山西省吕梁市石楼县第三中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析

山西省吕梁市石楼县第三中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我们把离心率为e＝的双曲线(a>0，b>0)称为黄金双曲线．如图，是双曲线的实轴顶点，是虚轴的顶点，是左右焦点，在双曲线上且过右焦点，并且轴，给出以下几个说法：①双曲线x2－＝1是黄金双曲线；②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；③如图，若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④如图，若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确的是()A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①②③④参考答案：D2.函数处的切线方程是

A． B．C．

D．参考答案：D3.如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是()A．n＝n＋2，i>15?

B．n＝n＋2，i＝15?C．n＝n＋1，i＝15?

D．n＝n＋1，i>15?参考答案：A略4.设a,b是非零实数，且满足，若类比两角和的正切公式，则=A.4

B.

C.2

D.参考答案：D5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A.144个 B.120个 C.96个 D.72个参考答案：B试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．6.如图，过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒参考答案：C【考点】导数的几何意义．【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C8.已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.不等式的解集为（

）A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]C.[－2,1)∪(4,7] D.(－2,1]∪[4,7)参考答案：D试题分析：由题意得，不等式，则或，解得或，故选D．10.的展开式的第二项为（

）A．－5

B．

C．10

D．10x参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为

．参考答案：13π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．【点评】本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．12.已知集合，则用列举法表示集合A=

。参考答案：1,2,4,5,7略13.有下列四个命题：①“若,则互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若,则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题为___________________.参考答案：①③略14.若，则的值为

.参考答案：试题分析：令等式中得;再令,则,所以,故应填.考点：二项式定理与赋值法的综合运用．15.我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形（如图）．由此可推得第n个正方形数是．参考答案：n2【考点】归纳推理．【分析】根据12=1，22=4，32=9，可得第n个正方形数．【解答】解：∵12=1，22=4，32=9，∴第n个正方形数就是n2．故答案为：n216.把数列{2n＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为_______。参考答案：2072

略17.把五进制数2013化为七进制数为______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx+在x=1处有极值﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）f′（x）=﹣，由f（x）在x=1处的极值是﹣1，故，解得：a=b=﹣1；（2）由（1）f（x）=﹣lnx﹣，（x＞0），则f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．19.已知是二次函数图像上两点，且.(1)求的值；(2)求的图像在点处切线的方程； (2)设直线与和曲线的图像分别交于点、，求的最小值.参考答案：解:(1)由题意得:，解得…………3分

(2)由(1)可得:，

∴，则的图像在点处切线的斜率为∴的图像在点处切线的方程为

…………6分(3)由题意可得:

…………7分令

…………9分∴当单调减；当单调增.

…………11分∴

…………13分略20.棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、DD1的中点．（1）若平面AFB1与平面BCC1B1的交线为l，l与底面AC的交点为点G，试求AG的长；（2）求点A到平面B1EF的距离．参考答案：考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）过B1作FA的平行线交面ABCD于G，连接AG，在Rt△ABG中求得AG的长；（2）分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面B1EF的一个法向量，利用向量法求得点A到平面B1EF的距离．解答： 解：（1）如图，延长CB到G，使BG=2BC，连接B1G，则B1G所在直线为平面AFB1与平面BCC1B1的交线，连接AG，在Rt△ABG中，AB=1，BG=2，则AG2=AB2+BG2=5，∴AG=；（2）建立如图所示空间直角坐标系，则A（1，0，0），，，设平面B1EF的一个法向量为，由，得，取x=2，得y=﹣，z=﹣1，∴．又=（0，1，1），∴点A到平面B1EF的距离d===．点评：本题考查空间中的点、线、面间的距离，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用向量法求点到面的距离，是中档题．21.（本题满分10分）若，求证：.参考答案：见解析………5分

所以，原不等式得证。………………10分22.函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在点x=1处取得极大值为2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=0，求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即