新教材人教B版高中数学必修第四册全册教学案（知识点考点汇总）

人教B版高中数学必修第四册全册学案

9.1正弦定理与余弦定理....................................................-2-

9.1.1正弦定理........................................................-2-

9.1.2余弦定理.......................................................-14-

9.2正弦定理与余弦定理的应用.............................................-23-

9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离..............................-23-

10.1复数及其几何意义.....................................................-39-

10.1.1复数的概念.....................................................-39-

10.1.2复数的几何意义.................................................-48-

10.2复数的运算...........................................................-56-

10.2.1复数的加法与减法...............................................-56-

10.2.2复数的乘法与除法...............................................-64-

*10.3复数的三角形式及其运算..............................................-73-

11.1空间几何体...........................................................-84-

11.1.1空间几何体与斜二测画法.........................................-84-

11.1.2构成空间几何体的基本元素.......................................-94-

11.1.3多面体与棱柱.................................................-106-

11.1.4棱锥与棱台....................................................-116-

11.1.5旋转体........................................................-126-

11.1.6祖瞄原理与几何体的体积.......................................-136-

11.2平面的基本事实与推论................................................-147-

11.3空间中的平行关系....................................................-158-

11.3.1平行直线与异面直线............................................-158-

11.3.2直线与平面平行................................................-166-

11.3.3平面与平面平行................................................-177-

11.4空间中的垂直关系....................................................-187-

11.4.1直线与平面垂直...............................................-187-

11.4.2平面与平面垂直...............................................-199-

9.1正弦定理与余弦定理

9.1.1正弦定理

学习目标核心素养

1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.(重点)

1.借助正弦定理的推导，提升

2.理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正

数学抽象、逻辑推理的素养.

弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判三角

2.通过正弦定理的应用的学

形的形状.(难点)

习，培养数学运算、直观想象

3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、

的素养.

易错点)

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布

瓦法(940〜998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的

证明最先是纳绥尔丁-图西(1201〜1274)给出的.我国清代数学家梅文鼎(1633〜

1721)在他的著作《平三角举要》中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整

形式.

思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？

不新知初探「

1.三角形的面积公式

(1)S=^a-ha=^b-hb=^c-hc(ha,hb,心分别表示。，b,c边上的高).

(2)S=g〃0sinC=,CcsinA=、acsinB.

(3)S=；(a+Z?+c"(?•为内切圆半径).

2.正弦定理

在一个三角形中,各边的长和它

所对角的正弦的比相等

3.解三角形

⑴一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素.

⑵已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.

思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？

［提示］需要两角和一边或两边和其中一边的对角.

［拓展］

1.正弦定理的常用变形式

在△ABC中，若内角A,B,。所对的边长分别为a,b,c,其外接圆半径为

R.则

(l)tzsinB=bsinA,加inC=csinB,asinC=csinA；

(2)sinA：sin8：sinC=a-b'c；

a-\~b+c

=2R；(证明见类型4［探究问题］)

⑶sinA=sinBsinCsinA+sinB+sinC

(4)q=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(可以实现边到角的转化)

cihc

(5)sinA=旅，sinB=诙，sin。=砺.(可以实现角到边的转化)

2.三角形中边角的不等关系

(1)若可得a>O>c,则sinA>sin8>sinC；

(2)若sinA>sinB>sinC,可得a>b>c,则A>8>C

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

⑴正弦定理不适用于钝角三角形.()

(2)在△ABC中，等式切inA=asin8总能成立.()

［提示］(1)X.正弦定理适用于任意三角形.

ah

(2)J.由正弦定理知而^=而小，即从inA=asinB.

［答案］(1)X(2)V

2.在△ABC中，sinA=sinC,则△43。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

B［因为A,C是△ABC的内角，所以A+CVTT,又因为sinA=sinC,所以

A=C,即△ABC为等腰三角形.］

3.在△ABC中，已知a=3,b=5,sinA=；,则sinB=（）

A.7B.|。.乎D.1

5X1

B［由正弦定％^=磊可得，sin八绊^二24故选B」

4.在△ABC中，若等=型产，则B的大小为.

71十,、、皿乙sinAcosB

"7［由正弦定理知-IT=~,

4LsinAsinBf

71

..sinB=cosB,又•二8仁①,兀）,

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

类型I已知两角及一边解三角形

【例1】(1)在△ABC中，已知a=18,S=60°,C=75°,求人的值;

(2)在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,求a,b.

