江西省上饶市私立五洲学校高二数学理下学期期末试题含解析

江西省上饶市私立五洲学校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数,若,则必有A．

B．

C．

D．参考答案：A2.设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为(

)A．8 B．7 C．2 D．1参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3.函数y=的定义域是（）A．[4，+∞） B．（4，+∞） C．（﹣∞，4] D．（﹣∞，4）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}，由此能求出结果．【解答】解：函数y=的定义域是{x|4﹣x≥0}，解得{x|x≤4}，故选C．4.在直角坐标系中，函数的零点大致在下列哪个区间上（

）A. B.（1，2） C. D.参考答案：C分析：由零点存在定理，计算区间两个端点处函数值，只要函数值异号即得．详解：，，，∴零点应在区间．故选C．点睛：5.设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上()A．是增函数且

B．是增函数且C．是减函数且

D．是减函数且参考答案：D略6.点的内部，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D.参考答案：A7.设点P是函数的图象上的任意一点，点，则的最大值为（

）． A． B． C． D．参考答案：B由函数，得，，对应的曲线为圆心在，半径为的圆的下部分，∵点，∴，，消去得，即在直线上，过圆心作直线的垂线，垂足为，则．故选．8.已知，则在方向上的投影是（）A．1 B．﹣1 C． D．参考答案：B【考点】向量的投影．【分析】由题意及相关的公式知可以先求出两向量的内积再求出，求出的模，再由公式求出投影即可【解答】解：由题意，∵∴在方向上的投影是==﹣1故选B9.与直线关于x轴对称的直线方程为

（

）A、

B、C、

D、参考答案：A10.在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,1,2)到平面的距离为（

）A.3 B. C. D.参考答案：B【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知,则

.参考答案：考点：两角差的正切公式及运用．12.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是

cm3．参考答案：1613.若a≤–1，则不等式≥a的解是

。参考答案：(–∞，–1]∪[1，+∞)14.圆为参数）上的点P到直线为参数）的距离最小值是_______．参考答案：【分析】化成直角坐标方程后用点到直线的距离，再减去半径．【详解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圆心（0，1）到直线x-2y-3=0的距离，所以所求距离的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.已知的三边长分别为，其面积为，则的内切圆的半径.这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”.请用类比推理方法猜测对空间四面体存在类似结论为____

.参考答案：四面体的各表面面积分别为，其体积为，则四面体的内切球半径略16.已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则椭圆离心率的范围是． 参考答案：【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，由B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推得|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|，代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出，即离心率e，再由α的范围确定e的范围． 【解答】解：∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上， 设左焦点为F′， 根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a， 又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a，① O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c， 又|AF|=2csinα，② |BF|=2ccosα，③ 把②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a， ∴=，即e==， ∵α∈[]， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了定义在解圆锥曲线问题中的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题． 17.以下同个关于圆锥曲线的命题中①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线有相同的焦点.⑤经过点P（1，1）作直线l，若l与双曲线x2－y2=1有两个不同的公共点，则直线l的斜率k的取值范围是{k|k＜1}其中真命题的序号为

（写出所有真命题的序号）参考答案：③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．参考答案：解：（1）设，，．∵是线段的中点，∴

………2分∵分别是直线和上的点，∴和．∴

…………4分又，∴．

…………5分∴，∴动点的轨迹的方程为．

…………6分（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为．…………7分设、、，则两点坐标满足方程组消去并整理，得，

…………9分∴，①

．

②

………10分∵，∴．即∴．∵与轴不垂直，∴，∴，同理．

………12分∴．将①②代入上式可得．

…………14分

略19.△ABC中,BC=7,AB=3,且.(1).求AC;(2).求角A.参考答案：(1).由正弦定理,得,∴.∴.

(2).由余弦定理,得又,∴20.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即

，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）21.（本小题满分12分）已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F。（1）求证：⊥平面EBD；（2）求点A到平面的距离；（3）求平面与直线DE所成角的正弦值。参考答案：（1）证：以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），，，设，则：

＝0，，，，又平面EBD。 ……4分（2）连接到平面的距离，即三棱锥的高，设为h，，由得：，∴点A到平面的距离是。……8分（3）连接DF，⊥⊥⊥平面是DE在平面上的射影，∠EDF是DE与平面所成的角，设，那么①

∥

②

由①、②得，在Rt△FDE中，。∴sin∠EDF＝，因此，DE与平面所成的角的正弦值是………12分22.已知函数在时取得极值且有两个零点.（1）求k的值与实数m的取值范围；（2）记函数f(x)两个相异零点，求证：.参考答案：（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先对函数求导，根据极值点求出，得到函数解析式，再由有两个零点，得到方程有2个不同实根，令，根据导数的方法研究单调性与最值，即可求出的取值范围；（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式.【详解】（1）因为，所以，又在时取得极值，所以，即；所以，因为有两个零点，所以方程有2个不同实根