八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19.3正方形第2课时正方形的判定授课课件新版华东师大版

第2课时

正方形的判定19.3正方形第19章

矩形、菱形与正方形1课堂讲解正方形面积的性质正方形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升（1）正方形是怎样的平行四边形？（2）正方形是怎样的矩形？（3）正方形是怎样的菱形？1知识点正方形面积的性质知1－讲正方形面积等于边长的平方或对角线平方的一半.知1－讲例1〈山西〉如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(

)A.B.

C.

D.D知1－讲导引：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．如图，过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°.又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM＋∠MEQ＝90°.∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋∠MEQ＝90°，知1－讲∴∠PEM＝∠NEQ.∵CA是∠BCD的平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形．在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN(ASA)．∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积．∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝

∵EC＝2AE，∴EC＝

知1－讲∴EP＝PC＝

∴正方形PCQE的面积＝

∴四边形EMCN的面积＝本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的正方形中，再利用正方形的性质求出，解答过程体现了割补法及转化思想．总结知1－讲1

(中考·南京)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________．知1－练2如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△BDF的面积为(

)A．4B.C．

D．2知1－练2知识点正方形的判定知2－导讨论老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后，这样检验它：比较边的长度，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务.这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形.这种检验对吗？知2－导小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的.按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？知2－讲1.判定方法：(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形．知2－讲2.四边形间的关系：(1)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的包含关系如图.知2－讲(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如图：知2－讲例2如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：四边形CFDE是正方形．要证四边形CFDE是正方形，首先要确定这个正方形建立在哪种四边形的基础上，即先证它是什么四边形；再证这种四边形是正方形需要补充的条件．导引：知2－讲∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.同理DF∥CE，∴四边形CFDE是平行四边形．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴CFDE是菱形．∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．∵∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，∴四边形CFDE是矩形．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．证法一：证法二：证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角”；方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；方法4：证：“菱形＋一个直角”．

说明：在判定四边形是正方形时，四边形常常是建立在矩形或菱形的基础上，采用方法3、方法4进行证明；如证明中的证法一、证法二；本例也可采用方法1、方法2，请读者去试一试．总结知2－讲知2－讲例3如图，已知在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．知2－讲要证ABCD是正方形有三种途径可走：即在平行四边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的条件进行证明；若要证明ABCD是菱形，由于题中条件与对角线相关，则需证AC⊥BD.(1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证出结论；(2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论．导引：知2－讲(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形．证明：证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；(4)证：“菱形＋对角线相等”．证明一个四边形是正方形的方法：结合条件选择合理的判定方法，一般先证明是矩形，然后找出一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明是菱形，然后找一个角是直角或对角线相等．总结知2－讲知2－讲例4已知：如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是正方形．要证四边形EFGH是正方形，以四边形、平行四边形、矩形、菱形为基础都可以证出所要证的结论；若以四边形为基础，则只需证明四条边相等，四个角是直角即可．导引：知2－讲∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EF∥GH∥AC，FG∥EH∥BD，且EF＝GH＝AC，FG＝EH＝BD.又∵AC⊥BD，AC＝BD，∴∠HEF＝∠EFG＝∠GHE＝∠FGH＝90°，EF＝FG＝GH＝HE.∴四边形EFGH是正方形．证明：几种常见的中点四边形的命题：(1)连结四边形各边中点的四边形是平行四边形；(2)连结对角线互相垂直的四边形各边中点的四边形是矩形；(3)连结对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形；(4)连结平行四边形各边中点的四边形是平行四边形；(5)连结矩形各边中点的四边形是菱形；(6)连结菱形各边中点的四边形是矩形．总结知2－讲知2－讲中点四边形的形状是由外围四边形的对角线之间的关系确定的．任意四边形的中点四边形是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.1把一张矩形纸片如图那样折一下就可以裁出正方

形纸片，为什么？知2－练知2－练2

(中考·兰州)ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得ABCD为正方形．3

(中考·益阳)下列判断错误的是(

)A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形知2－练4

(中考·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列