人教版高一下学期期中考试数学试题及答案解析（共五套）

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）一．选择题1．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是A． B． C． D．2．若复数满足，则A． B． C．5 D．3．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为A． B． C．1 D．4．复数的共轭复数的虚部为A． B． C． D．5．已知向量，满足，，则向量，的夹角为A． B． C． D．6．已知向量，，且，则A．5 B．4 C．3 D．27．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．，，， B．，，C．， D．，8．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为A． B． C． D．二．多选题9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是A．是单位向量 B． C． D．10．在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交BC于点，，，以下结论正确的是A． B．C． D．的面积为11．在正方体中，为底面ABCD的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段AP的中点，则A．与是异面直线B．存在点使得平面C．平面平面D．过，，三点的正方体的截面一定是等腰梯形12．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为三．填空题13．已知虚数单位，若复数的虚部为，则．14．已知向量，若向量与反向，且，则向量的坐标是．15．已知向量，，且，则．16．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为．四．解答题17．已知复满足为实数，为纯虚数，其中是虚数单位．（1）求实数，的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．18．已知复数，，为虚数单位．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数．19．（1）设，是正交单位向量，如果，，，若、、三点在一条直线上，且．求、的值．（2）已知，，点在线段的延长线上，且，求点坐标．20．如图，在四棱柱中，四边形是边长等于2的菱形，，平面，，分别是，的中点，交于点，点为的中点（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求三棱锥的表面积．21．已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积．（1）若，，求；（2）求的最大值．22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）若，为线段的中点，求三棱锥的体积．参考答案一．选择题1．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是A． B． C． D．【答案】B【解析】由线段的中点公式可得，，故点的坐标是，故选B．2．若复数满足，则A． B． C．5 D．【答案】D【解析】由，得，，则．故选D．3．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由，得，复数的虚部为．故选A．4．复数的共轭复数的虚部为A． B． C． D．【答案】D【解析】，，复数的共轭复数的虚部为，故选D．5．已知向量，满足，，则向量，的夹角为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，设向量，的夹角为，若，则，，若，则，解可得，又由，故，故选C．6．已知向量，，且，则A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】向量，，且，可得，解得，所以，，所以．故选A．7．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A．，，， B．，，C．， D．，【答案】D【解析】，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于，，，，，也可能相交，所以不正确；对于，，，也可能异面，所以不正确；对于，，有可能，所以不正确；对于，，，满足直线与平面垂直的性质，所以正确．故选D．8．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为，连接，，，由正弦定理可得，即，，，即四面体外接球的表面积为，故选A．二．多选题9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是A．是单位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】．，由得，，是单位向量，该选项正确；．，，该选项正确；，由得，，即，，该选项错误；．，由上面得，，，该选项正确．故选ABD．10．在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交BC于点，，，以下结论正确的是A． B．C． D．的面积为【答案】ACD【解析】因为，由正弦定理可得，，所以，因为，所以即，，由角平分线定理可得，，设，，则，，中，由勾股定理可得，，解可得，即，，，所以．故选ACD．11．在正方体中，为底面ABCD的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段AP的中点，则A．与是异面直线B．存在点使得平面C．平面平面D．过，，三点的正方体的截面一定是等腰梯形【答案】BCD【解析】对于，因为，，共线，又，交于点，即，，，共面，因此与共面，故选项不正确；对于，当为的中点时，平面，故选项正确；对于，，，，，平面，平面，平面，平面平面，故选项正确；对于，过，，三点的正方体的截面与相交于点，则，且，因此一定是等腰梯形，故选项正确．故选BCD．12．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为【答案】BC【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，，，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，，则，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正确；对于，取中点，连接、，则，，，，平面平面，平面，平面，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，，，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．故选：BC．三．填空题13．已知虚数单位，若复数的虚部为，则．【答案】【解析】，复数的虚部为，，解得，，．故答案为：．14．已知向量，若向量与反向，且，则向量的坐标是．【答案】【解析】因为：向量，，向量与反向，且．故答案为：．15．已知向量，，且，则．【答案】1【解析】根据题意，向量，，则．因为，所以，解得，故答案为：1．16．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为．