［解］(1)根据三角形内角和定理，得

4=180°—(3+0=180°-(60°+75°)=45°.

,p,asinB18sin60°八r-

根lr据正弦/O里，不为=~^彳=sin45。=9m.

(2)法一：V>1=45O,C=30°,.•.8=180°—(A+。=105°.

accsin410Xsin45°r-

由；1^=茄七付a=l^~C=sin30°=32.

Vsin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=

啦+册

4

.7,csinB啦+加巧r-

・・/?一§指c_20X4—572+576.

法二：设△ABC外接圆的直径为2R,

c10

贝=

I2R=siin7C^~sin.3c0o=20.

易知5=180°—(A+C)=105。，

a=27?sinA=20Xsin45°=10^2,

/?=27?sinB=20Xsin105°

=20X也;#=5啦+5"

厂....••规1^<^法・.......--

已知三角形的两角和任一边解三角形的方法

(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形

内角和定理求出第三个角.

(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再

由正弦定理求另外两边.

提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即

将非特殊角转化为特殊角的和或差)，再根据上述思路求解.

［跟进训练］

1.在△ABC中，a=5,8=45。，C=105°,求边c.

［解］由三角形内角和定理知A+8+C=180°,

所以A=180°-(B+Q=180°-(45°+1O5°)=3O°.

nr

由正弦定理一7=—不，

sinAsinC'

用sinCsin105°sin(60°+45°)

付c~而L*丁而=5XV30。

sin60°cos450+cos60°sin45°

=5X---------------------

°sin30°

=|(加+啦).

寸型2已知两边及其中一边的对角解三角形

【例2】在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：

b=y[39A—30°；

(2)a=l,b=小,5=120°.

r即、/八3313、B.n"SillA乖SM300事

[ft?](1)根据正弦定理，sinB=-^—=z-j----=看,

■:b>a,AB>A=30°,AB=60°^120°.

当8=60。时，C=180°-(A+B)=180°-(30°+60°)=90°,

.Z?sinCy[3

,>c=sinB=sin60o=2：

当8=120。时，。=180。—04+8)=180。一(30。+120。)=30。=4,：.c=a=\.

/-MW十力4口.4tzsinBsin12001

(2)根据正弦定理，sinA=卫==2,

因为8=120。，所以A=30。，则C=30。,c=a=l

厂.....规律C方法.....................

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

(1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用

三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是锐角，当已知的角为大边所

对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则

不能判断，此时就有两解，分别求解即可.

(2)根据三角形内角和定理求出第三个角.

(3)根据正弦定理求出第三条边.

[跟进训练]

2.已知△ABC分别根据下列条件解三角形：

(l)a=2,c=册，C=p

(2)a=2,c=#,A=；.

[解](1)7'=-：八

11''sinAsinC

..,asinC或

..sinA=

2•

兀

'.*c>a9・・C>A・・A=a.

V6Xsin:

.八5兀,csinB

・・B=',,b=~~~k=小+1.

12smC.兀

sm3

⑵••q=q

"sinAsinC'

・•八csin-

・・

sinC—a—g2.

兀，271

又・Q<C,・・C=§或3.

“一兀Ln5兀,asinBr-,.

当C=3时，B=五,1,=--^=^+1,

,,「2兀CL兀,«sinBr-

当°=至时，8=五，b=-X=y[3-l.

三角形的面积公式及其应

'类型"

用

【例3】在△ABC中，已知8=30。，AB=2小,AC=2.求△ABC的面积.

[解]由正弦定理，得sinC=AB：；B二坐,

/iCz乙

KAB-sinB<AC<AB,故该三角形有两解：C=60°或120。.

当C=60°时,4=90°,

S/\ABC=2^B-AC-sinA=2，§;

当C=120。时,A=30°,

S/\ABC=2^B-AC-sinA=\[3.

所以△ABC的面积为2#或小.

.....规律＜方法.....

求三角形面积的公式

求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有

目的地为具备两边及其夹角的条件做准备.

［跟进训练］

.J5

3.在△A3C中，a,b,c分别是角A,B,。的对边，若tanA=3,cosC='".

⑴求角B的大小；

(2)若c=4,求aABC的面积.

