2020届北京市东城区高三一模考试数学试题

2020北京市城区高三模考试数学题一选题1.已集合

A

A

B

（）A

B

C．

D．

2.函f

2

的定义域为（）AC．

B．D．

3.已

i

，则a）A1

B

C．

D．4.若曲线C

2

b

22

的一条渐近线与直线

y

平行，则的为（）A1

B

C．3

D．25.如所示某三棱锥主图视图左视均为直角三角形该棱锥的体积）A4

B

C．

D．6.已x

，那么在下列不等式中，不成立的是（）A2

B

1

C．sinx0

D．7.在面直角坐标系中，动点M在位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每2分转动一周.点M的第1页，共18页

22222222222222222初始位置坐标为,动到3分时，动点M所位置的坐标是（）A,

B,

C．

1D．,8.已三角形ABC那么

ABAB

”是三角形为锐角三角形的（）A充分而不必要条件C．分必要条件

B．要而不充分条件D．不分也不必要条件9.设O为标原点，点

，动点在抛物线

y2x

上，且位于第一象限，M是段PA的中点，则直线

的斜率的范围为（）A

B2

C．2

D．设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者后者为捕食者现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模.假设捕食者的数量以

x

表示，被捕食者的数量以

y

表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量系，其中箭头方向为时间增加的方向下列说法正确的是（）A若在t、t时刻满足：1

y

B如果

y

数量是先上升后下降的，那么

x

的数量一定也是先上升后下降C．捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．捕者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值二、填空题知向量a

，

b

c

，若ac共，则实数第2页，共18页

66,066,0

x2

的展开式中，常数项_____数字作答）心在x轴，且与直线

l:yx1

和

l:y2

都相切的圆的方程为函数

2xax

给出下列四个结论：①对

，

R

，使得

f

无解；对

，R

，使得

f

有两解③时

，使得

f

有解；④当时

，使得

f

有三解其，所有正确结论的序号_

是等边三角形，点D在

的延长线上，且CDBD27，CD；sin______.三解题图四棱锥PABCD中PD面为平行四边形ABPD.

AC

，（Ⅰ）求证：

AD//

平面

；（Ⅱ）求二面角B

的余弦值的大小知函数

fx，且满足______.（Ⅰ）求函数

f

的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若关于x的程

f

在区间

解，求实数的值范围从①

f

的最大值为，

f

的图象与直线

y

的两个相邻交点的距离等于，

f

的图象过点

这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作.国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统年斗全球系统建设将全面完如图是在室外开放的环境下北二代和北斗三代定位模块别定位的50个位的横坐误差的值，其中“”示北斗二代定位模块的误差的值“+表示北斗三代定位模块的误差的.单位：米）第3页，共18页

（Ⅰ）从北斗二代定位的点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于米概率；（Ⅱ）从图中A，B，，四点位中随机选出两个，记为中纵坐标误差的值小于的点位的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三定位模块纵坐标误差的方差的大.结论不要求证明）知椭圆：

2y2（a2b2

的，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为F，F，四边形

AFBF12

为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E的准方程；（Ⅱ存在斜率不为零且平行的两条直线ll们与椭圆E分别交于点C四形1是菱形，求出该菱形周长的最大

DMN知函数

f

（

）.（Ⅰ）若a，曲线

yf（Ⅱ）若

f

有两个极值点，求实数取值范围；（Ⅲ）若a，

f

a

上的最小值.列

：x，，x，…对给定的t（1n

t

，

t

满足不等式：

xt

*

（

N，n）的*构的集合为

．（Ⅰ）若数列

:n

2

，写出集合

；（Ⅱ）如果

（

tN

，

t

）均为相同的单元素集合，求证：数列x，，…，，为差数列；1n第4页，共18页

（Ⅲ）如果

，t）单元素集合，那么数列，x，…，x，还是等差数列吗？如果1n是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．第5页，共18页

参答1.【析】∵

A

∴

故选：D．【答案】D2.【析】函数f

2

，令

2

，得

，解得x，以

f

的定义域为

2,

故选：【答案】B3.【析】

i

，i=

21-i

=

2

，因此，a.故选：A．【答案】A4.【析】双曲线C2

b

22

的一条渐近线y与线y

平行，可得

故选：D．【答案】D5.【析】由三视图知，几何体是一个三棱锥

1

BCD

，根据三棱锥的三视图的数据，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是D，BC，

1

，因此，三棱锥的体积是

12

第6页，共18页

2，22，2故选：A．【答案】A6.【析】

则

x

x

，

xxxxxx

，又

sin

、

cosx

，sin，cosx.可得：成，不立故选：D．【答案】D7.【析】每分转动一周，则运动到分时，转过的角为

2

设点的初始位置的坐标为

，则

cos

，sin

，运动到钟时动点所位置的坐标是

M

2

由诱导公式可得cos

sin2

12

，所以，点故选：．

的坐标为【答案】C【解析】三角形中“

ABAB

”

AB

，可得A为锐角，此时三角形

不一定为锐角三角形.三角形为锐角三角形A

为锐角第7页，共18页

9.【析】设，，以PA的点2229.【析】设，，以PA的点222OM2角形ABC，么故选：．【答案】B

ABAB

”是三形为锐角三角形的要不充分条.yM,22

，所以

OM

2y224

2

，1因为，所以

，所以k故选：．【答案】C解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不确；在曲线上半段中观察到

y

是先上升后下降，而

x

是不断变小的，故B正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最处，同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，

x此时二者总和

x

，由图象可知存在点

x

，

y

，x

y

，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错，故选：．【答案】C解析】

向量

b

c

，

，a与c共，故答案为：.

m

，解得实数.第8页，共18页

【答案】

解析】在x

2

)

的展开式中通公式为：Tr

r

x2

r

r2x

r令rr所以展开式的常数项为：故答案为：【答案】60

C解析】设所求圆的方程为

2

r

2

，因为圆

与直线

l:yx1

和

l:y2

都相切，则

r

，解得，r

，所以圆的方程为

2

故答案为：

2

【答案】

解析】对于①，可取a则

2,x0.

