第5章静定结构位移计算

第5章静定结构位移的计算一、变形与位移变形：结构形状的改变。位移：结构上某点位置的移动和截面转动。5.1

概述位移线位移角位移水平位移竖向位移二、产生位移的原因：荷载；（集中荷载、均布荷载、力偶）支座移动、转动；温度改变；制造误差等。广义荷载还有什么原因会使结构产生位移?

根据产生位移的原因，

位移可分为：

刚体位移变形体位移静定多跨梁的支座A有一给定位移CA，

杆AC绕B点转动，杆CD绕D点转动。有位移无应变ABCD刚体位移变形体位移

简支梁在载荷q作用下，各点产生线位移；同时梁内弯矩M产生的曲率k和应变e。（曲率半径）有位移有应变三、计算位移的目的：1、刚度校核：考察结构在给定荷载作用下的位移是否满足使用要求。2、超静定结构内力计算的基础；3、结构的制作、架设、养护等施工过程中也往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施。在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。四、计算位移的方法和基本假设（1）几何法：（2）利用虚功原理：2.基本假设（1）小变形假设；（2）线弹性（3）理想联结1.方法功=力×位移位移=功/力一、功的概念：功=力乘以在力的方向上所发生的位移。力力偶广义力线位移角位移广义位移一点的线位移两点的相对线位移一个截面转角两个截面相对转角5.2变形体虚功原理单位荷载法总之：作功的力和位移都是广义的。二、实功、虚功、虚位移：实功：力在自身所引起的位移上所作的功。虚功：力在力的方向上、在别的因素所引起的位移上所作的功。一、功的概念：注意：位移采用双脚标表示：第一个脚标表示位置，第二个脚标表示产生位移的原因。P1的实功：P1的虚功：Δ12：虚位移二、实功、虚功、虚位移：注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；力状态位移状态二、实功、虚功、虚位移：实功和虚功的区别：（1）实功是力在自身所引起的位移上所做的功；虚功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。虚功并不是不做功，而是强调做功的力与产生位移的原因无关这一特点。（2）实功是变力做功，计算式中有系数1/2；虚功是常力做功，计算式中没有系数1/2。（3）实功恒为正，虚功可正可负。虚位移应满足的条件：虚位移应当是微小的；虚位移必须是变形可能的，即位移函数是连续的。二、实功、虚功、虚位移：三、变形体虚功原理：变形体处于平衡的充分必要条件是：对于任何虚位移，外力所作的虚功（虚外功）总和等于内力在虚变形上所作的虚变形功。（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。（2）第一状态满足静力平衡（内力并不一定是真实的）第二状态满足虚位移变形协调条件说明：（4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。（3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。四、虚功原理的两种实用形式1、虚位移原理特点：受力真实，位移虚设。用途：用以计算真实受力状态下的未知力，与平衡方程等效。YBYAXAΔΔ/2由虚功原理：虚功方程

平衡方程（4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。2、虚力原理特点：位移真实，受力状态虚设。用途：用以求解真实位移状态中的待求位移。ΔΔCV四、虚功原理的两种实用型式求ΔCV。（一）支座移动对静定结构的影响刚体位移：有位移无应变变形体位移：有位移有应变五、静定结构由支座移动引起的位移计算求K点的竖向位移（二）基本公式

虚设力的方法：1、虚设力P的作用点为预求位移的点；虚设力的方向与欲求位移的方向一致；2、虚设力P的大小等于单位1，并称这样的力为单位力。实际位移状态虚设的力状态Ri的正向与Ci的正向一致刚体虚功原理：T=0六、单位荷载法：假设一单位力作为力状态，利用虚功原理求位移的方法叫单位荷载法。虚设力状态必须另外画一个图。虚力状态的建立：六、单位荷载法：虚力状态的建立六、单位荷载法：总之：求线位移集中力相对线位移加方向相反的一对集中力角位移集中力偶相对角位移加方向相反的一对集中力偶六、单位荷载法：（三）支座移动引起静定结构位移的计算步骤:求单位力作用下的支反力利用公式求位移根据拟求位移作单位力状态P=11/21/2Δ=-(-1/2*

Δ)=Δ/2求ΔCV。ΔΔCV例：图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a，求Ｅ截面的竖向位移DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角。1YBYC（2）求单位力作用下的支反力（3）利用公式,求位移解：1、求Ｅ截面的竖向位移（1）根据拟求位移作单位力状态YA例：图示多跨静定梁支座Ｂ发生沉陷a，求Ｅ截面的竖向位移DEV和Ｄ铰两侧截面的相对转角。YBYC（2）求单位力作用下的支反力（3）利用公式,求位移解：（1）根据拟求位移作单位力状态2、Ｄ铰两侧截面的相对转角()YA其微段ds的变形情况如图：（一）图示刚架由于外因作用，产生变形和位移如图。求D点处的水平位移Δ。du称为相对轴向变形；dj

