第11章梁和结构的位移

建筑力学ArchitecturalMechanics

主讲：杜留记河南城建学院土木与材料工程系力学教研室

第11章梁和结构的位移

主要内容§11-1概述§11-2梁的挠曲线近似微分方程§11-3叠加法§11-4单位荷载法§11-5图乘法§11-6线弹性体的互等定理§11-7结构的刚度校核1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。B1Fxqqωyx2.梁位移的度量：②挠度：梁横截面形心的竖向位移ω，向下的挠度为正①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度θ，顺时针转动为正§11-1

概述③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—ω=f(x)④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施§11-1

概述B1Fxqqωyx一、挠曲线近似微分方程1.力学关系：2.几何关系：3.挠曲线近似微分方程：§11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分yxyx二、积分法求梁的挠曲线1.式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。§11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分2.支承条件与连续条件:1)支承条件：2)连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的lFAB§11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分qmaxfmax解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：例一

图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。

yxFxqmaxfmaxyxFx例一

图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。

例二

求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。FabClABFAFB解：1、求支反力FabClABFAFB例二

求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。

几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。§11-3

叠加法例三如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。FqωBqωCqqBFωBPFq1.在F作用下：2.在q作用下：3.在F和q共同作用下：例三如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。a.荷载作用；b.温度改变和材料胀缩；c.支座沉降和制造误差。1）产生位移的主要原因：↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不产生内力，产生变形产生位移不产生内力和变形，产生刚体移动βΔl位移是几何量，截面的转动和移动统称为结构的位移。结构的位移可分为线位移和角位移。a.材料符合胡克定律，应力和应变成线性关系，

σ=Eε；b.小变形。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。

2）结构位移概念和分类：3）位移计算时的假定：a.验算结构的刚度；b.为超静定结构的内力分析打基础；c.建筑起拱。求位移最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。力由于自身所引起的位移而作功。作的功与其作用点移动路线的形状、路程的长短有关。

当静力加载时，即：P由0增加至P

由0增加至实功的计算式为：F1若干外力作用下，梁发生变形的时外力的总功可写作

整个杆件的弯曲变形位能由微段变形位能的积分求得。

轴向拉压变形的位能表达式。

当轴力FN和拉压刚度沿杆件长度为常数时，变形的位能表达式。

组合变形杆件，按叠加原理，变形位能为各基本变形形式的变形位能的和。

KK变形位能在数值上等于外力在变形过程中所作的功。

FK第一阶段：

第二阶段：

弯矩方程：

F轴力杆件

轴力和EA为常数

单位力偶

Pl/2l/2EIABx1x2解：1）虚拟单位荷载m=1MP（x1）=Px/20≤x1≤l/2MP（x2）=P（l－x）/2l/2≤x2≤l0≤x≤lEIdsMMlPB0=òj积分常可用图形相乘来代替2）MP须分段写例：求图示等截面梁B端转角。若EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为:

若

和

中有一个是直线图,

如图所示:代入上式有:

是常数,可提到积分号的外面

M图

BxxC

M

AByC

AdxC形心MP

dAMP图

xy0

是

图对Y轴的面积矩,可写成:

--是

图的形心到Y轴的距离

有:

其中:

--是图的面积

--是

图形心位置所对应的

图中的竖标

得：令:

并且略去下标c

上述积分式计算位移的方法称为图乘法。应用图乘法需注意以下几方面：1.满足前提三个条件；2.纵坐标y必须取自直线的弯矩图中；3.同侧为正，反之为负。4.y所在图形有若干直线段组成时，需分段求解；5.当弯矩图面积或形心不易确定时，可将图形分解为若干简单的图形，然后分别图乘，最后求和。hlC2

l/4

3l/4

3l/8

5l/8

C1

ω1

ω2

顶点常见图形形心及面积lhC2l/3

l/3

hl/2C顶点abl+b/3

l+a/3

hClhll/5

4l/5

C2

2l/5

3l/5

C1

ω1

ω2

顶点常见复杂图形处理A2A1y2y1cdba若各段刚度不相同，则应分段图乘。

×=××+×=×+×复杂图形的处理：

例：求A点的转角和C点的

竖向位移。

解：（1）求A点的转角（2）求C点的竖向位移

图

图

图ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP图、PPLMP图1L；2.图乘计算。△Ay=（↓）∑EIyC=EI1(2L‧L2PL(L‧4=16EIPL2)-2EI123L)PL求A点竖向位移§11-6线弹性体的互等定理

本节介绍线性变形体系的三个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它两个定理均可由此推导出来。一、功的互等定理

设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。(a)第一状态(b)第二状态FP11

2

Δ11Δ21FP21

2

Δ12Δ22

这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：(1)先加FP1后加FP2，外力的总功(2)先加FP2后加FP1，外力的总功(a)第一状态(b)第二状态1

2

Δ11Δ211

2

Δ12Δ22FP1FP2§11-6线弹性体的互等定理功的互等定理:

即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。∵外力所作总功与加载次序无关，即：W1=W2

∴由1、2可得：§11-6线弹性体的互等定理二、位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1=FP2=1

由功的互等定理式（a）则有：即：(a)第一状态(b)第二状态FP1＝1

1

2

δ21FP2＝1

1

2

δ12§11-6线弹性体的互等定理位移互等定理:

即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中：单位力——广义力（单位力偶、单位集中力）；位移——广义位移（线位移、角位移）。§11-6线弹性体的互等定理(a)第一状态1

2

r21Δ1＝1

(b)第二状态1

2

r12Δ2＝1

左图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移Δ1＝1时，使支座2产生的反力r21；另一种即为支座2发生单位位移Δ2＝1时，使支座1产生的反力r12。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。§11-6线弹性体的互等定理根据功的互等定理有：反力互等定理:

即支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。(a)第一状态1

2

r21Δ1＝1

(b)第二状态1

2

r12Δ2＝1§11-6线弹性体的互等定理

注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。由反力互等定理，则有：

r12=r21

(a)第一状态(b)第二状态

r211

2

φ1＝11

2

r12Δ2＝1即反力偶r12等于反力r21（数值上相等，量纲不同）§11-6线弹性体的互等定理一、梁的刚度校核

除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。

在土建工程中，通常对梁的挠度加以控制，例如：梁的刚度条件为：§11-6结构的刚度校核通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。

但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。§11-6结构的刚度校核M例

一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160MPa，许用挠度[δ]=l/500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。

解：1、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求F=35kN2mAB2ml=4m3、梁的刚度条件为：由此得

由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3，惯性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。MF=35kN2mAB2ml=4m例

一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160MPa，许用挠度[δ]=l/500，弹