山西省太原市西墕中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析

山西省太原市西墕中学2021年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数与的图像的交点为，则所在的区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：函数与的图像的交点的横坐标就是函数的零点，，，，由函数零点存在定理，得函数的零点在，，故答案为B.考点：方程的根和函数零点的关系.2.设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：

答案：A

3.已知（其中），则的值为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：B4.已知是三个集合，那么“”是“”成立的

（）A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：答案：A5.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形.则该几何体的体积为

（

）A．16

B．48

C．60

D．96参考答案：B略6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（

）A. B.C. D.参考答案：A根据函数g（x）的图象知，=﹣=，∴T=π，∴ω==2；由五点法画图知，x=时，ωx+φ=2×+φ=，解得φ=；∴g（x）=sin（2x+）；又f（x）向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，∴f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故选：A．7.已知△ABC的三个内角为A，B，C，若函数f（x）=x2﹣xcosA?cosB﹣cos2有一零点为1，则△ABC一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形参考答案：A【考点】三角形的形状判断；三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简表达式求解即可．【解答】解：知△ABC的三个内角为A，B，C，函数f（x）=x2﹣xcosA?cosB﹣cos2有一零点为1，可得1﹣cosA?cosB﹣cos2=0，即：﹣cosA?cosB+=0可得2cosA?cosB=1+cos（A+B），即cosAcosB+sinAsinB=1，cos（A﹣B）=1，△ABC的三个内角为A，B，C，可得A=B，三角形是等腰三角形，故选：A．8.复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A9.△ABC中，且cos2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则c：sinC等于(

) A．3：1 B．：1 C．：1 D．2：1参考答案：D考点：正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：运用二倍角的余弦公式以及同角的平方关系，以及正弦定理，即可得到．解答： 解：cos2B+3cos（A+C）+2=0，即有2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0，解得，cosB=（1舍去），△ABC中，则sinB=，由正弦定理，可得，==2．故选D．点评：本题考查二倍角公式的运用，考查正弦定理及运用，考查运算能力，属于中档题．10.在复平面内，复数(i是虚数单位)对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为______.参考答案：或【分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程.【详解】设切点为，因，所以为切点的切线方程为：，代入点坐标有：，解得：或.当时，切线方程为：；当时，切线方程为：.故答案为或.【点睛】本题主要考查了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题.12.不等式的解集为__________.参考答案：13.二项式展开式的第三项系数为，则．参考答案：114.已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．参考答案：，

若，则，此时，即的值域是。若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。15.已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作

双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为

.

参考答案：16.已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：①数列0,1,3,5,7具有性质；

②数列0,2,4,6,8具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列具有性质，则。其中真命题有

。参考答案：②③④略17.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数

．参考答案：128三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|?|ON|的值；（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由b=1，离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程，设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，y=0，得xM=，同理可得xN=，∴|OM|?|ON|=丨xM丨?丨xN丨==4；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y1﹣y2丨==，S=丨MN丨?丨y1﹣y2丨=，由函数的单调性即可求得△ABN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b=1，…（1分）由椭圆的离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，a2﹣1=a2，解得：a2=4，∴椭圆C的方程为：；…设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，令y=0，得xM=，同理可得xN=，∴|OM|?|ON|=丨xM丨?丨xN丨=丨丨?丨丨==4，|OM|?|ON|=4；…（Ⅱ）当点M坐标为（1，0）时，点N（4，0），丨MN丨=3，…（6分）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，则y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…（8分）丨y1﹣y2丨===，△ABN面积S=丨MN丨?丨y1﹣y2丨=?=，…（10分）∵t2≥0，则+≥+=，∴S≤，因此当t=0，即直线AB的方程为x=1时，△ABN面积的最大值是．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3，c=5，求b．参考答案：【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．20.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．参考答案：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.21.已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且（1）求tanA?tanB的值；（2）求的最大值．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanAtanB的值．（2）把余弦定理代入式子，再应用基本不等式求出式子的最大值．【解答】解：（1）∵，，由已知得：（1﹣cos（A+B））+=，即

（1﹣cos（A+B））+=，4cos（A﹣B）=5cos（A+B），∴9sinAsinB=cosAcosB，tanAtanB=．（2）==tanC=﹣tan（A+B）=﹣?=﹣（tanA+tanB）≤﹣?2=﹣，（当且仅当A=B时等号成立），故的最大值为﹣．【点评】本题考查两个向量的数量积公式，两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系以及余弦定理得应用．22.（本小题满分11分）如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.参考答案：【答案解析】（I）点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆（II）（3－2，1）解析：（I）由，∴直线l的斜率为，（用点斜式）故l的方程为，∴点A坐标为（1，0），………….2分设，则，由得整理，得∴点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆………5分

（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x