【答案】【解析】设和△的外心分别为、，连接，可得外接球的球心为的中点，连接、、、、、，中，，，，根据正弦定理，得外接圆半径球的表面积为，，，△中，，可得，直三棱柱的底面积，直三棱柱的体积为．故答案为：．四．解答题17．已知复满足为实数，为纯虚数，其中是虚数单位．（1）求实数，的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由，得，，再由题意可得：，解得；（2）由（1）得，，则，则，即．实数的取值范围是，．18．已知复数，，为虚数单位．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）复数，，所以；由该复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，解得，所以实数的取值范围是，；（2）化简，的共轭复数．19．（1）设，是正交单位向量，如果，，，若、、三点在一条直线上，且．求、的值．（2）已知，，点在线段的延长线上，且，求点坐标．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）以为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，则，，，，，又，，三点在一条直线上，，，与联立，解得或；（2），，，，设，点在线段的延长线上，且，，即，，，解得，．．20．如图，在四棱柱中，四边形是边长等于2的菱形，，平面，，分别是，的中点，交于点，点为的中点（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求三棱锥的表面积．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）连接，由于点为的中点，为的中点，所以，由于平面，平面，所以平面．（2）连接，由于四边形为边长为2的菱形，．所以为等边三角形．所以，，且，由于与平面所成的角为，且，由于平面，则：，所以，由于平面，平面，所以．又，，，平面，所以平面，则：，所以三棱锥的表面积为：．21．已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积．（1）若，，求；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），可得，，可得，，，，，由正弦定理，可得，又，为锐角，．（2），令，则，原式，，，当时，，此时，原式的最大值为．22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）若，为线段的中点，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）证明：取的中点，连接，为等边三角形，，又平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，底面为正方形，，，，平面，平面；（Ⅱ）解：，由（Ⅰ）得平面，点到平面的距离，底面为正方形，，又平面，平面，平面，，两点到平面的距离相等，均为，又为线段的中点．点到平面的距离，由（Ⅰ）知，平面，平面，，．故三棱锥的体积为．人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）一．选择题1．已知复数满足为虚数单位），则A． B． C． D．2．已知复数满足，则A． B． C． D．3．已知，则复数A． B． C． D．4．已知，两点，且，则点的坐标为A． B． C． D．5．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为A． B． C． D．6．已知是边长为4的等边三角形，为BC的中点，点在边AC上，设AD与BE交于点，则A．4 B．6 C．8 D．107．已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是A． B．平面平面C．四面体的体积为定值 D．平面8．所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A． B． C． D．二．多选题9．已知向量，，则A．B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为D．若，则10．在中，如下判断正确的是A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若，则11．如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是A．三棱锥的体积为定值B．对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系C．的最小值为D．对于任意位置的点，均有平面平面12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为13．己知是虚数单位，复数，则的虚部为．14．已知向量，，若，则．15．设，，向量，若且，则的值是．16．如图，在中，，，分别取三边的中点，，，将，，分别沿三条中位线折起，使得，，重合于点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥的体积为．四．解答题17．已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．18．已知复数，，为虚数单位．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数．19．在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，，．（1）若，，求的最小值；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域．21．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．22．如图，在三棱锥中，，，，为棱上一点，，棱的中点在平面上的射影在线段上．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．参考答案一．选择题1．已知复数满足为虚数单位），则A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故选B．2．已知复数满足，则A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故选D．3．已知，则复数A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，故选C．4．已知，两点，且，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，，，即，，，故，解得，，所以．故选C．5．已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，设与的夹角为，若向量在向量上的投影向量为，则，则有，又，所以，故选B．6．已知是边长为4的等边三角形，为BC的中点，点在边AC上，设AD与BE交于点，则A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】因为是边长为4的等边三角形，为的中点，所以，由数量积的几何意义可知．故选C．7．已知，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），则下列结论错误的是A． B．平面平面C．四面体的体积为定值 D．