称为相对转角；dv称为相对剪切变形。5.3结构位移计算的一般公式一、

结构位移计算的一般公式结构在P=1单独作用下，产生支反力`R1

、R2

、R3；（二）为了应用变形体虚功原理，建立单位力状态即在D点沿所求位移方向虚设单位力P=1。微段ds两端面所受内力分别为`N、

`M、`Q。一、

结构位移计算的一般公式（三）对来说，C1

就是虚位移；作、的虚位移。同理，C2、C3可看（b）状态的所有外力在（a）状态的虚位移上所作的虚功为：一、

结构位移计算的一般公式（四）的变形所作的虚变形功为：（b）状态微段上的内力沿（a）状态微段上总虚变形功为：一、

结构位移计算的一般公式变形体处于平衡的必要充分条得：件是：对于任何虚位移，外力所作的虚功总和等于内力在虚变形上所作的虚变形功。由变形体虚功原理：即，上式称为计算结构位移的一般公式。一、

结构位移计算的一般公式一般公式的普遍性表现在：2.结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；1.位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3.材料性质：线性、非线性；4.变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对

位移。5.4静定结构在荷载作用下的位移计算一、公式推导：结构位移计算的一般公式：求C点的竖向位移Δ。无支座位移:du、dj和dv分别表示实际荷载所引起的杆件微段ds上的相对轴向变形、弯曲变形和剪切变形。一、公式推导：当结构为线弹性结构时：E为弹性模量；A、I分别为杆件截面积和惯性矩；G为剪切弹性模量；k为应力沿截面不均匀系数，其值与截面形状有关。最后得到：一、公式推导：二、实用公式：（一）符号含义：结构在虚设单位力作用下的内力；（一）梁、刚架：结构在实际荷载作用下的内力；（二）公式中的第一项是弯曲变形对位移的影响，

第二项是轴向变形的影响，第三项是剪切变形的影响。（二）桁架：一、公式推导：（三）拱的位移计算：对一般拱结构的位移计算不考虑剪切、轴向变形的影响，取：对扁平拱、接近合理拱轴线的拱，应考虑轴向变形的影响：二、实用公式：（四）组合结构的位移计算：组合结构受力特点：1）梁式杆2）桁架杆位移计算公式：二、实用公式：（一）虚设相应的力状态：线位移→集中力角位移→集中力偶（二）分别求出两种状态的内力（三）代入相应实用公式计算内力不同须分段来求。三、计算荷载作用下静定结构位移步骤：（1）梁、刚架：（2）桁架：四、举例：例1、求图示结构中点C的竖向位移ΔCV。（EI=c）解：1.虚设相应的单位力状态：3.分别求出两种状态下的内力，即求MP和`M:设以A点为坐标原点，取脱离体：2.求两种状态下的支反力：（一）梁、刚架的位移计算:4、代入公式求解：小结：1.符号：结果为正，说明位移方向与所设力方向一致；为负，则相反；2.列方程时，MP和`M的坐标应一致，内力方向假设应一致。3.积分时，当EI、荷载改变时，应分段积分；4.利用对称性时，注意：必须两种状态均对称。例2、试求图示结构C端的水平位移ΔCH和角位移jc。（已知EI为常数）解：（1）虚设相应的单位力状态：（2）分别求出两种状态的内力：分段：1.求ΔCH：分为AB、BC段：BC段：以C为原点：以B为原点：AB段：（3）代公式积分求值：（→）BC段：2.求jc。（1）虚设相应的单位力状态：（2）分别求出两种状态的内力：分段：分为AB、BC段：BC段：以C为原点：例2、试求图示结构C端的水平位移ΔCH和角位移jc。（已知EI为常数）AB段：（）以B为原点：（3）代入公式求解：BC段：（2）分别求出两种状态的内力：例、求图示桁架2点的竖向位移Δ2V。（EA为已知）解：（1）虚设相应的单位力状态：（2）由公式列表计算两种状态的内力：（二）桁架的位移计算:∴杆件号长度(m)1-261-352-352-452-563-464-55Σ单位荷载作用下结构的内力用截面法，截开1-2杆、2-3杆和3-4杆：用节点法，取1结点：由对称性可得其余杆件轴力。实际荷载作用下结构的内力用截面法截开1-2杆、2-3杆和3-4杆：1结点：由对称性可得其余杆件轴力。