[解](l)VcosC=^~,.,.Ce[o,7

，sinC=¥，tanC=2.

tanA+tanC

又VtanB=-tan(A+C)=

1—tanAtanC

J十z,兀

]—3X2=1，且0V3V兀，・・・3=疝

hc

⑵由正弦定理硒=砧，得

.R4义坐

csinB_____2__r—

JsinL2^/5一小°，

5

由sinA=sin(B+C)=sin^+C

产..—况叵

彳于sinAJ。,

Z\ABC的面积SzsABC=]AcsinA=6.

、类型4利用正弦定理判断三角形的形状

［探究问题］

1.已知△ABC的外接圆。的直径长为2H,试借助△ABC的外接圆推导出正

弦定理.

［提示］如图，连接80并延长交圆。于点。，连接CO,则N3CO=90。,

A

D

BC

ZBAC=ZBDC,

在RtABCD中，BC=BD-sinZBDC,

所以«=2/?sinA,

=同理-；=7=2R,

smAT2/?',sinBD27?,'~sinC'

“，abc”

所以-7=~•n=~7=2R.

sinAsinBsinC

2.根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问

题？

［提示］利用正弦定理，可以解决：（1）已知两边和其中一边的对角解三角形；

（2）已知两角和一边解三角形.

【例4】在△A5C中,若sinA=2sinBcosC,Ksin2A=sin2B+sin2C,试判

断△ABC的形状.

［思路探究］①4=兀一（8+。）.

②边角转化，sin4=品，sin8=痣，sin。=或（H为△ABC外接圆的半径）.

Zi\Z.KZ/\

dhc

［解］法一：在AABC中，根据正弦定理：排=*"=m7；=2R（R为△ABC

外接圆的半径）.

Vsin2A=sin2B+sin2C,

222

•,僚=阂+㈤，

即a1=b2+c2,

：.A=90°,：,B+C=90°,

由sinA=2sinBcosC,

得sin90°=2sinBcos（90°-B）,

/.sin2B=^.

•.•8是锐角，；.sinB=*,

.•.8=45。，C=45°,

二△ABC是等腰直角三角形.

法二：在△A3C中，根据正弦定理，得

sinA=/,sinB=4,sinC=4(R为△ABC外接圆的半径).

sin2A=sin2B+sin2C,

.'.a2=b2+c1,

：.△ABC是直角三角形且4=90°.

VA=180°-(B+C),

sinA=2sin8cosC,

.".sin(B+C)=2sinBcosC.

sinBcosC-cosBsinC=0,

即sin(8-O=0.；.8-C=0,即B=C

AABC是等腰直角三角形.

［母题探究］

（变条件）若将题设中的“sinA=2sin8cosC”改为“加inB=csinC”，其余不

变，试解答本题.

nhc

［解］由正弦定理，为△ABC外接圆半径），得sinA

=赤'sin'=诲'sinC=也.

/?sinB=csinC,sin2A=sin2B+sin2C,

222

•••脸=。品阂=阂+阖,

/.Z?2=c2,a2=i>2+c2,

:.b=c,A=90°.

AABC为等腰直南三角形.

厂.....••规律C方法.......-

利用正弦定理判断三角形形状

（1）判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是

等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特别注意“等腰

直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.

(2)在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理转化

为角的关系(注意应用A+3+C=7i这个结论)或边的关系，再用三角恒等变换或代

数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不能约掉,

而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状.

类型___________利用正弦定理进行边角互化

【例5】在△A3C中，若acos^+ccos^n争，求证：a+c=2b.

［思路探究］①已知等式中有边a",c,则要想到边化角的变形公式a=2Rsin

A,Z?=27?sinB,c=2HsinC；(R为△ABC外接圆半径)

_,1+cos2a

(2)cosa------2------

［证明］因为acos2/+ccos2'=当，

所以由正弦定理得sinAcos^+sinGeos,=3sB

,,,...1+cosC.l+cosA3sinB

所r以sinA------2-----+sinC------------='—一;

即sinA+sinAcosC+sinC+sinCeosA=3sinB,

所以sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,

所以sinA+sinC=2sinB,

所以由正弦定理可得a+c=2".

厂.........规律c方法...........一

I.已知或所求等式中只有边的关系就用边化角的变形公式.

2.已知或所求等式中只有角的正弦的关系就用角化边的变形公式.

3.已知或所求等式中既有边的关系也有角的关系，就尝试使用这两组变形公

式.

［跟进训练］

4.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1+嬴石+石=。，则

A=.