平面【答案】C【解析】，分别是正方体的棱，上的动点（不与顶点重合），对于，，，，、平面，平面，平面，，故正确；对于，平面平面，平面与平面重合，平面平面，故正确；对于，到平面的距离为定值，到的距离为定值，的长不是定值，四面体的体积不为定值，故错误；对于，平面平面，平面，平面，故正确．故选C．8．所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：；所以外接球的半径为：．所以外接球的表面积为：．故选C．二．多选题9．已知向量，，则A．B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为D．若，则【答案】BCD【解析】对于，向量，，所以，且，所以与不平行，错误；对于，向量在向量上的投影向量为，所以正确；对于，因为，所以，，所以正确；对于，因为，所以，所以，选项正确．故选BCD．10．在中，如下判断正确的是A．若，则为等腰三角形B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若，则【答案】BCD【解析】，，，或，或，则为等腰或直角三角形．故错误．，，，，故正确．为锐角三角形，为锐角，，，，，故正确．，，，，故正确．故选BCD．11．如图，在正方体中，点，分别是棱，上异于端点的两个动点，且，则下列说法正确的是A．三棱锥的体积为定值B．对于任意位置的点，平面与平面所成的交线均为平行关系C．的最小值为D．对于任意位置的点，均有平面平面【答案】BD【解析】对于，，面积不定，而到平面的距离为定值，不是定值，故错误；对于，由于平面，则经过直线的平面与的所有交线均与平行，根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故正确；对于，设正方体棱长为1，，则，，则，，故错误；对于，由题意得直线与平面垂直，对于任意位置的点，均有平面平面，故正确．故选BD．12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为【答案】BC【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，，，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，，则，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正确；对于，取中点，连接、，则，，，，平面平面，平面，平面，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，，，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．故选BC．三．填空题13．己知是虚数单位，复数，则的虚部为．【答案】【解析】，则的虚部为，故答案为：．14．已知向量，，若，则．【答案】【解析】，，解得，则，，．故答案为：．15．设，，向量，若且，则的值是．【答案】3【解析】因为，所以．又因为，所以，．于是．故答案为：3．16．如图，在中，，，分别取三边的中点，，，将，，分别沿三条中位线折起，使得，，重合于点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥的体积为．【答案】；．【解析】由题意可知三棱锥的对棱分别相等，设，则，将三棱锥补成长方体，则面对角线长度分别为：，，4，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的长宽高分别为：，，，则，，．所以，所以外接球的半径为：，当时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，此时，解得，，所以三棱锥的体积为：．故答案为：；．四．解答题17．已知，，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）或4．【解析】（1），所以有，（2）即可，解得或4．18．已知复数，，为虚数单位．（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；（2）若，求的共轭复数．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）复数，，所以；由该复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，解得，所以实数的取值范围是，；（2）化简，的共轭复数．19．在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求；（2）若，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以．即，由正弦定理得，由余弦定理，由为三角形内角得；（2），故，，，，，，，因为，所以，故，所以．故的面积的最大值．20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，点，，，．（1）若，，求的最小值；（2）若向量与向量共线，常数，求的值域．【答案】（1）；（2）当时的值域为；时的值域为，．【解析】（1），，时，取最小值为；（2），向量与向量共线，常数，，，①当即时，当时，取得最大值；时，取得最小值，此时函数的值域为．②当即时，当时，取得最大值；时，取得最小值，此时函数的值域为，．综上所述，当时的值域为；时的值域为，．21．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：取的中点为，连结，，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：因为，所以，又因为平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，为直角三角形，因为，，，，所以，所以，所以四棱锥的侧面积为．22．如图，在三棱锥中，，，，为棱上一点，，棱的中点在平面上的射影在线段上．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，取的中点，连接，，为的中点，则，，，则，又点在平面上的射影在线段上，平面，而平面，，，、平面，平面；（2）解：平面，平面，，点为棱的中点，，，又，、平面，平面，而平面，，，，，，，，在中，由，得，，即，，．三棱锥的体积为．人教版高一下学期期中考试数学试卷（三）一．选择题1．已知复数，则复数对应的点在复平面内位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是A． B． C． D．3．A． B． C． D．4．设复数，则的虚部是A． B． C． D．5．已知向量，满足，，则向量，的夹角为A． B． C． D．6．已知是的重心，且，，则的值为A． B．1 C． D．7．已知、为两条不同直线、为两个不同的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．38．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为A． B． C． D．二．多选题9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是A．是单位向量 B． C． D．10．在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交BC于点，，，以下结论正确的是A． B．C． D．的面积为11．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是A．