信号与系统复习题及答案

信号与系统复习第一章信号与系统一、基础知识在连续时间范围内（）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。周期信号是定义在区间，每个一定时间T（或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号为；离散周期信号为，m为零和整数。注意离散信号的周期性，只有当为有理数时，序列才存在周期，否则不存在周期，故为非周期序列。物理可实现的信号常常为时间t（或k）的实函数，其在各时间的函数（或序列）值为实数；复数函数（或序列）值为复数的信号称为复信号，最常用的是复指数信号。若信号的能量有界（即（能量），这时（功率）），则称其为能量有限信号，简称为能量信号；若信号的功率有界（即，这时），则称其为功率有限信号，建成为功率信号。冲激函数的取样性质定义为，。冲激函数的移位性质定义为，。冲激函数的尺度变换性质为，冲激函数为偶函数。阶跃信号可以表达函数在时间上的区域，如门函数。当系统的激励为连续信号，若其响应也是连续信号，则称其为连续系统；当系统的激励为离散信号时，若其响应也是离散信号，则称其为离散系统。系统的线性性两个含义：齐次性和可加性；线性系统的完全响应为零状态响应（或）和零输入响应（或）的和，即。由于时不变系统的参数不随时间变化，故系统的零状态响应形式就与输入信号接入时间无关。若系统有，则或。如果LTI连续系统在激励的作用下，则零状态响应为，那么，当激励为，则系统的零状态响应为；如果LTI离散系统在激励的作用下，则零状态响应为，那么，当激励为，则系统的零状态响应为。若系统的零状态响应不出现于激励之前的系统为因果系统。就是说只有激励出现后才有零状态响应，即。系统的稳定性是指，对于有界的激励，系统的零状态响应也是有界的，这常称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。即，。基本计算信号表达与运算信号表达将信号表达为闭合形式。见教材page33题1.3和1.4。信号运算利用信号的平移、反转、缩放等操作对信号进行运算。一般规则为首先平移，然后反转，最后缩放来完成。见教材page33题1.6和1.7。(5)(1)(3)(5)特殊函数性质和计算冲激函数利用冲激函数的性质计算。见page35题1.10阶跃函数利用阶跃函数的定义和性质计算。见教材page33题1.3、1.4、1.6和1.7。关系冲激函数是阶跃函数的微分，阶跃函数是冲激函数的积分。即，。系统性质线性性：见教材page38题1.24、1.25时不变性：见教材page38题1.24、1.25因果性：见教材page38题1.25稳定性：见教材page38题1.25应用见教材page33题1.2第二章连续系统的时域分析一、基础知识1、LTI连续系统的解等于差分方程的齐次解（或自由响应）和特解（强迫响应）之和。2、LTI连续系统的齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励的序列形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。3、LTI连续系统的全响应可分为零输入响应和零状态响应，零输入响应为自由响应的一部分，零状态响应为强迫响应和部分自由响应之和。4、LTI连续系统的冲激响应为系统激励为冲激函数时的零状态响应；系统的阶跃响应为系统激励为阶跃函数时的零状态响应。5、LTI连续系统冲激响应是阶跃响应的微分，即；阶跃响应是冲激响应的积分，即。6、冲激函数与一般函数的卷积积分等于该普通函数，即，或；时域平移的冲激函数与一般函数的卷积等于该函数的平移。7、两个平移函数的卷积具有，其中平移具有。8、两个函数和的卷积积分为，则该卷积积分的微分属性满足：二、基本计算1）时域系统分析见教材page79题2.4。2）冲激响应和阶跃响应见教材page2.14和2.153）卷积积分见教材page81题2.17、2.18。三、应用见教材page83题2.27、2.28第三章离散系统的时域分析一、基础知识1、差分方程是具有地推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可以求得差分方程的数值解。2、LTI离散系统的解等于差分方程的齐次解（或自由响应）和特解（强迫响应）之和。