，当

时，

f

；当

时，f

x

22

x

，且仅当

时，取得等号，故时，

的值域为R∴

R

，

f

都有解，故①错误；对于②，当

t

时，由于对于任意

xf

x

,

x

无解；

时，

f

，对任意的a,

至多有一个实数根，故②错误；对于③，当a时x时

f

单调递减，可得

f

；又时

，即有2

x

第9页，共18页

22可得x，

f

的值域为

，∴

，

f

都有解，故③正确；对于④，当

时，

时，

f

递增，可得

f

；当时f

，当且仅当时取得等号，由图象可得，当

时，

f

有三解，故④正.故答案为：③④.【答案】③④15.【解析】如图所示，等边

中AD，以AC

又BD7，以BD2BC2CDBC，即

2

CD

，解得CD，所以AD；由

ADBDsinABDA

，即

62sinABDsin60

，解得ABD

故答案为：2；

第，共

【答案】2解析）证明：

底面为平行四边形//BC

，面，AD平面PBC，AD//平PBC；（Ⅱ）解：过D作行于

的直线

，

，Dx，

ABCD

，

以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

D

则

、

、

，

，设平面

的一个法向量为nz

，由

nxyn

，取y，

取平面的一个法向量mmn

m

由图可知，二面角DPC

为钝角二面角PC

的余弦值为

【答案）明见解析）

解析）函数

fsin2x2x6xcos2x6sin2xx66第，共

fx2sin23fx2sin233f,06,332x2sin

，若满足①

f

的最大值为1则

，解得a，所以

，则函数

f

的最小正周期为T2

；（Ⅱ）令

f

，解得

x

k

，kZ，

x

，；若关于的程

f

x

或

；所以实数的值范围是

7

若满足②，

f

的图象与直线

y

的两个相邻交点的距离等于，且

f

的最小正周期为T

22

以

，解得a；以下解法均相同.若满足③，

f

的图象过点

a6

，解得a；以下解法均相同.【答案】满足①或②或③

f2

，最小正周期为）

；18.【解析）由图可得，在北斗二代定位的个点中，横坐标误差的绝对值大于10米点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米概率为

0.06

；（Ⅱ）由图可得，B，，四点位中纵坐误差值小于的有两个点：CD，所以X的所有可能取值为0，1，2第，共

222222

C02C24

，P

X

C1C22C234

，

C22C264

，所以X的分布列为所以X的期望为

E

3

；（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三.【答案）0.06）布列见解析1）斗二代定位模块纵坐标误差的方差大北斗三19.【解析）∵四边形，∴2解得，

AFBF12

为正方形，且面积为，∴椭圆的标准方程

2

；（Ⅱ）设

l1

的方程为

ykxm1

，

Cy11

22

，设l的程为2

ykx，My244

，联立

ykxx222

可得

211

，由

可得

2m1

2

1

，化简可得

k22

，①第，共

121118121118x12

km1k

2

2m，1，121

1

x1

k

21k2

2

kk

2

21，同理可得

MN

1k222k

，∵四边形

CDMN为菱形，∴CD，m1

22

，又∵

m，m112

，∴

l，l1

关于原点对称，又椭圆关于原点对称，∴M关于原点对称，N也于原点对称，∴且，y142∴

MCy1

ND2

，∵四边形

为菱形，可得

，即

xyy即12121

1

，即

11

，可得

2km1km121k

2

1

，化简可得

3k

，∴菱形CDMN的长为l4CD

2k22k221k2

2k

1

231k2

3

，当且仅当

，即

k

时等号成立，第，共

单调递增，单调递增，此时

，满足①，∴菱形

的周长的最大值为【答案）

2

）20.【解析】∵

f

，∴

f

；（Ⅰ）当时

f

，∴曲线

y

y

，即

y

；（Ⅱ）∵若

f

有两个极值点，∴

f

x

lnxax

有两个不等的正根，即

a

x

两个不等的正根，令

lnx

，，

2

，令

x

x

，当

xx

，此g

x

；当

x

，时g

单调递减，

∴函数

在

x

处取得极大值，也是最大值

，因为

a

x

两个不等的正根，∴

a，

，1∴实数取值范围是（Ⅲ）∵

f

，∴

f

，

x

a

，第，共

xx2axx2a∵，

xf

a

，当

a

时，

f

x

单调递增，当

f

x

单调递减，故

f

x

f

1

，∴故

ff

上单调递减，上的最小值为

f

．【答案）

y

1）

2a

21.【解析）解：由题意得，

为满足不等式

x2

*

的t*构成的集合，∵数列

nn

2

，∴

2*

*

当n

时，上式可化为*，当时上式可化为*，得5*，∴

；（Ⅱ）证：对于数列

：