、、、四点共面 B．直线与所成角的为C．平面 D．平面平面12．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为三．填空题13．已知向量，若向量与反向，且，则向量的坐标是．14．已知虚数单位，若复数的虚部为，则．15．已知单位向量、的夹角为，与垂直，则．16．已知三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥的体积为．四．解答题17．已知复数是虚数单位），．（Ⅰ）若是纯虚数，求的值；（Ⅱ）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．18．已知复数的共轭复数是，是虚数单位，且满足．（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．19．平面内给定三个向量（1）求（2）若，求实数的值．20．已知，，分别是中角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，求的值．21．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．22．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．参考答案一．选择题1．已知复数，则复数对应的点在复平面内位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，复数对应的点的坐标为，在复平面内位于第四象限．故选D．2．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是A． B． C． D．【答案】B【解析】由线段的中点公式可得，，故点的坐标是，故选B．3．A． B． C． D．【答案】D【解析】．故选D．4．设复数，则的虚部是A． B． C． D．【答案】A【解析】复数，的虚部是．故选A．5．已知向量，满足，，则向量，的夹角为A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，设向量，的夹角为，若，则，，若，则，解可得，又由，故，故选C．6．已知是的重心，且，，则的值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】设是的中点，因为是三角形的重心，所以，，所以，．故选A．7．已知、为两条不同直线、为两个不同的平面，给出以下四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①若，，则；也可能，所以①不正确；②若，，则；也可能与是异面直线，所以②不正确；③若，，则；也可能，有可能是相交但不垂直，所以③不正确；④若，，，则．也可能是异面直线，所以④不正确；所以正确命题是0个．故选A．8．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为，连接，，，由正弦定理可得，即，，，即四面体外接球的表面积为，故选A．二．多选题9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是A．是单位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】．，由得，，是单位向量，该选项正确；．，，该选项正确；，由得，，即，，该选项错误；．，由上面得，，，该选项正确．故选ABD．10．在中，角，，所对的边分别为，，．若，角的角平分线交BC于点，，，以下结论正确的是A． B．C． D．的面积为【答案】ACD【解析】因为，由正弦定理可得，，所以，因为，所以即，，由角平分线定理可得，，设，，则，，中，由勾股定理可得，，解可得，即，，，所以．故选ACD．11．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是A．、、、四点共面 B．直线与所成角的为C．平面 D．平面平面【答案】BD【解析】对于，、、在平面内，在平面外，故错误；对于，如图，取中点，连接，，可得，为直线与所成角，由题意可得为边长为的等边三角形，则，故正确；对于，若平面，又平面，则平面平面，而平面平面，矛盾，故错误；对于，在长方体中，平面，平面，平面平面，故正确．故选BD．12．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为【答案】BC【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，，，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，，则，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正确；对于，取中点，连接、，则，，，，平面平面，平面，平面，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，，，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．故选：BC．三．填空题13．已知向量，若向量与反向，且，则向量的坐标是．【答案】【解析】因为：向量，，向量与反向，且．故答案为：．14．已知虚数单位，若复数的虚部为，则．【答案】【解析】，复数的虚部为，，解得，，．故答案为：．15．已知单位向量、的夹角为，与垂直，则．【答案】【解析】根据题意，单位向量、的夹角为，则，若与垂直，则，解可得：，故答案为：．16．已知三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥的体积为．【答案】【解析】如图，三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，射影在底面上的射影在的平分线上，可得棱锥的高为：，所以，与底面所成角也是，在底面的射影是底面三角形的外心，外接圆的半径为2，所以射影点为，是的中点，则是等腰直角三角形，所以该三棱锥的体积为：．故答案为：．四．解答题17．已知复数是虚数单位），．（Ⅰ）若是纯虚数，求的值；（Ⅱ）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）复数，是纯虚数，，解得．的值为．（Ⅱ）复数在复平面内对应的点位于第四象限，，解得，的取值范围是．18．已知复数的共轭复数是，是虚数单位，且满足．（1）求复数；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设复数，则，于是，即，，解得，故；（2）由（1）得，，由于复数在复平面内对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．19．平面内给定三个向量（1）求（2）若，求实数的值．【答案】（1）5；（2）3.【解析】（1）;（2）由，而，，.20．已知，，分别是中角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，由正弦定理得：，由余弦定理得，又，所以．（2），由正弦定理，得，且，，，整理得：，有．21．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）证明：四边形为菱形，．平面平面，平面平面，平面，平面．平面，．又，，得．又，平面，，平面；（2）解：由（1）得平面，平面，，，可得为等腰三角形．在中，由余弦定理得．，，则．可得，又，．22．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．