3、LTI离散系统的齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励的序列形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。4、LTI离散系统的全响应可分为零输入响应和零状态响应，零输入响应为自由响应的一部分，零状态响应为强迫响应和部分自由响应之和。5、LTI离散系统的单位序列响应为系统激励为单位序列时的零状态响应；系统的阶跃序列响应为系统激励为阶跃序列时的零状态响应。6、LTI离散系统单位序列响应是阶跃序列响应的差分，即；阶跃序列响应是单位响应的和，即。7、单位序列与一般序列的卷积和等于该序列，即，或；时域平移的单位序列与一般序列的卷积等于该序列的平移。8、两个平移序列的卷积具有，其中平移具有。二、基本计算1）系统响应见教材page110题3.6。2）单位序列响应和阶跃序列响应见教材page111,3.83）卷积和见教材page111题3.12。三、应用见教材page112题3.14*第四章傅里叶变换和系统的频域分析一、基础知识1、如果在正交函数集之外，不存在函数满足等式，，则此函数称为完备正交函数集。2、信号为周期信号的表示为：，其中m为任意整数，时间T称为该信号的重复周期。3、任何满足狄利赫里条件的周期函数可以分解为直流和许多余弦（或正弦）分量。其中分量项为一次谐波或基波，分量为i次谐波。4、若为时间t的周期偶函数，其傅里叶级数分解中含有直流和相位为0的许多余弦分量；若为时间t的周期奇函数，其傅里叶级数分解中只含有相位为0的许多正弦分量。5、若为时间t的周期奇谐函数，其傅里叶级数分解中只含有奇次谐波，而不含直流和偶次谐波。6、周期函数的傅里叶级数指数形式中傅里叶系数满足的关系，其中，*表示共轭。负频率的引入只是为了方便计算，没有实际的物理意义。7、为了直观地表示出信号所含各分量的振幅，以频率（或角频率）为横坐标，以各谐波的振幅或复指数函数的振幅为纵坐标作图，获得的线图称为幅度频谱，简称幅度谱；各谐波初相位与频率的线图称为相位频谱，简称相位谱。如果为实数，那么可用的正负表示相位为0和。周期信号的频谱是离散的，其中幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称。8、脉冲宽度为的周期矩形脉冲（其周期为T），其频谱（指数形式傅里叶级数系数）为；频谱仅含有的各分量，即频谱是离散的，相邻两谱线之间的间隔为；周期越大，谱线间隔越小，反之亦然；其各谱线的幅度按包络线的规律变化，在的各处包络为零，相应的谱线的值为零（频谱分量为零）。9、非周期函数的频谱函数的实质为频谱密度函数。包含幅度谱和相位谱；其中幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数。10、傅里叶变换的线性性质有两个含义：齐次性和可加性。11、周期信号的傅里叶变换（频谱密度）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率位置，其强度为各相应幅度的倍。12、频率响应函数可以定义为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即。其幅频函数为关于的偶函数，相频特性为关于的奇函数。13、信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。在时域的表达为：，其中K和t0为常数；在频域的表达为。14、无失真传输系统的频率响应函数为：，其中幅频特性为，相频特性为（线性相位）。15、理想低通滤波器在低于某一角频率的信号将无失真传送，而阻止角频率高于的信号通过，其中为截止频率。16、理想滤波器的频率响应函数为17、理想低通滤波器实际上是不可能实现的。18、一个频率在区间以外为零的频带有限信号，可以为一地有其在均匀间隔上的样点值确定。19、为了能从取样信号中恢复原信号，需要满足两个条件：必需是带限信号，其频谱函数在各处为零；取样频率不能过低，必需满足，或者说取样间隔不能太长，必需满足，否则将会发生混叠。最低允许取样频率称为奈奎斯特频率。20、傅里叶变换性质：尺度变换、时移特性、平移特性、卷积定理、时域微分、频域微分。基本计算1、周期信号的频谱例题4.7（第201页）解答：（a）指数形式三角形式（b）2、非周期信号的频谱（1）常见信号的傅立叶变换（2）用的傅里叶变化性质对称性若，则（3）一般信号的傅立叶变换第五章连续系统的s域分析一、基础知识1、拉普拉斯变换中的复变量s在复平面上的取值区域称为像函数的收敛域。