2无,_…一〜,tanA,2sinC„

Tr[由正弦无理可付1+嬴g+高互=0，

§inAcos82sinBsin（A+B）2sinC

故1+cosAsin5+sin3=0'cosAsinB+sinB=0,

sinC2sinC_

cosAsinB'sinB~'

因为8,ce（o,兀），所以黑下力0,所以^^+2=0，

即cosA=一,

2兀

因为Ae（0,7i）,所以A=3~J

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

Q必备素养—]

知识：

1.利用正弦定理解三角形的类型及解法

类型已知条件一般解法

,qsinB八/一c、〃sinC

A,B,a

smA''sinA

已知三角形的两角和

bsinA-/一c、bsinC

A,B,b“sin8,C-n-(A+S),c-

任意一边sinB

-,一c、csinAfcsinB

A,B,cC-LG+B),a-sinc，〃-sinC

.?AinA,,asinC

已知三角形的两边和sinB—，C—7i—(A+BD),c—.4

A,b,aCLbillzl

其中一边的对角

(解的个数不一定唯一)

2.利用S=gabsinC=^acsinB=^/?csinA可以计算三角形的面积

方法：

1.利用正弦定理进行边角转化的两条途径

⑴化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式

的有关知识（分解因式、配方等）得到边的关系.利用的公式为sin4=焉,sin8=痣,

.「C

sinC2R.

（2）化边为角.将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函

数的有关知识得到角的关系.利用的公式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC.

2.判断三角形形状的方法通常有以下两种

（1）边化角.考察角的关系主要有：

两角是否相等；三个角是否相等；是否有直角等.

（2）角化边.考察边的关系主要有：

两边是否相等；三边是否相等；是否满足勾股定理等.

u学以致用」

1.在△ABC中，若sinA>sinB,则A与8的大小关系为（）

A.A>BB.A<BC.A^BD.不能确定

A[由正弦定理得sinA>sin3台台故选A.]

2.在△ABC中，A,B,C所对的边分别是a,b,c,若8=30。，b=2,则竦7

的值是（）

A.2B.3C.4D.6

C[由正弦定理可得忘=品=熹=4.]

3.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,。所对的边，且满足；^匕=

COSri

品h则CAABC的形状是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

_.abc<bc_sinAsinB

C[由T==7^*口弦定T=~~,可彳寸~7=Q

LcosAcosBcosCsinAsinBsinCcosAcosB

sinC*

=即==所以

~c~os7C',tanAtan5tanC',A=8=C.

故△ABC为等边三角形.]

4.在△ABC中，已知a=8,8=60。，C=75°,求A,b,c.

［解］A=180°-(B+Q=180°-(60°+75°)=45°.

h_____a_2,asinB8Xsin60°

由正弦定理•仔2H=m45。一=4诬r

sinB"-sinA

J2+2/6

tCasinC8Xsin750°入4

得°==4(小+1).

由sinA=sinC'sinAsin45°

2

9.1.2余弦定理

学习目标核心素养

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明1.借助余弦定理的推导，提升逻辑推理的

余弦定理的方法.（重点）素养.

2.会运用余弦定理解决简单的三角形度2.通过余弦定理的应用的学习，培养数

量和边角转化问题.（重点、难点）学运算的素养.

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长度.工程技

术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B,C的距离，其中43=小

km,AC=1km,再利用经纬仪测出A对山脚8C（即线段8。的张角N8AC=150°.

思考：根据上述条件你能求出山脚3c的长度吗？

.新知初探「

1.余弦定理

⑴三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余

弦的积的2倍.

即/=1J—2Z?CCOSA,/?2=,『+。2—24CC0SB,

/=廿+/一2a/?cosC.

(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.

①已知三边，求三角.

②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

2.余弦定理的推论

一+。2—一

cos4一后-:

H+d-/

COSB=lac

/+.2一02

COSC=cI.

［拓展］

b2+c2-a2

(1)若^2+c2＞a2,根据余弦定理的推论可知cosA=­痂一＞0,则角A为

锐角.同理可得，若/+后＞。2,则角民角。为锐角.所以当从十

C2＞«2,/+02＞/，且/+户＞02时，△ABC是锐角三角形.

/+(72—

(2)若从+,2＜。2,根据余弦定理的推论可知cosA=—荻一＜0,贝(△ABC

是钝角三角形且角A是钝角.同理可得，若/+。2＜层，则△ABC是钝角三角形

且角B是钝角；若则AABC是钝角三角形且角。是钝角.