（1）求证：；（2）求证：平面．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，．（2）取的中点，连接，，是的中点，，，又由（1）可得，且，，，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面．人教版高一下学期期中考试数学试卷（四）一．选择题1．已知，两点，且，则点的坐标为A． B． C． D．2．设复数满足，则等于A． B． C． D．3．若复数满足，为虚数单位，则A． B． C． D．4．设复数，则的虚部是A． B． C． D．5．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为A． B． C． D．6．已知矩形ABCD中，，，为AB上的点，且，为BC的中点，则A． B． C． D．7．已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则8．在四面体PABC中，，，，，则该四面体外接球的表面积为A． B． C． D．二．多选题9．已知向量，，则A．B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为D．若，则10．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，，则的面积为A．3 B． C． D．611．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是A．、、、四点共面 B．直线与所成角的为C．平面 D．平面平面12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为三．填空题13．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则．14．已知向量，，若，则．15．已知单位向量、的夹角为，与垂直，则．16．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为．四．解答题17．已知复数为纯虚数，且为实数．（1）求复数；（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．18．已知，其中是虚数单位，为实数．（1）当为纯虚数时，求的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．19．平面内给定两个向量（1）求；（2）若，求实数的值．20．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．21．在中，内角、、对应的边长分别为、、，且满足．（1）求；（2）若，求的最大值．22．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．参考答案一．选择题1．已知，两点，且，则点的坐标为A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，，，即，，，故，解得，，所以．故选C．2．设复数满足，则等于A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，故选B．3．若复数满足，为虚数单位，则A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，．故选C．4．设复数，则的虚部是A． B． C． D．【答案】A【解析】复数，的虚部是．故选A．5．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，设向量，夹角为，若单位向量，满足，则有，则有，故选A．6．已知矩形ABCD中，，，为AB上的点，且，为BC的中点，则A． B． C． D．【答案】B【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，距离如图所示的直角坐标系，则，，，，，，，则．故选B．7．已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，则【答案】C【解析】．若，，，则，不正确，可能相交；．若，，则或，因此不正确；．若，，，则，正确；证明：设，，取，过点分别作，，则，，，，又，．．若，，则或．故选C．8．在四面体PABC中，，，，，则该四面体外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【解析】由，，可知．因为，，所以，即．设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为．故选D．二．多选题9．已知向量，，则A．B．向量在向量上的投影向量为C．与的夹角余弦值为D．若，则【答案】BCD【解析】对于，向量，，所以，且，所以与不平行，错误；对于，向量在向量上的投影向量为，所以正确；对于，因为，所以，，所以正确；对于，因为，所以，所以，选项正确．故选BCD．10．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，，则的面积为A．3 B． C． D．6【答案】AC【解析】由，利用正弦定理可得，即，，，或，又，，当为锐角时，，，，由，，中边上的高为3，；当为钝角时，，，，由，，中边上的高为，．故选AC．11．如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是A．、、、四点共面 B．直线与所成角的为C．平面 D．平面平面【答案】【解析】对于，、、在平面内，在平面外，故错误；对于，如图，取中点，连接，，可得，为直线与所成角，由题意可得为边长为的等边三角形，则，故正确；对于，若平面，又平面，则平面平面，而平面平面，矛盾，故错误；对于，在长方体中，平面，平面，平面平面，故正确．故选：BD．12．在棱长为2的正方体中，，分别为AB，的中点，则A．B．平面C．平面D．过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为【答案】BC【解析】对于，，是与所成角（或所成角）的补角，，，与不垂直，故错误；对于，取中点，连接，，则，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，、平面，平面，故正确；对于，取中点，连接、，则，，，，平面平面，平面，平面，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面为矩形，，，过直线且与直线平行的平面截该正方体所得截面面积为，故错误．故选BC．三．填空题13．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则．【答案】【解析】．因为为纯虚数，所以，得．故答案为：．14．已知向量，，若，则．【答案】【解析】，，解得，则，，．故答案为：．15．已知单位向量、的夹角为，与垂直，则．【答案】【解析】根据题意，单位向量、的夹角为，则，若与垂直，则，解可得：，故答案为：．16．直三棱柱的各顶点都在球的球面上，且，，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积为．【答案】【解析】设和△的外心分别为、，连接，可得外接球的球心为的中点，连接、、、、、，中，，，，根据正弦定理，得外接圆半径球的表面积为，，，△中，，可得，直三棱柱的底面积，直三棱柱的体积为．故答案为：．四．解答题17．已知复数为纯虚数，且为实数．