5.5图乘法一、问题的提出：梁和刚架：二、公式推导：现考察设AB杆段，由荷载所引起的

MP图为曲线图形，所引起的M图为直线图形。现设单位弯矩图的直线与基线交于O点，并设夹角为a。由单位力表示MP图的面积ω对y轴的面积矩，它等于MP图的面积ω乘以该图形的形心到y轴的距离x0。y0表示`M图中与MP图的形心相对应的竖标。二、公式推导：三、公式应用条件：1、各构件是等截面直杆；2、各构件EI为常数；3、各构件MP、`M图中至少有一个是直线图形，而

y0则必须取自直线图形。四、位移符号：ω与y0同侧相乘为正，异侧为负。五、几种常见图形的面积和形心的位置：ω=hl/2l/2l/2h二次抛物线ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线ω=hl/3二次抛物线ω=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点六、图乘法计算静定结构位移的步骤：（一）建立相应的虚力状态；（二）分别作出两种状态的M图（即`M图和MP图）；（三）利用公式求位移。解：一、求jB。（一）建立相应的虚力状态：（三）利用公式求位移：（二）分别作出`M、MP图：二、求ΔCV：（一）建立相应的虚力状态：（二）分别作出`M、MP图：（三）利用公式求位移：()()规律1：当`M图由若干直线组成时，应分段相乘。例1、求图示简支梁B端的转角jB和跨中C点的竖向位移ΔCV。（已知EI为常数）一、求Δ

CV:（一）建立相应的虚力状态：（三）利用公式求位移：（二）分别作出`M、MP图：二、求jc

：（一）建立相应的虚力状态：（二）分别作出`M、MP图：（三）利用公式求位移：()()解：例2、求图示刚架C点的竖向位移Δ

CV和转角jc

。

例3、求图示刚架C点的水平位移ΔCH。（EI=C）解：（一）建立相应的虚力状态：（二）分别作出两种状态的M图：（三）利用公式求位移：解法一：解法二：()规律2：与`M图相乘。规律3：当MP

图的形心不便确定时，可将该图形分解为几个易于确定形心的部分后再分别当MP图和`M图均为直线图形时，y0可取自任一图形。Fl/2l/2C例4求图示梁C点的挠度。MFFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=△5Fl/6EIFl4853=Fl65×øöllEIyC22210çèæ××==Dw例5、求图示刚架C点的ΔCH、ΔCV和转角jc

。

1、求ΔCH:（1）建立相应的虚力状态：（3）利用公式求位移：（2）分别作出两种状态的M图：解：()2、求ΔCV：（1）建立相应的虚力状态：（3）利用公式求位移：（2）分别作出`M图和MP图：()解：3、求jc

：解：（1）建立相应的虚力状态：（2）分别作出两种状态的M图：（3）利用公式求位移：()例6：求Δ

BH和转角jA

。（EI=C）

解：（1）建立相应的虚力状态：（2）分别作出两种状态的M图：（3）利用公式求位移：1、求Δ

BH

：()（1）建立相应的虚力状态：（2）分别作出两种状态的M图：（3）利用公式求位移：2、求jA

：()5.6静定结构由其他因素所引起的位移计算一、支座移动所引起的位移：

支座移动和转动不引起静定结构的应力和应变，但要引起刚体位移。`

Ri表示单位荷载作用下的支座反力。注意：当`Ri与Ci方向一致时，`RiCi为正；反之为负。单位统一化为国标。公式本身自带负号。例：已知图示三铰刚架右边支座B的竖向位移为ΔBV

=6cm（↓），水平位移为ΔBH

=4cm（→），ℓ=12m，h=8m。试求由此支座移动所引起的A端截面的角位移jA。解：一、建立相应的虚力状态：二、求出（一）以整体为研究对象：()()（二）从铰C处切开，以右边为研究对象：()()三、代入公式计算：()二、温度改变所引起的位移计算：温度改变时，材料只膨胀或收缩，并不产生剪

应变。`N、`M表示单位荷载作用下的轴力、弯矩值。当温度变化与单位力作用下引起的构件轴线的伸、缩性相同时，第一项取正号，否则取负号；

当温度变化引起的构件伸长侧与单位力产生的弯矩引起的构件受拉侧相同时，第二项取正号，反之，取负号。图示结构，当外侧温度升高了t1，内侧温度升高了t2时，求ΔCV。a表示材料的线膨胀系数，ω表示单位荷载作用下内力图的面积6.7互等定理一、功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。二、位移互等定理：

在第一个单位力的方向上由于第二个单位力所引起的位移，等于在第二个单位力的方向上由于第一个单位力所引起的位移。注意：位移广义位移线位移角位移单位力广义单位力单位集中力单位集中力偶位移互等定理是功的互等定理的一个特例。三、反力互等定理：主要应用于超静定结构。支座1由于支座2的单位位移所引起的支座反力等于支座2由于支座1的单位位移所引起