2021-2022学年江苏省镇江市丹徒江心中学高二数学理月考试卷含解析

2021-2022学年江苏省镇江市丹徒江心中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A.24个

B.30个

C.40个

D.60个

参考答案：A略2.命题“?x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．?x∈R，x2﹣x＞0 B．C．?x∈R，x2﹣x≤0 D．参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是?x∈R，x2﹣x≤0．故选：C．3.已知f（x）=x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4 B．﹣2 C．0 D．2参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值【解答】解：求导得：f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，故选：B．4.坐标原点O到直线3x＋4y－5＝0的距离为A．1

B．

C．2

D．参考答案：A5.直线l过双曲线焦点F且与实轴垂直，A，B是双曲线C的两个顶点,若在l上存在一点P,使,则双曲线离心率的最大值为（

）A. B. C.2 D.3参考答案：A【分析】先设双曲线的焦点，直线，，，，由两直线的夹角公式可得，由直线的斜率公式，化简整理，运用基本不等式，结合离心率公式，即可求出结果.【详解】设双曲线的焦点，直线，可设点，，，由两直线的夹角公式可得，由可得，化简可得，即，当且仅当，即时，离心率取得最大值为.故选A【点睛】本题主要考查求双曲线离心率的最大值，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.6.设x，y满足，则z=x+y的最值情况为（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式．【分析】画出x，y满足的平面区域，利用y=﹣x+z的截距的最值求得z的最值．【解答】解：x，y满足的平面区域如图：当直线y=﹣x+z经过A时z最小，经过B时z最大，由得到A（2，0）所以z的最小值为2+0=2，由于区域是开放型的，所以z无最大值；故选B．【点评】本题考查了简单线性规划问题，首先正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值．６、函数的定义域为（a,b），导函数在（a,b）内的图像如图所示，则函数在（a,b）内有极小值点的个数为（）A

4

B.

3

C.

2

D.1

参考答案：D略8.已知是等差数列，且a2+a3+a8+a11=48，则a6+a7=(

)A．12

B．16

C．20

D．24参考答案：B9.命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0参考答案：D【考点】四种命题．【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．10.数列满足，且，则数列的前项的乘积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“"x∈R，sinx>－1”的否定是

▲

。参考答案：略12.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a=8，∠B=60°，∠C=75°，那么b等于．参考答案：4【考点】正弦定理．【分析】依题意可求得∠A，利用正弦定理即可求得b．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣75°=45°，又a=8，∴由正弦定理=得：b===4．故答案为：4．13.命题“”的否定是

．参考答案：14.若函数=|x-|在区间[1，+∞）为增函数，则实数的取值范围是___________参考答案：≤1

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率等于．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先利用椭圆的对称性和OABC为平行四边形，可以得出B、C两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a；设B（﹣，y）C（，y），从而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=b/=，求得a=3b，最后根据a2=c2+b2得出离心率．【解答】解：∵AO是与X轴重合的，且四边形OABC为平行四边形∴BC∥OA，B、C两点的纵坐标相等，B、C的横坐标互为相反数∴B、C两点是关于Y轴对称的．由题知：OA=a四边形OABC为平行四边形，所以BC=OA=a可设B（﹣，y）C（，y）代入椭圆方程解得：|y|=b，设D为椭圆的右顶点，因为∠OAB=30°，四边形OABC为平行四边形所以∠COD=30°对C点：tan30°==解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+e2=e=故答案为：．16.抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域为M，向M内随机投掷一点P（x，y），则P（y＞x）=

．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域为M的面积，再求出S阴影，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：令y=﹣x2+2x=0，解得x=0或x=2，∴由抛物线y=﹣x2+2x与x轴围成的封闭区域SM=（﹣x2+2x）dx=（﹣x3+x2）|=﹣+4=，由，解得x=0或x=1，∴由抛物线y=﹣x2+2x与y=x围成的封闭区域S阴影=（（﹣x2+2x﹣x）dx=（（﹣x2+x）dx=（﹣x3+x2）|=﹣+=，故则P（y＞x）===，故答案为：17.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是▲．

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45．参考答案：解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；

⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是．略19.(1)已知:都是正实数,且求证:.(2)若下列三个方程：中至少有一个方程有实根，试求的取值范围.参考答案：略20.已知的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为.（1）求的项点B、C的坐标（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m、0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P求：圆M的方程参考答案：（1）AC边上的高BH所在直线方程为y=0,所以AC:x=0又CD:，所以C(0,)…………2分设B(b,0)，则AB的中点D()，代入方程解得b=2,所以B(2,0)

……………………4分（2）由A(0,1),B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为BP也是圆M的弦，所以圆心在直线上.

设圆心M因为圆心M在直线上，所以①又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P，所以.即，整理得：

②由①②可得：，所以，半径所以所求圆的方程为………………12分21.已知函数f（x）=ex和函数g（x）=kx+m（k、m为实数，e为自然对数的底数，e≈2.71828）．（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）当k=2，m=1时，判断方程f（x）=g（x）的实数根的个数并证明；（3）已知m≠1，不等式（m﹣1）[f（x）﹣g（x）]≤0对任意实数x恒成立，求km的最大值．参考答案：（1）求出h′（x）=ex﹣k，（x∈R），分以下两种情况讨论：①当k≤0，②当k＞0，（2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，结合（1）及图象即可判定．（3）设h（x）=f（x）﹣g（x），分①当m＞1，②当m＜1，分别求解解：（1）h′（x）=ex﹣k，（x∈R），①当k≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；②当k＞0时，由h′（x）＞0得x＞lnk，由h′（x）＜0得x＜lnk，故h（x）的单调递减区间为（﹣∞，lnk），单调递增区间为（lnk，+∞）．（2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，由（1）知h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，而h（0）=0，故h（x）在（﹣∞，ln2）上有且仅有1个零点，由（1）知h（x）在[ln2，+∞）上递增，而h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣5＞0，且h（x）的图象在[1，2]上是连续不间断的，故h（x）在[1，2]上有且仅有1个零点，所以h（x）在[ln2，+∞）上也有且仅有1个零点，综上，方程f（x）=g（x）有且仅有两个实数根．（3）设h（x）=f（x）﹣g（x），①当m＞1时，f（x）﹣g（x）≤0恒成立，则h（x）≤0恒成立，而h（﹣）=e＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾，故m＞1不合题意；②当m＜1时，f（x）﹣g（x）≥0，恒成立，则h（x）≥0恒成立，1°当k=0时，由h（x）=ex﹣m≥0恒成立可得m∈（﹣∞，0]，km=0；2°当k＜0时，h（）=e﹣1，而，故e＜1，故h（）＜0，与h（x）≥0恒成立矛盾，故k＜0不合题意；3°当k＞0时，由（1）可知[h（x）]min=h（lnk）=k﹣klnk﹣m，而h（x）≥0恒成立，故k﹣klnk﹣m≥0，得m≤k﹣klnk，故km≤k（k﹣klnk），记φ（k）=k（k﹣klnk），（k＞0），则φ′（k）=k（1﹣2lnk），由φ′（k）＞0得0，由φ′（k）＜0得k＞，故φ（k）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴φ（k）max=φ（）=，∴km≤，当且仅当k=，m=时取等号；综上①②两种情况得km的最大值为．22.（本小题满分12分）在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.参考答案：解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S△CMN=CM·NF=，S△CMB=BM·CM=2.设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴S△CMN·h=S△CMB·NE，∴h==.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，)