（1）求复数；（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，，则，为实数，，即．（2），由题知且，解得．的取值范围是．18．已知，其中是虚数单位，为实数．（1）当为纯虚数时，求的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．【答案】（1）；（2），，.【解析】（1）为纯虚数，，解得；（2）在复平面内对应的点位于第二象限，，解得或．的取值范围是，，．19．平面内给定两个向量（1）求；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件知：，故．（2），．，，解得．20．如图，在四边形中，，，，，为上的点且，若平面，为的中点．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：取的中点为，连结，，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面；（2）解：因为，所以，又因为平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，，为直角三角形，因为，，，，所以，所以，所以四棱锥的侧面积为．21．在中，内角、、对应的边长分别为、、，且满足．（1）求；（2）若，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以由正弦定理，可得，整理得，又，所以，即，因为，，所以．（2）因为，由余弦定理，得，所以，整理可得，即，所以，当且仅当时取等号，，因此可以取到最大值，故的最大值．22．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且平面平面．（1）证明：平面；（2）若是上一点，且，求三棱锥的体积．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）证明：四边形为菱形，．平面平面，平面平面，平面，平面．平面，．又，，得．又，平面，，平面；（2）解：由（1）得平面，平面，，，可得为等腰三角形．在中，由余弦定理得．，，则．可得，又，．人教版高一下学期期中考试数学试卷（五）一．选择题1．若复数满足为成数单位）则A． B． C． D．2．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是A． B． C． D．3．是虚数单位，则复数等于A． B． C．1 D．4．已知复数满足，则复数A． B． C． D．5．已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为A． B． C． D．6．已知是的重心，且，，则的值为A． B．1 C． D．7．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，现有如下命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则，则正确命题的个数为A．4 B．3 C．2 D．18．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为A． B． C． D．二．多选题9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是A．是单位向量 B． C． D．10．在中，满足，，为的内心，，下列判断正确的是A． B．C． D．的最大值为411．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是棱PC的中点，作交PB于点，则有A．异面直线与所成角大小为B．平面平面C．平面D．12．正方体中，，分别为棱BC和的中点，则下列说法正确的是A．平面B．平面C．异面直线与所成角为D．平面截正方体所得截面为等腰梯形三．填空题13．已知向量，，若，则．14．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则．15．已知向量，若，则实数．16．如图，正方体中，点是直线的动点，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②直线与平面所成角的大小不变；③二面角的大小不变：其中正确的命题有．（把所有正确命题的编号填在横线上）四．解答题17．已知复数为纯虚数，且为实数．（1）求复数；（2）设，若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．18．已知，其中是虚数单位，为实数．（1）当为纯虚数时，求的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求的取值范围．19．已知向量，．（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？20．已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积．（1）若，，求；（2）求的最大值．21．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，分别为，的中点，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．22．在如图所示的几何体中，是的中点，．（1）已知，，求证：平面；（2）已知，分别是和的中点，求证：平面．参考答案一．选择题1．若复数满足为成数单位）则A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得．故选B．2．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是A． B． C． D．【答案】B【解析】由线段的中点公式可得，，故点的坐标是，故选B．3．是虚数单位，则复数等于A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，故选A．4．已知复数满足，则复数A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，故选D．5．已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，是两个夹角为的单位向量，则，则，则有，即的最小值为．故选D．6．已知是的重心，且，，则的值为A． B．1 C． D．【答案】A【解析】设是的中点，因为是三角形的重心，所以，，所以，．故选A．7．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，现有如下命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则，则正确命题的个数为A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】①中，若，，，则或与相交，故①错误；②中，若，，则，又，则，故②正确；③中，若，，，则或与异面，故③错误；④中，若，，则或，又，则，故④正确．正确命题的个数为2个．故选C．8．四面体中，面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】A【解析】设外接圆的圆心为，四面体外接球的球心为，半径为，连接，，，由正弦定理可得，即，，，即四面体外接球的表面积为，故选A．二．多选题9．是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是A．是单位向量 B． C． D．【答案】ABD【解析】．，由得，，是单位向量，该