高中数学人教B版第二章平面向量学业分层测评14

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a，b，c是非零向量，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的个数为() 【解析】依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a＋b＋c相等，故选A.【答案】A2.如图2­1­15所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝()图2­1­15\o(CD,\s\up13(→)) \o(OC,\s\up13(→))\o(DA,\s\up13(→)) \o(CO,\s\up13(→))【解析】eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→)).【答案】B3.如图2­1­16所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq\o(OP,\s\up13(→))＋eq\o(OQ,\s\up13(→))＝()图2­1­16\o(OH,\s\up13(→)) \o(OG,\s\up13(→))\o(FO,\s\up13(→)) \o(EO,\s\up13(→))【解析】设a＝eq\o(OP,\s\up13(→))＋eq\o(OQ,\s\up13(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝eq\o(OP,\s\up13(→))＋eq\o(OQ,\s\up13(→))，则a与eq\o(FO,\s\up13(→))长度相等，方向相同，所以a＝eq\o(FO,\s\up13(→)).【答案】C4.下列结论中，正确结论的个数为()【导学号：72023044】①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CA,\s\up13(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.个 个个 个【解析】当a＋b＝0时，知①不正确；由向量加法的三角形法则知②正确；当A，B，C三点共线时知③不正确；当向量a与向量b方向不相同时|a＋b|≠|a|＋|b|，故④不正确.【答案】B5.在平行四边形ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))|＝|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))|，则四边形ABCD是()A.菱形 B.矩形C.正方形 D.不确定【解析】∵|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(BA,\s\up13(→))|＝|eq\o(BD,\s\up13(→))|，|eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up13(→))|＝|eq\o(AC,\s\up13(→))|，∴▱ABCD是矩形.【答案】B二、填空题6.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.【解析】如图所示，作eq\o(OA,\s\up13(→))＝a，eq\o(AB,\s\up13(→))＝b，则a＋b＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→)).所以|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2)(km)，因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向.【答案】8eq\r(2)km东北方向7.(2023·济南高一检测)当非零向量a，b满足________时，a＋b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.【解析】当|a|＝|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则其对角线上向量a＋b平分此菱形的内角.【答案】|a|＝|b|三、解答题8.已知|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【解】如图，∵|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝3，∴四边形OACB为菱形.连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D.∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝3，∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2)，∴|eq\o(OC,\s\up13(→))|＝|a＋b|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).9.如图2­1­17，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0.图2­1­17【证明】由题意知：eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(BE,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))，eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)).由平面几何可知，eq\o(EF,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\o(FA,\s\up13(→)).∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝(eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＋(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→)))＋(eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＝(eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＋(eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CB,\s\up13(→)))＝(eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(EC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(CE,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＋eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\o(AE,\s\up13(→))＋eq\o(EF,\s\up13(→))＋eq\o(FA,\s\up13(→))＝0，∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))＋eq\o(CF,\s\up13(→))＝0.[能力提升]1.在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|等于() 【解析】如图，∵eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(AD,\s\up13(→))，∴|eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))|＝|eq\o(AD,\s\up13(→))|＝2|eq\o(AO,\s\up13(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝2.故选B.【答案】B2.如图2­1­18，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力.图2­1­18【解】如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.设向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))分别表示两根绳子的拉力，则eq\o(CO,\s\up13(→))表示物体的重力，且|