=6(x+l)2—6,抛物线的开口向上，对称轴为x=-1,顶点坐标是(一1,—6)；y=-4(x

—1)2—6,抛物线开口向下，对称轴为x=l,顶点坐标是(1,-6))

2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分

别是多少？(函数y=6x?+12x有最小值，最小值y=-6,函数y=-4x?+8x—10有最大值，最

大值y=-6)

二、范例

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题；

例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花

圃的面积最大？

解：设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(20—2x)m,由于x>0,且20—2x>0,所以0<x

<10»

围成的花圃面积y与x的函数关系式是

y=x(20-2x).//1////，，/12,

即y=-2x2+20x

配方得y=—2(x—5)2+50

所以当x=5时，函数取得最大值，最大值y=50。I_____L

因为x=5时，满足0<x<10,这时20-2x=10。1

所以应围成宽5m,长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。

例2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过

降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0J元，其销售

量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

教学要点

(1)学生阅读第2页问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答；(3)教师巡视、指导；(4)

教师给出解答过程：

解：设每件商品降价x元(0Wx<2),该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是：y=(10—x—8)(100+100x)

即y=-100x2+100x+200配方得y=-100(x—》z+225

因为x=5寸，满足0WxW2。所以当x=5寸，函数取得最大值，最大值y=225。

所以将这种商品的售价降低+元时，能使销售利润最大。

例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。

应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透

光面积是多少？

先思考解决以下问题：

6—3x

(1)若设做成的窗框的宽为xm,则长为多少m?(―^-m)

(2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围,并说明理由。让学生讨论、

|x>0

6—>o,即解不等式组jus,。，解这个不等

交流，达成共识：根据实际情况，应有x>0,且一二

式组，得到不等式组的解集为0<xV2,所以x的取值范围应该是0VxV2。

(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?

6—Rx3

(y=x•—^―,即y=-5X?+3X)

详细解答见P16。

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函

数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；(4)检验x的取值是否在自变量

的取值范围内，并求相关的值：(5)解决提出的实际问题。

三、课堂练习：P16练习第1、2、3题。

四、小结：1.通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑？

2.谈谈你的收获和体会。

五、作业：

1.求下列函数的最大值或最小值。

(l)y=-x2-4x+2(2)y=x2-5x+1(3)y=5x2+10(4)y=-2x2+8x

2.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少

时，S最大？

3.填空：

⑴二次函数y=x?+2x—5取最小值时，自变量x的值是；

(2)已知二次函数y=x2—6x+m的最小值为1,那么m的值是。

4.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有

一道篱笆的养鸡场，没靠墙的筒笆长度为xm«

/«/上＜Z，/

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场|一！；

面积最大，鸡场的长应为多少米？图(1)

(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论？

5.如图(2),已知平行四边形ABCD的周长为8cm,ZB=30°,若边长AB=x(cm)。

(1)写出OABCD的面积y(cn?)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。

(2)当x取什么值时，y的值最大?并求最大值。

(3).求二次函数的函数关系式

图⑵

26.2用函数的观点看一元二次方程(1)

教学目标：

1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。

2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。

3.进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点难点：

重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数

及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.

教学过程：

一、引言

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