/?2+C2一

(3)若〃+。2=。2,根据余弦定理的推论可知cosA=一酝一=0,

是直角三角形且角A为直角.同理可得，若°2+,2=/,则△ABC是直角三角形

且角3是直角；若〃+层=,2,则△ABC是直角三角形且角C是直角.

从这个意义上讲，余弦定理是勾股定理的推广.

|~1»初试身品bi

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)

⑴在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用

余弦定理去解.

⑵余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形.

()

(3)利用余弦定理，可解决己知三角形三边求角问题.()

(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例.()

［提示］(1)X.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对

角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解.

(2)J.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.

(3)J.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.

(4)余弦定理可以看作勾股定理的推广.

［答案］(1)X⑵J(3)V(4)7

2.在△ABC中，sinA：sinS：sinC=3：2：3,则cosC的值为()

A.1B.-3C.1D.一(

A［根据正弦定理，a',bc=sinAsinBsinC=3：2：3,设a=3攵，

b=2k,c=3k(k>0),

,9然+4M一9-J

则cosc=2X37X21

3.在△ABC”i,a=3yf^,b=2'\［^,cosC=§,则c'=.

30-476［由余弦定理可得。2=(3也产+(2小)2—2X3也义2小X；=18+12

-4^6=30-4^6.］

4.在△ABC中，若/=/+次+。2,则A=.

120°［'：cr=b2+bc+c2,

.".b2-{-c2-a2=-bc,

.—+(72-—be1

；.cosA=­荻—=%}=一］，

又•.•0°VAV180。，

/M=120o.］

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素希形成

N类型1/已知两边及一角解三角形

【例1】(1)在△A3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b

=2,cos(A+B)=§,则c=.

⑵已知△ABC,根据下列条件解三角形：

a=y13,b=y/2,B=45°.

⑴V万[由三角形内角和定理可知cosC=-cos(A+B)=一；,又由余弦定理

ci=a1+b2-2abcosC=9+4-2X3X2X^-|j=17,所以。=拒.］

(2)［解］由余弦定理知Z?2=«2+c2-2accosB.

/.2=34-c2—2^3义坐c.

即?-V6c+1=0,解得c=驾盅或,=七盅

Ii

乖；娟时,由余弦定理，得cosA=

当C

2bc广巡+啦2,

2XA/2X

2

V0o<A<180°,=60°,.,.C=75°.

\[f)--x/2层+。2-42

当d时，由余弦定理，得cosA=―赤一

2

1

2-

V0o<A<180°,.,.A=120°,C=15°.

故c=3-2，A=60°,C=75°或c=X-?、一,A=120°,C=15°.

厂........规律C方法..............

已知两边及一角解三角形的解题思路

⑴若已知角是两边的夹角.则直接运用余弦定理求出另外一边，求其余角时

有两种方法:

方法一，继续选用余弦定理求解，此方法计算量稍大但是不会出现多解.

方法二，用正弦定理求解，此方法计算量小，但是会出现多解的情况，计算

时要多加小心，利用“大边对大角，小边对小角”来排除多余解.

(2)若已知角是其中一边的对角，有两种方法，一种方法是利用正弦定理先求

角(要注意角的取舍，避免产生多解)，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于

另一边的一元二次方程求解(应注意对方程解的取舍).

［跟进训练］

1.在aABC中，已知a=5,b=3,。的余弦值是方程5/+7x—6=0的根，

求第三边长c.

［解］5X2+7X-6=0可化为(5X—3)(X+2)=0.

3

%2=—2(舍去).

3

COSC=y

根据余弦定理，

3

c2=«2+/?2-2a/?cosC=52+32-2X5X3X^=16.

，c=4,即第三边长c为4.

必型2已知三边或三边关系解三角形

【例2】(1)已知△A3C的三边长为a=3,b=4,c=V37,求△ABC的最大

内角.

(2)在△ABC中，已知,4-252+//2+/+42/?2+/?4=0,求角

［解］(l)'.'c>«,c>b,最大.

由余弦定理，得。2=/+/-2。反osC,

即37=9+16-24cosC,

.C1

..cosC=­z,

V0°<C<180°,

C=120°.

.'.△ABC的最大内能为120°.