2、因果信号像函数的收敛域为s平面的区域；反因果信号象函数的收敛域为s平面的区域；双边函数的拉普拉斯变换的收敛域为s平面的区域。3、对于因果信号，若拉普拉斯变换存在，则单边的拉普拉斯变换和双边的拉普拉斯变换的值相等，且收敛域相同，为右半平面。4、不同信号的拉普拉斯变换的值相同，其收敛域一定不同。5、拉普拉斯变换性质：尺度变换和时移特性；时域微分特性；复频移（s域平移）特性；卷积定理。6、系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比称为系统函数。7、当因果信号拉氏变换收敛域包括复平面虚轴，则其傅立叶变换。二、基本计算1、拉普拉斯变换1）正变换Page263题5.12）利用性质Page236题5.3（2）、（5）、（13）、（15）Page264题5.4逆变换Page264题5.8（2）、（5）、（8）、（10）2、系统分析见教材page265题5.12、5.15。三、应用见教材page26第六章离散系统的z域分析一、基础知识1、双边Z变换和单边Z变换，如果是因果序列，则单边、双边z变换相等，否则二者不相等。2、在Z变换的定义中，如果能使定义中求和存在的所有复变量z在z平面上的取值区域。3、因果序列的z变换收敛域是在z平面上，收敛半径为的圆外区域；反因果序列的z变换收敛域是在z平面上，收敛半径为的圆内区域；多个序列的z变换收敛域是每个序列收敛域的交集，即在z平面上的公共区域。4、起始点在负轴上的右边序列，其z变换收敛域是在z平面上半径为的圆外区域，但不包含点；起始点在正轴上左边序列，其z变换收敛域是在z平面上半径为的圆内区域，但不包含0点。5、Z变换性质：移位（移序）特性（注意单边和双边的区别）、z域尺度变换、卷积定理、z域微分。6、LTI离散系统零状态响应Z变换的象函数与激励Z变换的象函数之比称为系统函数。7、当因果序列的Z变换收敛域包括z平面上的单位圆，则该序列的频率特性可以定义为：。8、Z变换的复变量z和拉普拉斯变换的复变量s的关系为，z平面与s平面之间的映射为非一一映射；s平面的虚轴映射至z平面的单位圆上，s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部；s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外部。二、基本计算1、Z变换1）正变换Page319题6.22）利用性质Page320题6.5（1）、（2）、（3）、（4）、（5）3）逆变换Page321题6.10、6.112、系统分析见教材page321题6.16。6.17三、应用见教材page322题6.18、6.26第七章系统函数一、基础知识1、LTI系统函数是复变量为s或z的有理多项式分式，即。分母多项式的根称为系统函数的极点；分子多项式的根称为系统函数的零点。极点和零点的值可能是实数、虚数或复数。由于和的系数都是实数，所以零、极点若为复数，则必为共轭对。2、若LTI连续系统的系统函数有负实单极点（即极点在s平面的负实轴上），则所对应的响应函数当时单调趋于零；当有实部为负数的共轭极点时（即极点在s平面的左半平面上），则所对应的响应函数当时振荡趋于零。3、若LTI连续系统的系统函数有正实单极点（即极点在s平面的正实轴上），则所对应的响应函数当时单调趋于；当有实部为正实数的共轭极点时（即极点在s平面的右半平面上），则所对应的响应函数当时振荡趋于。4、若LTI连续系统的系统函数有一阶虚数单极点（即极点在s平面的虚轴上），则所对应的响应函数当时是振荡不变；当高阶虚数单极点（即极点在s平面的虚轴上），则所对应的响应函数当时振荡趋于。5、若LTI离散系统的系统函数的极点有在z平面的单位圆内的实轴上，则所对应的响应序列当时单调趋于零；当在z平面的单位圆内的其它区域，则所对应的响应函数当时振荡趋于零。6、若LTI离散系统的系统函数有极点在z平面的单位圆外的实轴上，则所对应的响应函数当时单调趋于；当有极点在z平面的单位圆外的其它区域，则所对应的响应当时振荡趋于。7、若LTI离散系统的系统函数有一阶单极点在z平面的单位圆上，则所对应的响应当时振荡不变；当有高阶单极点在z平面的单位圆上，则所对应的响应当时振荡趋于8、LTI连续系统为因果系统的充分必要条件是其系统函数收敛域为；LTI离散系统为因果系统的充分必要条件是其系统函数收敛域