422

(2)Vc-2(/4-Z>)C+/+湍+—=0,

[c2—(<22+/?2)]2—aV=O,

则c1—((^+b2)=±ab,

廿+廿一J1

故cosC=2^t>=±2'

又,/O0<C<180°,C=60°或C=120°.

厂......规法.....................

已知三角形的三边解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理

或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定

理求出第三个角.

(2)根据余弦定理的推论可知，只要将三角形三边求出，或求出三边长度的比

值，或求出类似于/+/_,2="的关系式，就可以求出三个角的余弦值，进而

求出三个角的大小.

[跟进训练]

2.在△ABC中，已知(a+0+c)S+c—a)=3儿，则角A等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

B[\'(b+c')2-a1=b2+(r+2bc-a2=3bc,

.—a'/?。，

/+J—/]

AcosA=---而---=2，又角A为ZxABC的内角，

.•*=60。.]

正、余弦定理的综合应

|逮型37

用

「探究问题]

1.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,若/=62+,2,则sin2/l=

si/B+sin2c成立吗？反之，说法正确吗？为什么？

[提示]设△ABC的外接圆半径为R.

由正弦定理的变形，将a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC,代入/=/+

d可得siYAMsiTB+sin2c反之，将sinA=&,sin8=4,sin。=木代入sin2A

Z/\Zi\IK

=sin2B+sin2C可得/=/+/因此，这两种说法均正确.

2.在△ABC中，若c2=a2+Z?2,则C=］成立吗？反之，若C=^,则c2=a2

+从成立吗？为什么？

［提示］因为c2=a2+b2,所以a2+b2—c2=O,由余弦定理的变形cosC=

22

/+/-c°,,兀一、“兀，„4?+/-c

---Y~i---=0,即cosC=0,所以C=5,反之.右C=5,则cosC=0,即---------

=0,所以廿+/一02=0,即。2=/+02.

【例3】在△ABC中，若(a-ccosB)sinB=3—ccosA)sinA,判断△ABC

的形状.

［思路探究］角边转化.

［解］法一：V(a—c-cosB)sinB=(i>—ccos/l)-sinA,

由正、余弦定理可得：

(d+c2一户|(

"一。2ac亡=也一。2bc卜，

整理得：(/+/—&)伊=(廿+/—。2%2,

即(/—/)(/+82一。2)=0,

.,.a2+h2—c2=0或a^=h2.

.,.a2+b2=c1或a=b.

故△ABC为直角三角形或等腰三角形.

法二：根据正弦定理，原等式可化为：

(sinA-sinCeosB)sinB=(sinB-sinCeosA)sinA,

即sinCeosBsin3=sinCeosAsinA.

sinCWO,Asin8cos8=sinAcosA,

/.sin28=sin2A.

：.2B=2A或23+2A=TT,

TT

即A=B或A+B=2.

故△ABC是等腰三角形或直角三角形.

厂••规律c方法.......一

正、余弦定理判断三角形形状

(1)法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助正弦定理，

将已知等式转化为角的三角函数关系式.这两种方法是判断三角形形状的常用手

段.

(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理;

反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上

特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.

［跟进训练］

3.已知在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且满足(sinA

+sinB)(a-b)=(sinC-sinB)c.

⑴求A的值；

(2)若。=6十小，cos3=3,求a的值.

［解］(1)因为(sinA+sinB)(a—b)=(sinC-sinB)c,

所以根据正弦定理得(a+»(a—Z?)=(c—A)c,即h2+c~—a2=bc.

在AABC中，由余弦定理得cosA=―痂一，

将〃+<?—。2=儿.代入上式，

171

得cosA=］,因为A£(0,兀)，所以A=?

.____、后

(2)由86(0,7T),cos3-得sinB=qi-cos2B=¥，

所以sinC=sin(A+B)

=sinAcos5+cosAsinB

A/31A/63+班

=2*3+野3=6

V2+V3^3

由正弦定理得a=5亩不inA=-3+V6~X2-1

6

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

匚必备素养」

知识：

1.余弦定理.

2.余弦定理的推论.

方法：

解三角形时对题目条件进行变形的常有途径：

用正、余弦定理进行边、角转换.若将边的关系转化为角的正弦的式子，常

用正弦定理进行变形求解；若将角的关系转化为边的关系，常结合余弦定理解题.

小学以致用

1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

^2_1_g240।

B[设中间角为角8,由余弦定理，得cosB=所以8=